En matemáticas , el concepto de espacio proyectivo se originó a partir del efecto visual de la perspectiva , donde las líneas paralelas parecen encontrarse en el infinito . Un espacio proyectivo puede entonces ser visto como la extensión de un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín con puntos en el infinito , de tal manera que hay un punto en el infinito de cada dirección de las líneas paralelas .
Esta definición de un espacio proyectivo tiene la desventaja de no ser isótropo , ya que tiene dos tipos diferentes de puntos, que deben considerarse por separado en las demostraciones. Por lo tanto, generalmente se prefieren otras definiciones. Hay dos clases de definiciones. En geometría sintética , punto y línea son entidades primitivas que están relacionadas por la relación de incidencia "un punto está en una línea" o "una línea pasa por un punto", que está sujeta a los axiomas de la geometría proyectiva . Para algunos de estos conjuntos de axiomas, se ha demostrado que los espacios proyectivos que se definen son equivalentes a los que resultan de la siguiente definición, que se encuentra con más frecuencia en los libros de texto modernos.
Utilizando el álgebra lineal , un espacio proyectivo de dimensión n se define como el conjunto de las líneas vectoriales (es decir, subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial V de dimensión n + 1. Equivalentemente, es el conjunto cociente de V \ {0} por la relación de equivalencia "estar en la misma línea vectorial". Como una línea vectorial interseca la esfera unitaria de V en dos puntos antípodas , los espacios proyectivos pueden definirse equivalentemente como esferas en las que se identifican puntos antípodas. Un espacio proyectivo de dimensión 1 es una línea proyectiva , y un espacio proyectivo de dimensión 2 es un plano proyectivo .
Los espacios proyectivos se utilizan ampliamente en geometría , ya que permiten enunciados y demostraciones más simples. Por ejemplo, en geometría afín , dos líneas distintas en un plano se intersecan como máximo en un punto, mientras que, en geometría proyectiva , se intersecan exactamente en un punto. Además, solo hay una clase de secciones cónicas , que se pueden distinguir solo por sus intersecciones con la línea en el infinito: dos puntos de intersección para las hipérbolas ; uno para la parábola , que es tangente a la línea en el infinito; y ningún punto de intersección real de las elipses .
En topología , y más concretamente en teoría de variedades , los espacios proyectivos juegan un papel fundamental, siendo ejemplos típicos de variedades no orientables .
Como se ha señalado anteriormente, los espacios proyectivos se introdujeron para formalizar afirmaciones como "dos líneas coplanares se cortan exactamente en un punto, y este punto está en el infinito si las líneas son paralelas ". Tales afirmaciones son sugeridas por el estudio de la perspectiva , que puede considerarse como una proyección central del espacio tridimensional sobre un plano (véase el modelo de cámara estenopeica ). Más precisamente, la pupila de entrada de una cámara o del ojo de un observador es el centro de la proyección , y la imagen se forma en el plano de proyección .
Matemáticamente, el centro de proyección es un punto O del espacio (la intersección de los ejes en la figura); el plano de proyección ( P 2 , en azul en la figura) es un plano que no pasa por O , que a menudo se elige como el plano de la ecuación z = 1 , cuando se consideran las coordenadas cartesianas . Entonces, la proyección central asigna un punto P a la intersección de la línea OP con el plano de proyección. Tal intersección existe si y solo si el punto P no pertenece al plano ( P 1 , en verde en la figura) que pasa por O y es paralelo a P 2 .
De ello se deduce que las rectas que pasan por O se dividen en dos subconjuntos disjuntos: las rectas que no están contenidas en P 1 , que están en correspondencia biunívoca con los puntos de P 2 , y las contenidas en P 1 , que están en correspondencia biunívoca con las direcciones de las rectas paralelas en P 2 . Esto sugiere definir los puntos (llamados aquí puntos proyectivos para mayor claridad) del plano proyectivo como las rectas que pasan por O . Una recta proyectiva en este plano consiste en todos los puntos proyectivos (que son rectas) contenidos en un plano que pasa por O . Como la intersección de dos planos que pasan por O es una recta que pasa por O , la intersección de dos rectas proyectivas distintas consiste en un único punto proyectivo. El plano P 1 define una recta proyectiva que se llama recta en el infinito de P 2 . Al identificar cada punto de P 2 con el punto proyectivo correspondiente, se puede decir que el plano proyectivo es la unión disjunta de P 2 y la recta (proyectiva) en el infinito.
Como un espacio afín con un punto distinguido O puede identificarse con su espacio vectorial asociado (véase Espacio afín § Espacios vectoriales como espacios afines ), la construcción precedente se realiza generalmente partiendo de un espacio vectorial y se denomina proyectivización . Además, la construcción se puede realizar partiendo de un espacio vectorial de cualquier dimensión positiva.
Así, un espacio proyectivo de dimensión n puede definirse como el conjunto de líneas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión n + 1. Un espacio proyectivo también puede definirse como los elementos de cualquier conjunto que esté en correspondencia natural con este conjunto de líneas vectoriales.
Este conjunto puede ser el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia entre vectores definida por "un vector es el producto del otro por un escalar distinto de cero". En otras palabras, esto equivale a definir un espacio proyectivo como el conjunto de líneas vectoriales en las que se ha eliminado el vector cero.
Una tercera definición equivalente es definir un espacio proyectivo de dimensión n como el conjunto de pares de puntos antípodas en una esfera de dimensión n (en un espacio de dimensión n + 1 ).
Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K , el espacio proyectivo P ( V ) es el conjunto de clases de equivalencia de V \{0} bajo la relación de equivalencia ~ definida por x ~ y si hay un elemento distinto de cero λ de K tal que x = λy . Si V es un espacio vectorial topológico , el espacio cociente P ( V ) es un espacio topológico , dotado de la topología cociente de la topología del subespacio de V \{0} . Este es el caso cuando K es el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de los números complejos . Si V es de dimensión finita, la dimensión de P ( V ) es la dimensión de V menos uno.
En el caso común donde V = K n +1 , el espacio proyectivo P ( V ) se denota P n ( K ) (así como K P n o P n ( K ) , aunque esta notación puede confundirse con la exponenciación). El espacio P n ( K ) a menudo se denomina espacio proyectivo de dimensión n sobre K , o el n -espacio proyectivo , ya que todos los espacios proyectivos de dimensión n son isomorfos a él (porque cada espacio vectorial K de dimensión n + 1 es isomorfo a K n +1 ).
Los elementos de un espacio proyectivo P ( V ) se denominan comúnmente puntos . Si se ha elegido una base de V y, en particular, si V = K n +1 , las coordenadas proyectivas de un punto P son las coordenadas en la base de cualquier elemento de la clase de equivalencia correspondiente. Estas coordenadas se denotan comúnmente [ x 0 : ... : x n ] , utilizándose los dos puntos y los corchetes para distinguirlas de las coordenadas habituales y enfatizar que se trata de una clase de equivalencia, que se define hasta la multiplicación por una constante distinta de cero. Es decir, si [ x 0 : ... : x n ] son coordenadas proyectivas de un punto, entonces [ λx 0 : ... : λx n ] también son coordenadas proyectivas del mismo punto, para cualquier λ distinto de cero en K . Además, la definición anterior implica que [ x 0 : ... : x n ] son coordenadas proyectivas de un punto si y solo si al menos una de las coordenadas es distinta de cero.
Si K es el cuerpo de números reales o complejos, un espacio proyectivo se denomina espacio proyectivo real o espacio proyectivo complejo , respectivamente. Si n es uno o dos, un espacio proyectivo de dimensión n se denomina línea proyectiva o plano proyectivo , respectivamente. La línea proyectiva compleja también se denomina esfera de Riemann .
Todas estas definiciones se extienden naturalmente al caso en que K es un anillo de división ; véase, por ejemplo, Espacio proyectivo cuaterniónico . La notación PG( n , K ) se utiliza a veces para P n ( K ) . [1] Si K es un cuerpo finito con q elementos, P n ( K ) se denota a menudo PG( n , q ) (véase PG(3,2) ). [a]
Sea P ( V ) un espacio proyectivo, donde V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , y sea la función canónica que asigna un vector v distinto de cero a su clase de equivalencia, que es la línea vectorial que contiene a v con el vector cero eliminado.
Todo subespacio lineal W de V es una unión de rectas. De ello se deduce que p ( W ) es un espacio proyectivo, que puede identificarse con P ( W ) .
Un subespacio proyectivo es pues un espacio proyectivo que se obtiene restringiendo a un subespacio lineal la relación de equivalencia que define P ( V ) .
Si p ( v ) y p ( w ) son dos puntos diferentes de P ( V ) , los vectores v y w son linealmente independientes . De ello se deduce que:
En geometría sintética , donde las líneas proyectivas son objetos primitivos, la primera propiedad es un axioma y la segunda es la definición de un subespacio proyectivo.
Toda intersección de subespacios proyectivos es un subespacio proyectivo. De ello se deduce que para cada subconjunto S de un espacio proyectivo, existe un subespacio proyectivo más pequeño que contiene a S , la intersección de todos los subespacios proyectivos que contienen a S . Este subespacio proyectivo se denomina espacio proyectivo de S , y S es un conjunto generador para él.
Un conjunto S de puntos es proyectivamente independiente si su amplitud no es la amplitud de ningún subconjunto propio de S. Si S es un conjunto generador de un espacio proyectivo P , entonces existe un subconjunto de S que genera P y es proyectivamente independiente (esto resulta del teorema similar para espacios vectoriales). Si la dimensión de P es n , dicho conjunto generador independiente tiene n + 1 elementos.
A diferencia de los casos de espacios vectoriales y espacios afines , un conjunto generador independiente no es suficiente para definir coordenadas. Se necesita un punto más, véase la siguiente sección.
Un marco proyectivo o base proyectiva es un conjunto ordenado de puntos en un espacio proyectivo que permite definir coordenadas. [2] Más precisamente, en un espacio proyectivo n -dimensional, un marco proyectivo es una tupla de n + 2 puntos tales que cualesquiera n + 1 de ellos son independientes; es decir, no están contenidos en un hiperplano .
Si V es un espacio vectorial de dimensión ( n + 1) y p es la proyección canónica de V a P ( V ) , entonces ( p ( e0 ) ,..., p ( en + 1 )) es un marco proyectivo si y solo si ( e0 ,..., en ) es una base de V y los coeficientes dee n + 1 sobre esta base son todos distintos de cero . Al reescalar los primeros n vectores, cualquier marco puede reescribirse como ( p ( e′0 ) ,..., p ( e′n + 1 )) tal quee′n + 1 = e′0 + ...+ e′n ; esta representación es única hasta la multiplicación de todos lose′i por un factor común distinto de cero .
Las coordenadas proyectivas u coordenadas homogéneas de un punto p ( v ) sobre un sistema ( p ( e 0 ), ..., p ( e n +1 )) con e n +1 = e 0 + ... + e n son las coordenadas de v sobre la base ( e 0 , ..., e n ) . Sólo se definen hasta el escalado con un factor común distinto de cero.
El marco canónico del espacio proyectivo P n ( K ) consiste en imágenes por p de los elementos de la base canónica de K n +1 (es decir, las tuplas con sólo una entrada distinta de cero, igual a 1), y la imagen por p de su suma.
En matemáticas , la geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental , la geometría proyectiva tiene un entorno diferente, el espacio proyectivo , y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano , para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos adicionales (llamados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.
Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que es más radical en sus efectos que lo que se puede expresar mediante una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines ). La primera cuestión para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. A diferencia de la geometría euclidiana , el concepto de ángulo no se aplica en la geometría proyectiva, porque ninguna medida de ángulos es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva desde una perspectiva cambiante. Una fuente de la geometría proyectiva fue de hecho la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Nuevamente, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Consulte Plano proyectivo para conocer los conceptos básicos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.
Aunque las ideas ya existían antes, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , en la que las coordenadas utilizadas ( coordenadas homogéneas ) eran números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluida la teoría de invariantes , la escuela italiana de geometría algebraica y el programa Erlangen de Felix Klein que dio lugar al estudio de los grupos clásicos ) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue una materia con muchos practicantes por sí misma, como geometría sintética . Otro tema que se desarrolló a partir de los estudios axiomáticos de la geometría proyectiva es la geometría finita .
El tema de la geometría proyectiva se divide actualmente en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de los invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).En geometría proyectiva , una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos, inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que derivan los espacios proyectivos. [3] Es una biyección que asigna líneas a líneas, y por lo tanto una colineación . En general, algunas colineaciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios proyectivos reales de dimensión al menos dos. Los sinónimos incluyen proyectividad, transformación proyectiva y colineación proyectiva.
Históricamente, las homografías (y los espacios proyectivos) se han introducido para estudiar la perspectiva y las proyecciones en la geometría euclidiana , y el término homografía , que, etimológicamente, significa aproximadamente "dibujo similar", data de esta época. A finales del siglo XIX, se introdujeron definiciones formales de espacios proyectivos, que ampliaron los espacios euclidianos y afines mediante la adición de nuevos puntos llamados puntos en el infinito . El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que se ha demostrado que son equivalentes. Un espacio proyectivo puede construirse como el conjunto de las líneas de un espacio vectorial sobre un cuerpo dado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas del álgebra lineal para el estudio de las homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyectivo a través de un conjunto de axiomas, que no involucran explícitamente ningún cuerpo ( geometría de incidencia , ver también geometría sintética ); En este contexto, las colineaciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como colineaciones específicas, por lo que se denominan "colineaciones proyectivas".
Para simplificar, a menos que se indique lo contrario, se supone que los espacios proyectivos considerados en este artículo están definidos sobre un cuerpo (conmutativo) . De manera equivalente, se supone que el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues son verdaderos. Una gran parte de los resultados siguen siendo verdaderos o pueden generalizarse a geometrías proyectivas para las que estos teoremas no son válidos.Un espacio proyectivo es un espacio topológico , dotado de la topología cociente de la topología de un espacio vectorial real de dimensión finita.
Sea S la esfera unitaria en un espacio vectorial normado V , y considérese la función que asigna un punto de S a la línea vectorial que lo atraviesa. Esta función es continua y sobreyectiva. La imagen inversa de cada punto de P ( V ) consta de dos puntos antípodas . Como las esferas son espacios compactos , se deduce que:
Para cada punto P de S , la restricción de π a un entorno de P es un homeomorfismo sobre su imagen, siempre que el entorno sea lo suficientemente pequeño como para no contener ningún par de puntos antípodas. Esto demuestra que un espacio proyectivo es una variedad. Se puede proporcionar un atlas simple, como sigue.
Una vez elegida una base para V , cualquier vector puede identificarse con sus coordenadas en la base, y cualquier punto de P ( V ) puede identificarse con sus coordenadas homogéneas . Para i = 0, ..., n , el conjunto es un subconjunto abierto de P ( V ) , y dado que cada punto de P ( V ) tiene al menos una coordenada distinta de cero.
A cada U i se le asocia una carta , que es el homeomorfismo tal que donde hats significa que falta el término correspondiente.
Estos gráficos forman un atlas y, como los mapas de transición son funciones analíticas , resulta que los espacios proyectivos son variedades analíticas .
Por ejemplo, en el caso de n = 1 , es decir de una recta proyectiva, sólo hay dos U i , que pueden identificarse cada una con una copia de la recta real . En ambas rectas, la intersección de las dos gráficas es el conjunto de números reales distintos de cero, y la función de transición está en ambas direcciones. La imagen representa la recta proyectiva como un círculo donde se identifican los puntos antípodas, y muestra los dos homeomorfismos de una recta real con la recta proyectiva; a medida que se identifican los puntos antípodas, la imagen de cada recta se representa como un semicírculo abierto, que puede identificarse con la recta proyectiva con un solo punto eliminado.
Los espacios proyectivos reales tienen una estructura compleja CW simple, ya que P n ( R ) se puede obtener a partir de P n −1 ( R ) adjuntando una celda n con la proyección cociente S n −1 → P n −1 ( R ) como mapa de unión.
Originalmente, la geometría algebraica era el estudio de los ceros comunes de conjuntos de polinomios multivariados . Estos ceros comunes, llamados variedades algebraicas , pertenecen a un espacio afín . Pronto se hizo evidente que, en el caso de coeficientes reales, se deben considerar todos los ceros complejos para obtener resultados precisos. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariante libre de cuadrados de grado n tiene exactamente n raíces complejas. En el caso multivariado, la consideración de los ceros complejos también es necesaria, pero no suficiente: también se deben considerar los ceros en el infinito . Por ejemplo, el teorema de Bézout afirma que la intersección de dos curvas algebraicas planas de grados respectivos d y e consta exactamente de puntos si se consideran los puntos complejos en el plano proyectivo y si se cuentan los puntos con su multiplicidad. [b] Otro ejemplo es la fórmula de género-grado que permite calcular el género de una curva algebraica plana a partir de sus singularidades en el plano proyectivo complejo .
Por tanto, una variedad proyectiva es el conjunto de puntos de un espacio proyectivo cuyas coordenadas homogéneas son ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos . [c]
Toda variedad afín puede completarse , de forma única, en una variedad proyectiva añadiendo sus puntos en el infinito , lo que consiste en homogeneizar los polinomios definitorios, y quitar las componentes que están contenidas en el hiperplano en el infinito, saturando respecto de la variable homogeneizante.
Una propiedad importante de los espacios proyectivos y de las variedades proyectivas es que la imagen de una variedad proyectiva bajo un morfismo de variedades algebraicas es cerrada para la topología de Zariski (es decir, es un conjunto algebraico ). Esta es una generalización a todo cuerpo fundamental de la compacidad del espacio proyectivo real y complejo.
Un espacio proyectivo es en sí mismo una variedad proyectiva, siendo el conjunto de ceros del polinomio cero.
La teoría de esquemas , introducida por Alexander Grothendieck durante la segunda mitad del siglo XX, permite definir una generalización de variedades algebraicas, llamadas esquemas , mediante la unión de piezas más pequeñas llamadas esquemas afines , de manera similar a como se pueden construir variedades mediante la unión de conjuntos abiertos de R n . La construcción Proj es la construcción del esquema de un espacio proyectivo y, más generalmente de cualquier variedad proyectiva, mediante la unión de esquemas afines. En el caso de espacios proyectivos, se pueden tomar como estos esquemas afines los esquemas afines asociados a las cartas (espacios afines) de la descripción anterior de un espacio proyectivo como variedad.
En geometría sintética , un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), que satisfacen estos axiomas: [4]
El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con líneas de 2 puntos que unen dos puntos cualesquiera en espacios proyectivos distintos. De manera más abstracta, puede definirse como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consiste en un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que establece qué puntos se encuentran en qué líneas.
Las estructuras definidas por estos axiomas son más generales que las obtenidas a partir de la construcción del espacio vectorial dada anteriormente. Si la dimensión (proyectiva) es al menos tres, entonces, por el teorema de Veblen-Young , no hay diferencia. Sin embargo, para la dimensión dos, hay ejemplos que satisfacen estos axiomas que no pueden construirse a partir de espacios vectoriales (o incluso módulos sobre anillos de división). Estos ejemplos no satisfacen el teorema de Desargues y se conocen como planos no desarguesianos . En la dimensión uno, cualquier conjunto con al menos tres elementos satisface los axiomas, por lo que es habitual suponer una estructura adicional para las líneas proyectivas definidas axiomáticamente. [5]
Es posible evitar los casos problemáticos en dimensiones bajas agregando o modificando axiomas que definen un espacio proyectivo. Coxeter (1969, p. 231) ofrece una extensión de este tipo debido a Bachmann. [6] Para asegurar que la dimensión sea al menos dos, reemplace el axioma de tres puntos por línea anterior por:
Para evitar los planos no desarguesianos, incluya el teorema de Pappus como axioma; [e]
Y, para asegurar que el espacio vectorial está definido sobre un cuerpo que no tiene característica alguna, se incluye el axioma de Fano ; [f]
Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X , de modo que cualquier recta que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, está completamente contenido en X ). El espacio lleno y el espacio vacío son siempre subespacios.
Se dice que la dimensión geométrica del espacio es n si ese es el número más grande para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:
Se dice que un subespacio Xi en una cadena de este tipo tiene dimensión (geométrica) i . Los subespacios de dimensión 0 se denominan puntos , los de dimensión 1 se denominan líneas, y así sucesivamente. Si el espacio completo tiene dimensión n, entonces cualquier subespacio de dimensión n − 1 se denomina hiperplano .
Los espacios proyectivos admiten una formulación equivalente en términos de la teoría de redes . Existe una correspondencia biyectiva entre espacios proyectivos y redes geomodulares, es decir, redes modulares complementarias , generadas de forma compacta y subdirectamente irreducibles . [7]
Un espacio proyectivo finito es un espacio proyectivo donde P es un conjunto finito de puntos. En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común. Para espacios proyectivos finitos de dimensión al menos tres, el teorema de Wedderburn implica que el anillo de división sobre el que se define el espacio proyectivo debe ser un cuerpo finito , GF( q ) , cuyo orden (es decir, número de elementos) es q (una potencia prima). Un espacio proyectivo finito definido sobre un cuerpo finito de este tipo tiene q + 1 puntos en una línea, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Notacionalmente, PG( n , GF( q )) se escribe habitualmente como PG( n , q ) .
Todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos, por lo que, hasta el isomorfismo, sólo hay un espacio proyectivo finito para cada dimensión mayor o igual a tres, sobre un cuerpo finito dado. Sin embargo, en dimensión dos hay planos no desarguesianos. Hasta el isomorfismo hay
planos proyectivos finitos de órdenes 2, 3, 4, ..., 10, respectivamente. Los números más allá de esto son muy difíciles de calcular y no están determinados excepto por algunos valores cero debido al teorema de Bruck-Ryser .
El plano proyectivo más pequeño es el plano de Fano , PG(2, 2) con 7 puntos y 7 líneas. El espacio proyectivo tridimensional más pequeño es PG(3, 2) , con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos.
Las aplicaciones lineales inyectivas T ∈ L ( V , W ) entre dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo K inducen aplicaciones de los espacios proyectivos correspondientes P ( V ) → P ( W ) a través de:
donde v es un elemento distinto de cero de V y [...] denota las clases de equivalencia de un vector bajo la identificación definitoria de los respectivos espacios proyectivos. Dado que los miembros de la clase de equivalencia difieren en un factor escalar, y las aplicaciones lineales preservan los factores escalares, esta aplicación inducida está bien definida . (Si T no es inyectiva, tiene un espacio nulo mayor que {0} ; en este caso, el significado de la clase de T ( v ) es problemático si v es distinto de cero y está en el espacio nulo. En este caso, se obtiene una llamada aplicación racional , véase también Geometría biracional .)
Dos mapas lineales S y T en L ( V , W ) inducen el mismo mapa entre P ( V ) y P ( W ) si y sólo si difieren en un múltiplo escalar, es decir si T = λS para algún λ ≠ 0 . Por lo tanto, si uno identifica los múltiplos escalares del mapa identidad con el cuerpo subyacente K , el conjunto de morfismos K -lineales de P ( V ) a P ( W ) es simplemente P ( L ( V , W )) .
Los automorfismos P ( V ) → P ( V ) se pueden describir de forma más concreta. (Tratamos sólo con automorfismos que preservan el cuerpo base K ). Utilizando la noción de haces generados por secciones globales , se puede demostrar que cualquier automorfismo algebraico (no necesariamente lineal) debe ser lineal, es decir, debe provenir de un automorfismo (lineal) del espacio vectorial V . Estos últimos forman el grupo GL( V ) . Al identificar funciones que difieren en un escalar, se concluye que
el grupo cociente de GL( V ) módulo las matrices que son múltiplos escalares de la identidad. (Estas matrices forman el centro de Aut( V ) .) Los grupos PGL se denominan grupos lineales proyectivos . Los automorfismos de la recta proyectiva compleja P 1 ( C ) se denominan transformaciones de Möbius .
Cuando la construcción anterior se aplica al espacio dual V ∗ en lugar de V , se obtiene el espacio proyectivo dual, que puede identificarse canónicamente con el espacio de hiperplanos a través del origen de V . Es decir, si V es n -dimensional, entonces P ( V ∗ ) es el Grassmanniano de n − 1 planos en V .
En geometría algebraica, esta construcción permite una mayor flexibilidad en la construcción de fibrados proyectivos. Sería deseable poder asociar un espacio proyectivo a cada haz cuasi coherente E sobre un esquema Y , no sólo a los localmente libres. [ aclaración necesaria ] Véase EGA II , Cap. II, párrafo 4 para más detalles.
Las variedades de Severi-Brauer son variedades algebraicas sobre un cuerpo K , que se vuelven isomorfas a los espacios proyectivos después de una extensión del cuerpo base K.
Otra generalización de los espacios proyectivos son los espacios proyectivos ponderados ; estos son en sí mismos casos especiales de variedades tóricas . [8]
![{\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464921a3e53687360d8554f71d7f226bf624ca3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\puntos ,{\widehat {y_{i}}},\puntos y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243ea54c69f09fa5dc47c6bf3dd6a8ea2b12d8ce)
![{\displaystyle \varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e2f636072781246e90259b862b9e97c0d53b6f)
