Teorema de Bézout

El teorema de Bézout es un enunciado de geometría algebraica relativo al número de ceros comunes de $n$ polinomios en $n$ indeterminados. En su forma original, el teorema establece que, en general, el número de ceros comunes es igual al producto de los grados de los polinomios. ^[1] Recibe su nombre en honor a Étienne Bézout .

En algunos textos elementales, el teorema de Bézout se refiere únicamente al caso de dos variables, y afirma que, si dos curvas algebraicas planas de grados y no tienen ningún componente en común, tienen puntos de intersección, contados con su multiplicidad , e incluyendo puntos en el infinito y puntos con coordenadas complejas . ^[2] $estilo de visualización d_{1}$ $estilo de visualización d_{2}$ $Estilo de visualización: d_{1}d_{2}$

En su formulación moderna, el teorema establece que, si $N$ es el número de puntos comunes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de $n$ hipersuperficies proyectivas definidas por polinomios homogéneos en $n + 1$ indeterminados, entonces $N$ es infinito o es igual al producto de los grados de los polinomios. Además, el caso finito ocurre casi siempre.

En el caso de dos variables y en el caso de hipersuperficies afines, si no se cuentan las multiplicidades ni los puntos en el infinito, este teorema proporciona únicamente un límite superior del número de puntos, que casi siempre se alcanza. Este límite se suele denominar límite de Bézout .

El teorema de Bézout es fundamental en álgebra computacional y geometría algebraica efectiva , ya que muestra que la mayoría de los problemas tienen una complejidad computacional que es al menos exponencial en el número de variables. De ello se deduce que en estas áreas, la mejor complejidad que se puede esperar se dará con algoritmos que tengan una complejidad que sea polinómica en el límite de Bézout.

Historia

En el caso de las curvas planas, el teorema de Bézout fue enunciado esencialmente por Isaac Newton en su demostración del Lema 28 del volumen 1 de sus Principia en 1687, donde afirma que dos curvas tienen un número de puntos de intersección dado por el producto de sus grados. ^[3]

El teorema general fue publicado más tarde en 1779 en la obra de Étienne Bézout Théorie générale des équations algébriques . Bézout supuso que las ecuaciones eran "completas", lo que en la terminología moderna se traduciría como genéricas . Dado que con polinomios genéricos, no hay puntos en el infinito y todas las multiplicidades son iguales a uno, la formulación de Bézout es correcta, aunque su prueba no sigue los requisitos modernos de rigor. Esto y el hecho de que el concepto de multiplicidad de intersección estaba fuera del conocimiento de su tiempo condujo a un sentimiento expresado por algunos autores de que su prueba no era correcta ni la primera prueba que se dio. ^[4]

La prueba del enunciado que incluye multiplicidades requiere una definición precisa de las multiplicidades de intersección y, por lo tanto, no fue posible antes del siglo XX. Las definiciones de multiplicidades que se dieron durante la primera mitad del siglo XX involucraban deformaciones continuas e infinitesimales . De ello se deduce que las pruebas de este período se aplican solo sobre el campo de los números complejos. Fue recién en 1958 que Jean-Pierre Serre dio una definición puramente algebraica de las multiplicidades, lo que condujo a una prueba válida sobre cualquier campo algebraicamente cerrado. ^[5]

Estudios modernos relacionados con el teorema de Bézout obtuvieron diferentes límites superiores para el sistema de polinomios utilizando otras propiedades de los polinomios, como el teorema de Bernstein-Kushnirenko , o lo generalizaron a una gran clase de funciones, como las funciones de Nash . ^[6]

Declaración

Curvas planas

Supóngase que X e Y son dos curvas proyectivas planas definidas sobre un cuerpo F que no tienen componente común (esta condición significa que X e Y están definidas por polinomios, sin divisor común de grado positivo). Entonces el número total de puntos de intersección de X e Y con coordenadas en un cuerpo algebraicamente cerrado E que contiene a F , contados con sus multiplicidades , es igual al producto de los grados de X e Y .

Caso general

La generalización en una dimensión superior puede enunciarse así:

Sean n hipersuperficies proyectivas dadas en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las cuales están definidas por n polinomios homogéneos en n + 1 variables, de grados Entonces, o bien el número de puntos de intersección es infinito, o bien el número de puntos de intersección, contados con multiplicidad, es igual al producto Si las hipersuperficies están en posición general relativa , entonces hay puntos de intersección, todos con multiplicidad 1. $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $d_{1}\cpuntos d_{n}$

Existen varias demostraciones de este teorema, que se expresan en términos puramente algebraicos o utilizan el lenguaje de la geometría algebraica . A continuación se esbozan tres demostraciones algebraicas.

El teorema de Bézout se ha generalizado como el llamado teorema de Bézout multihomogéneo .

Caso afín

El caso afín del teorema es el siguiente enunciado, que fue demostrado en 1983 por David Masser y Gisbert Wüstholz . ^[7]

Considérense $n$ hipersuperficies afines que están definidas sobre un campo algebraicamente cerrado por $n$ polinomios en $n$ variables, de grados. Entonces, o bien el número de puntos de intersección es infinito, o bien el número de puntos de intersección, contados con sus multiplicidades, es como máximo el producto. Si las hipersuperficies están en posición general relativa , entonces hay exactamente puntos de intersección, todos con multiplicidad 1. $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $d_{1}\cpuntos d_{n}$

Esta versión no es una consecuencia directa del caso general, porque es posible tener un número finito de puntos de intersección en el espacio afín, con infinitos puntos de intersección en el infinito. El enunciado anterior es un caso especial de un enunciado más general, que es el resultado que demostraron Masser y Wüstholz.

Para enunciar el resultado general, hay que recordar que los puntos de intersección forman un conjunto algebraico , y que hay un número finito de puntos de intersección si y sólo si todos los componentes de la intersección tienen dimensión cero (un conjunto algebraico de dimensión positiva tiene una infinidad de puntos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Se dice que un punto de intersección es aislado si no pertenece a un componente de dimensión positiva de la intersección; la terminología tiene sentido, ya que un punto de intersección aislado tiene vecindades (para la topología de Zariski o para la topología usual en el caso de hipersuperficies complejas) que no contienen ningún otro punto de intersección.

Considérense $n$ hipersuperficies proyectivas que están definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado por $n$ polinomios homogéneos en variables, de grados Entonces, la suma de las multiplicidades de sus puntos de intersección aislados es como máximo el producto El resultado sigue siendo válido para cualquier número $m$ de hipersuperficies, si se establece en el caso y, en caso contrario, si se ordenan los grados para tener Es decir, no hay ningún punto de intersección aislado si y, en caso contrario, el límite es el producto del grado más pequeño y los grados más grandes. ${\estilo de visualización n+1}$ $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $estilo de visualización d_{m+1}=0}$ $m<n,$ $d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{m}\geq d_{1}.$ $m<n,$ ${\estilo de visualización n-1}$

Ejemplos (curvas planas)

Dos lineas

La ecuación de una recta en un plano euclidiano es lineal , es decir, iguala un polinomio de grado uno a cero. Por lo tanto, la cota de Bézout para dos rectas es $1$ , lo que significa que dos rectas se cortan en un único punto o no se cortan. En este último caso, las rectas son paralelas y se cortan en un punto en el infinito .

Esto se puede comprobar con ecuaciones. La ecuación de una primera línea se puede escribir en forma de pendiente-intersección o en coordenadas proyectivas (si la línea es vertical, se pueden intercambiar $x$ e $y$ ). Si la ecuación de una segunda línea es (en coordenadas proyectivas) sustituyendo y en ella, se obtiene Si se obtiene la coordenada $x$ del punto de intersección resolviendo la última ecuación en $x$ $y$ poniendo $t$ $= 1.$ $y=sx+m$ $y=sx+mt$ $ax+by+ct=0,$ ${\estilo de visualización sx+mt}$ $(a+bs)x+(c+bm)t=0.$ $a+bs\neq 0,$

Si es así, las dos líneas son paralelas porque tienen la misma pendiente. Si son distintas, y la ecuación sustituida da $t$ $= 0.$ Esto da el punto en el infinito de coordenadas proyectivas $(1,$ $s$ $, 0)$ . $a+bs=0,$ $s=-a/b,$ $m\neq -c/b,$

Una línea y una curva

Como se indicó anteriormente, la ecuación de la línea en coordenadas proyectivas se puede escribir como Si la curva se define en coordenadas proyectivas por un polinomio homogéneo de grado $n$ , la sustitución de $y$ proporciona un polinomio homogéneo de grado $n$ en $x$ y $t$ . El teorema fundamental del álgebra implica que se puede factorizar en factores lineales. Cada factor da la relación de las coordenadas $x$ y $t$ de un punto de intersección, y la multiplicidad del factor es la multiplicidad del punto de intersección. $y=sx+mt.$ $p(x,y,t)$

Si $t$ se considera como la coordenada del infinito , un factor igual a $t$ representa un punto de intersección en el infinito.

Si al menos una derivada parcial del polinomio $p$ no es cero en un punto de intersección, entonces la tangente de la curva en este punto está definida (véase Curva algebraica § Tangente en un punto ), y la multiplicidad de intersección es mayor que uno si y solo si la línea es tangente a la curva. Si todas las derivadas parciales son cero, el punto de intersección es un punto singular , y la multiplicidad de intersección es al menos dos.

Dos secciones cónicas

Dos secciones cónicas se intersecan generalmente en cuatro puntos, algunos de los cuales pueden coincidir. Para tener en cuenta correctamente todos los puntos de intersección, puede ser necesario permitir coordenadas complejas e incluir los puntos de la línea infinita en el plano proyectivo. Por ejemplo:

Dos círculos nunca se cortan en más de dos puntos del plano, mientras que el teorema de Bézout predice cuatro. La discrepancia proviene del hecho de que cada círculo pasa por los mismos dos puntos complejos en la línea en el infinito. Escribiendo el círculo en coordenadas homogéneas , obtenemos de lo que está claro que los dos puntos $(1 :$ $i$ $: 0)$ y $(1 : -$ $i$ $: 0)$ se encuentran en cada círculo. Cuando dos círculos no se cortan en absoluto en el plano real, las otras dos intersecciones tienen coordenadas no reales, o si los círculos son concéntricos, entonces se cortan exactamente en los dos puntos de la línea en el infinito con una multiplicidad de intersección de dos. $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$ $(x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,$
Según el teorema, cualquier cónica debe cortar la línea en el infinito en dos puntos. Una hipérbola la corta en dos puntos reales que corresponden a las dos direcciones de las asíntotas. Una elipse la corta en dos puntos complejos, que son conjugados entre sí: en el caso de un círculo, los puntos $(1 : i : 0)$ y $(1 : - i : 0)$ . Una parábola la corta en un solo punto, pero es un punto de tangencia y, por lo tanto, cuenta dos veces.
Las siguientes imágenes muestran ejemplos en los que el círculo $x 2 + y 2 - 1 = 0$ se encuentra con otra elipse en menos puntos de intersección porque al menos uno de ellos tiene multiplicidad mayor que uno:

Intersección de una elipse y el círculo unitario

Dos intersecciones de multiplicidad 2
$x^{2}+4y^{2}-1=0$
Dos intersecciones de multiplicidades 3 y 1
$Estilo de visualización 5x^{2}+6xy+5y^{2}+6y-5=0$
Una intersección de multiplicidad 4
$Estilo de visualización 4x^{2}+y^{2}+6x+2=0$

Multiplicidad

El concepto de multiplicidad es fundamental para el teorema de Bézout, ya que permite tener una igualdad en lugar de una desigualdad mucho más débil.

Intuitivamente, la multiplicidad de un cero común de varios polinomios es el número de ceros en los que el cero común puede descomponerse cuando se modifican ligeramente los coeficientes. Por ejemplo, una tangente a una curva es una línea que corta la curva en un punto que se divide en varios puntos si la línea se mueve ligeramente. Este número es dos en general (puntos ordinarios), pero puede ser mayor (tres para puntos de inflexión , cuatro para puntos de ondulación , etc.). Este número es la "multiplicidad de contacto" de la tangente.

Esta definición de multiplicidades por deformación fue suficiente hasta finales del siglo XIX, pero tiene varios problemas que llevaron a definiciones modernas más convenientes: Las deformaciones son difíciles de manipular; por ejemplo, en el caso de una raíz de un polinomio univariante , para probar que la multiplicidad obtenida por deformación es igual a la multiplicidad del factor lineal correspondiente del polinomio, uno tiene que saber que las raíces son funciones continuas de los coeficientes. Las deformaciones no se pueden utilizar sobre cuerpos de característica positiva . Además, hay casos en los que una deformación conveniente es difícil de definir (como en el caso de más de dos curvas planas que tienen un punto de intersección común), e incluso casos en los que no es posible ninguna deformación. ^{[ cita requerida ]}

Actualmente, siguiendo a Jean-Pierre Serre , una multiplicidad se define generalmente como la longitud de un anillo local asociado con el punto donde se considera la multiplicidad. ^[5] La mayoría de las definiciones específicas pueden demostrarse como un caso especial de la definición de Serre.

En el caso del teorema de Bézout, la teoría general de intersecciones puede obviarse, ya que existen pruebas (ver más abajo) que asocian a cada dato de entrada del teorema un polinomio en los coeficientes de las ecuaciones, que se factoriza en factores lineales, cada uno correspondiente a un único punto de intersección. Por lo tanto, la multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad del factor correspondiente. La prueba de que esta multiplicidad es igual a la que se obtiene por deformación resulta entonces del hecho de que los puntos de intersección y el polinomio factorizado dependen continuamente de las raíces.

Pruebas

Utilizando la resultante (curvas planas)

Sean $P$ y $Q$ dos polinomios homogéneos en las indeterminadas $x, y, t$ de grados respectivos $p$ y $q$ . Sus ceros son las coordenadas homogéneas de dos curvas proyectivas . Por lo tanto, las coordenadas homogéneas de sus puntos de intersección son los ceros comunes de $P$ y $Q$ .

Al reunir las potencias de un indeterminado, digamos $y$ , se obtienen polinomios univariados cuyos coeficientes son polinomios homogéneos en $x$ y $t$ .

Por razones técnicas, se deben cambiar las coordenadas para que los grados en $y$ de $P$ y $Q$ sean iguales a sus grados totales ( $p$ y $q$ ), y cada línea que pasa por dos puntos de intersección no pasa por el punto $(0, 1, 0)$ (esto significa que no hay dos puntos que tengan la misma coordenada x cartesiana ).

La resultante $R (x, t)$ de $P$ y $Q$ con respecto a $y$ es un polinomio homogéneo en $x$ y $t$ que tiene la siguiente propiedad: con si y solo si existe tal que es un cero común de $P$ y $Q$ (ver Resultante § Ceros ). La condición técnica anterior asegura que es única. La primera condición técnica anterior significa que los grados utilizados en la definición de la resultante son $p$ y $q$ ; esto implica que el grado de $R$ es $pq$ (ver Resultante § Homogeneidad ). $R(\alpha,\tau)=0$ $(\alpha,\tau)\neq (0,0)$ ${\estilo de visualización \beta}$ $(\alfa,\beta,\tau)$ ${\estilo de visualización \beta}$

Como $R$ es un polinomio homogéneo en dos indeterminados, el teorema fundamental del álgebra implica que $R$ es un producto de $pq$ polinomios lineales. Si se define la multiplicidad de un cero común de $P$ y $Q$ como el número de ocurrencias del factor correspondiente en el producto, se demuestra el teorema de Bézout.

Para demostrar que la multiplicidad de intersección que acaba de definirse es igual a la definición en términos de una deformación, basta observar que la resultante y, por tanto, sus factores lineales son funciones continuas de los coeficientes de $P$ y $Q.$

Demostrar la igualdad con otras definiciones de multiplicidades de intersección depende de los tecnicismos de estas definiciones y, por lo tanto, está fuera del alcance de este artículo.

Usandotú-resultante

A principios del siglo XX, Francis Sowerby Macaulay introdujo la resultante multivariante (también conocida como resultante de Macaulay ) de $n$ polinomios homogéneos en $n$ indeterminados, que es una generalización de la resultante habitual de dos polinomios. La resultante de Macaulay es una función polinómica de los coeficientes de $n$ polinomios homogéneos que es cero si y solo los polinomios tienen un cero común no trivial (es decir, algún componente es distinto de cero) en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.

La resultante $U$ es un caso particular de la resultante de Macaulay, introducida también por Macaulay. Dados $n$ polinomios homogéneos en $n$ $+ 1$ indeterminados, la resultante $U$ es la resultante de y donde los coeficientes son indeterminados auxiliares. La resultante $U$ es un polinomio homogéneo en cuyo grado es el producto de los grados de los $f_{1},\ldots ,f_{n}$ $x_{0},\ldots ,x_{n},$ $f_{1},\ldots ,f_{n},$ $U_{0}x_{0}+\cdots +U_{n}x_{n},$ $U_{0},\ldots ,U_{n}$ $U_{0},\ldots ,U_{n},$ $f_{i}.$

Aunque un polinomio multivariado es generalmente irreducible , la $U$ -resultante puede factorizarse en polinomios lineales (en los ) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los Estos factores lineales corresponden a los ceros comunes de los de la siguiente manera: a cada cero común corresponde un factor lineal y viceversa. $Estilo de visualización U_{i}}$ $f_{i}.$ $estilo de visualización f_{i}}$ $(\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n})$ $(\alpha _{0}U_{0}+\cdots +\alpha _{n}U_{n}),$

Esto demuestra el teorema de Bézout, si la multiplicidad de un cero común se define como la multiplicidad del factor lineal correspondiente de la resultante $U.$ En cuanto a la demostración anterior, la igualdad de esta multiplicidad con la definición por deformación resulta de la continuidad de la resultante $U$ en función de los coeficientes de la $f_{i}.$

Esta prueba del teorema de Bézout parece la prueba más antigua que satisface los criterios modernos de rigor.

Utilizando el grado de un ideal

El teorema de Bézout se puede demostrar por recurrencia sobre el número de polinomios utilizando el siguiente teorema.

Sea $V$ un conjunto algebraico proyectivo de dimensión y grado , y $H$ una hipersuperficie (definida por un único polinomio) de grado , que no contiene ningún componente irreducible de $V$ ; bajo estas hipótesis, la intersección de $V$ y $H$ tiene dimensión y grado ${\estilo de visualización \delta}$ $estilo de visualización d_{1}$ $estilo de visualización d_{2}$ ${\estilo de visualización \delta -1}$ $d_{1}d_{2}.$

Para una prueba (esquemática) que utiliza la serie de Hilbert , véase Serie de Hilbert y Polinomio de Hilbert § Grado de una variedad proyectiva y Teorema de Bézout .

Además de permitir una prueba conceptualmente simple del teorema de Bézout, este teorema es fundamental para la teoría de intersecciones , ya que esta teoría se dedica esencialmente al estudio de las multiplicidades de intersecciones cuando las hipótesis del teorema anterior no se aplican.

Véase también

Teorema de Bézout multihomogéneo
Teorema AF+BG – Acerca de las curvas algebraicas que pasan por todos los puntos de intersección de otras dos curvas
Teorema de Bernstein-Kushnirenko : sobre el número de ceros comunes de los polinomios de Laurent

Notas

^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Teorema de Bézout", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
^ Fulton 1974.
^ Newton 1966.
^ Kirwan, Frances (1992). Curvas algebraicas complejas . Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42353-8.
^ desde Serre 1965.
^ Ramanakoraisina, R. (1989). "Teorema de Bezout para funciones de Nash". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 61 (3): 295–301. doi : 10.1016/0022-4049(89)90080-7 .
^ Masser y Wüstholz 1983.

Referencias

Fulton, William (1974). Curvas algebraicas . Serie de notas de clase de matemáticas. WA Benjamin. pág. 112. ISBN 0-8053-3081-4 .
Masser, David ; Wüstholz, Gisbert (1983). "Campos de gran grado de trascendencia generados por valores de funciones elípticas". Inventiones Mathematicae . 72 (3). Springer: 407–464. Bibcode :1983InMat..72..407M. doi :10.1007/BF01398396. S2CID 120947443.
Newton, I. (1966), Principia Vol. I El movimiento de los cuerpos (basado en la 2.ª edición de Newton (1713); traducido por Andrew Motte (1729) y revisado por Florian Cajori (1934) ed.), Berkeley, CA: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Traducción alternativa de la edición anterior (2.ª) de los Principia de Newton .
Serre, Jean-Pierre (1965). Algèbre locale et multiplicités: cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé par Pierre Gabriel . Saltador.

Enlaces externos

"Teorema de Bezout", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Teorema de Bézout". MathWorld .
Teorema de Bezout en MathPages