Elliott Hershel Lieb (nacido el 31 de julio de 1932) es un físico matemático estadounidense . Es profesor de matemáticas y física en la Universidad de Princeton . Los trabajos de Lieb pertenecen al problema cuántico y clásico de muchos cuerpos , [1] [2] [3] estructura atómica , [3] la estabilidad de la materia , [3] desigualdades funcionales, [4] la teoría del magnetismo , [2] y El modelo Hubbard . [2]
Lieb nació en Boston en 1932 y la familia se mudó a Nueva York cuando él tenía cinco años. Su padre era de Lituania y era contador, su madre era de Besarabia y trabajaba como secretaria. [5]
Recibió su licenciatura en física del Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1953 [6] y su doctorado en física matemática de la Universidad de Birmingham en Inglaterra en 1956. [6] [7] Lieb fue becario Fulbright en la Universidad de Kyoto , Japón ( 1956-1957), [6] y trabajó como físico teórico de IBM de 1960 a 1963. [6] En 1961-1962, Lieb estuvo de licencia como profesor de matemáticas aplicadas en Fourah Bay College , la Universidad de Sierra Leona . [6] En 1963, se unió a la Universidad Yeshiva como profesor asociado. [5] Ha sido profesor en Princeton desde 1975, [6] tras una licencia de su cátedra en el MIT.
Está casado con su colega profesora de Princeton, Christiane Fellbaum .
Durante años, ha rechazado la práctica habitual de transferir los derechos de autor de sus artículos de investigación a editoriales académicas . En cambio, sólo daría a los editores su consentimiento para publicar. [8]
Lieb ha recibido varios premios en matemáticas y física, incluido el Premio Heineman de Física Matemática de la Sociedad Estadounidense de Física y el Instituto Americano de Física (1978), [9] la Medalla Max Planck de la Sociedad Alemana de Física (1992), [ 10] la medalla Boltzmann de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (1998), [11] el Premio Schock (2001), [12] el Premio Henri Poincaré de la Asociación Internacional de Física Matemática (2003), [13] y la Medalla del Instituto Erwin Schrödinger de Matemáticas y Física (2021). [14]
En 2022 recibió la Medalla por logros excepcionales en investigación de la Sociedad Estadounidense de Física por ″importantes contribuciones a la física teórica mediante la obtención de soluciones exactas a importantes problemas físicos, que han impactado la física de la materia condensada, la información cuántica, la mecánica estadística y la física atómica″. [15] y el Premio Carl Friedrich Gauss en el Congreso Internacional de Matemáticos ″por sus profundas contribuciones matemáticas de excepcional amplitud que han dado forma a los campos de la mecánica cuántica, la mecánica estadística, la química computacional y la teoría de la información cuántica″. [16] También en 2022 Recibió la Medalla Dirac del ICTP [17] junto con Joel Lebowitz y David Ruelle .
Lieb es miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos [18] y ha sido dos veces (1982-1984 y 1997-1999) presidente de la Asociación Internacional de Física Matemática . [19] Lieb recibió la Condecoración Austriaca de Ciencia y Arte en 2002. [20] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense [21] y en 2013 en Miembro Extranjero de la Royal Society . [22]
En 2023 recibió el Premio Kioto de Ciencias Básicas por sus logros en la física de muchos cuerpos. [23]
Lieb ha hecho contribuciones fundamentales tanto a la física teórica como a las matemáticas. Aquí sólo se describen algunos de ellos. Sus principales trabajos de investigación están reunidos en cuatro volúmenes de Selecta. [1] [2] [3] [4] También se pueden encontrar más detalles en dos libros publicados por EMS Press en 2022 con motivo de su 90 cumpleaños. [24] Su investigación se revisa allí en más de 50 capítulos.
Lieb es famoso por muchos resultados innovadores en mecánica estadística relacionados, en particular, con sistemas solubles. Sus numerosos trabajos han sido recopilados en la Selecta ″Mecánica estadística″ [1] y ″Física de la materia condensada y modelos exactamente solubles″ , [2] así como en un libro con Daniel Mattis. [25] Tratan (entre otras cosas) modelos de tipo Ising , modelos de ferromagnetismo y ferroelectricidad , la solución exacta del modelo de seis vértices del hielo en dos dimensiones, el gas unidimensional delta Bose (ahora llamado Lieb-Liniger modelo ) y el modelo Hubbard .
Junto con Daniel Mattis y Theodore Schultz resolvió en 1964 el modelo bidimensional de Ising (con una nueva derivación de la solución exacta por parte de Lars Onsager mediante la transformación de Jordan-Wigner de las matrices de transferencia) y en 1961 el modelo XY , un modelo explícitamente solucionable. modelo unidimensional spin-1/2. En 1968, junto con Fa-Yueh Wu , dio la solución exacta del modelo unidimensional de Hubbard.
En 1971, él y Neville Temperley introdujeron el álgebra de Temperley-Lieb para construir determinadas matrices de transferencia. Esta álgebra también tiene vínculos con la teoría de nudos y el grupo trenzado , grupos cuánticos y subfactores de las álgebras de von Neumann .
Junto con Derek W. Robinson en 1972, dedujo los límites de la velocidad de propagación de la información en sistemas de espín no relativistas con interacciones locales. Se conocen como límites de Lieb-Robinson y desempeñan un papel importante, por ejemplo, en los límites de error en el límite termodinámico o en la computación cuántica . Se pueden utilizar para demostrar la decadencia exponencial de las correlaciones en sistemas de espín o para hacer afirmaciones sobre la brecha sobre el estado fundamental en sistemas de espín de dimensiones superiores (teoremas generalizados de Lieb-Schultz-Mattis).
En 1972, él y Mary Beth Ruskai demostraron la fuerte subaditividad de la entropía cuántica , un teorema fundamental para la teoría de la información cuántica . Esto está estrechamente relacionado con lo que se conoce como desigualdad en el procesamiento de datos en la teoría de la información cuántica. La prueba de Lieb-Ruskai de subaditividad fuerte se basa en un artículo anterior en el que Lieb resolvió varias conjeturas importantes sobre desigualdades de operadores, incluida la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson. [26]
En los años 1997-99, Lieb proporcionó un tratamiento riguroso del aumento de entropía en la segunda ley de la termodinámica y la accesibilidad adiabática con Jakob Yngvason . [27]
En 1975, Lieb y Walter Thirring encontraron una prueba de la estabilidad de la materia que era más breve y más conceptual que la de Freeman Dyson y Andrew Lenard en 1967. Su argumento se basa en una nueva desigualdad en la teoría espectral, que se conoció como la teoría de Lieb. -Desigualdad sedienta . Este último se ha convertido en una herramienta estándar en el estudio de grandes sistemas fermiónicos, por ejemplo, para fermiones (pseudo)relativistas en interacción con campos electromagnéticos clásicos o cuantificados. Desde el punto de vista matemático, la desigualdad de Lieb-Thirring también ha generado un gran interés en la teoría espectral de los operadores de Schrödinger. [28] Este fructífero programa de investigación ha dado lugar a muchos resultados importantes que se pueden leer en su Selecta ″La estabilidad de la materia: de los átomos a las estrellas″ [3] así como en su libro ″La estabilidad de la materia en la mecánica cuántica″ con Robert Seiringer . [29]
Basándose en el teorema original de Dyson-Lenard sobre la estabilidad de la materia, Lieb y Joel Lebowitz ya habían proporcionado en 1973 la primera prueba de la existencia de funciones termodinámicas para la materia cuántica. Con Heide Narnhofer hizo lo mismo con la gelatina , también llamado gas electrónico homogéneo , que está en la base de la mayoría de los funcionales de la teoría del funcional de densidad .
En la década de 1970, Lieb, junto con Barry Simon, estudió varias aproximaciones no lineales de la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos, en particular la teoría de Hartree-Fock y el modelo atómico de Thomas-Fermi . Proporcionaron la primera prueba rigurosa de que este último proporciona el orden principal de energía para grandes átomos no relativistas. Con Rafael Benguria y Haïm Brezis , estudió varias variaciones del modelo de Thomas-Fermi .
El problema de la ionización en física matemática exige un límite superior riguroso para el número de electrones que puede unir un átomo con una carga nuclear determinada. La evidencia experimental y numérica parece sugerir que puede haber como máximo uno o posiblemente dos electrones adicionales. Demostrar esto rigurosamente es un problema abierto. Se puede plantear una pregunta similar respecto de las moléculas. Lieb demostró un famoso límite superior del número de electrones que puede unir un núcleo. Además, junto con Israel Michael Sigal , Barry Simon y Walter Thirring , demostró, por primera vez, que el exceso de carga es asintóticamente pequeño en comparación con la carga nuclear.
Junto con Jakob Yngvason , demostró rigurosamente una fórmula para la energía del estado fundamental de los gases Bose diluidos. Posteriormente, junto con Robert Seiringer y Jakob Yngvason, estudió la ecuación de Gross-Pitaevskii para la energía del estado fundamental de bosones diluidos en una trampa, comenzando con la mecánica cuántica de muchos cuerpos. [30] Los trabajos de Lieb con Joseph Conlon y Horng-Tzer Yau y con Jan Philip Solovej sobre lo que se conoce como la ley de los bosones proporcionan la primera justificación rigurosa de la teoría del emparejamiento de Bogoliubov.
En química cuántica, Lieb es famoso por haber proporcionado en 1983 la primera formulación rigurosa de la teoría del funcional de densidad utilizando herramientas de análisis convexo. El funcional de Lieb universal proporciona la energía más baja de un sistema de Coulomb con un perfil de densidad dado, para estados mixtos. En 1980, demostró con Stephen Oxford la desigualdad de Lieb-Oxford [31] , que proporciona una estimación de la energía de Coulomb clásica más baja posible a una densidad fija y luego se utilizó para la calibración de algunos funcionales como PBE y SCAN. Más recientemente, junto con Mathieu Lewin y Robert Seiringer, dio la primera justificación rigurosa de la aproximación de densidad local para densidades que varían lentamente. [32]
En los años 70 Lieb incursionó en los campos matemáticos del cálculo de variaciones y de las ecuaciones diferenciales parciales , donde realizó aportes fundamentales. Un tema importante fue la búsqueda de las mejores constantes en varias desigualdades del análisis funcional , que luego utilizó para estudiar rigurosamente sistemas cuánticos no lineales. Sus resultados en esta dirección están recogidos en la Selecta ″Desigualdades″ . [4] Entre las desigualdades en las que determinó las constantes marcadas se encuentran la desigualdad de Young y la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev, que se analizarán más adelante. También desarrolló herramientas que ahora se consideran estándar en el análisis, como las desigualdades de reordenamiento o el lema de Brezis-Lieb , que proporciona el término que falta en el lema de Fatou para secuencias de funciones que convergen en casi todas partes.
Con Herm Brascamp y Joaquín Luttinger , demostró en 1974 una generalización de la desigualdad de reordenamiento de Riesz , afirmando que ciertas integrales multilineales aumentan cuando todas las funciones son reemplazadas por su reordenamiento simétrico decreciente . Con Frederick Almgren aclaró las propiedades de continuidad de la reordenación. El reordenamiento se utiliza a menudo para demostrar la existencia de soluciones para algunos modelos no lineales.
En dos artículos (uno en 1976 con Herm Brascamp y otro solo en 1990), Lieb determinó la validez y las mejores constantes de toda una familia de desigualdades que generaliza, por ejemplo, la desigualdad de Hölder , la desigualdad de Young para convoluciones y la desigualdad de Loomis. -Desigualdad de Whitney . Esto ahora se conoce como desigualdad de Brascamp-Lieb . El espíritu es que la mejor constante está determinada por el caso en que todas las funciones sean gaussianas. La desigualdad de Brascamp-Lieb ha encontrado aplicaciones y extensiones, por ejemplo, en el análisis armónico.
Utilizando desigualdades de reordenamiento y métodos de compacidad, Lieb demostró en 1983 la existencia de optimizadores para la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev y de la desigualdad de Sobolev . También determinó la mejor constante en algunos casos, descubriendo y explotando la invariancia conforme del problema y relacionándola, mediante proyección estereográfica , con un problema conforme equivalente, pero más manejable, en la esfera. Posteriormente Rupert Frank proporcionó una nueva prueba sin reordenamiento, que permitió tratar el caso del grupo de Heisenberg. [33]
En un trabajo de 1977, también demostró la unicidad (hasta las simetrías) del estado fundamental de la ecuación de Choquard-Pekar, también llamada ecuación de Schrödinger-Newton , [34] que puede describir un objeto autogravitante o un electrón que se mueve en un medio polarizable. ( polarón ). Con Lawrence Thomas proporcionó en 1997 una derivación variacional de la ecuación de Choquard-Pekar a partir de un modelo de la teoría cuántica de campos (el hamiltoniano de Fröhlich ). Esto había sido resuelto anteriormente por Monroe Donsker y Srinivasa Varadhan utilizando un método probabilístico de integral de ruta.
En otro trabajo con Herm Brascamp en 1976, Lieb amplió la desigualdad de Prékopa-Leindler a otros tipos de combinaciones convexas de dos funciones positivas. Fortaleció la desigualdad y la desigualdad de Brunn-Minkowski al introducir la noción de suma esencial.
Lieb también escribió artículos influyentes sobre mapas armónicos, entre otros con Frederick Almgren , Haïm Brezis y Jean-Michel Coron . En particular, Algrem y Lieb demostraron un límite en el número de singularidades de energía que minimizan los mapas armónicos.
Por último, cabe mencionar su libro de texto ″Análisis″ con Michael Loss . [35] Se ha convertido en un estándar para cursos de posgrado en análisis matemático. Desarrolla todas las herramientas tradicionales de análisis de forma concisa, intuitiva y elocuente, con vistas a aplicaciones.
Se trata de dos libros publicados por EMS Press con motivo del 90 cumpleaños de Lieb, que contienen alrededor de 50 capítulos sobre su influencia en los más diversos temas y los desarrollos posteriores resultantes. Muchas contribuciones son de carácter expositivo y, por tanto, accesibles a los no expertos.
