Fuerte subaditividad de la entropía cuántica

En la teoría de la información cuántica, la fuerte subaditividad de la entropía cuántica ( SSA ) es la relación entre las entropías de von Neumann de varios subsistemas cuánticos de un sistema cuántico más grande que consta de tres subsistemas (o de un sistema cuántico con tres grados de libertad). Es un teorema básico de la teoría de la información cuántica moderna . Fue conjeturada por DW Robinson y D. Ruelle ^[1] en 1966 y OE Lanford III y DW Robinson ^[2] en 1968 y probada en 1973 por EH Lieb y MB Ruskai , ^[3] basándose en los resultados obtenidos por Lieb en su prueba. de la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson. ^[4]

La versión clásica de SSA fue conocida y apreciada desde hace mucho tiempo en la teoría de la probabilidad y la teoría de la información clásicas. La prueba de esta relación en el caso clásico es bastante fácil, pero en el caso cuántico es difícil debido a la no conmutatividad de las matrices de densidad reducida que describen los subsistemas cuánticos.

Algunas referencias útiles aquí incluyen:

• "Computación cuántica e información cuántica" ^[5]
• "Entropía cuántica y su uso" ^[6]
• Trazar desigualdades y entropía cuántica: un curso introductorio ^[7]

Definiciones

Usamos la siguiente notación a lo largo de lo siguiente: Un espacio de Hilbert se denota por y denota los operadores lineales acotados en . Los productos tensoriales se indican mediante superíndices, por ejemplo, . La traza se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}}$

Matriz de densidad

Una matriz de densidad es una matriz hermitiana semidefinida positiva de traza uno. Permite la descripción de un sistema cuántico en estado mixto . Las matrices de densidad de un producto tensorial se indican mediante superíndices, por ejemplo, es una matriz de densidad de . ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$

entropía

La entropía cuántica de von Neumann de una matriz de densidad es ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )}$.

Entropía relativa

La entropía relativa cuántica de Umegaki ^[8] de dos matrices de densidad y es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0}$.

Concavidad articular

Una función de dos variables se dice que es conjuntamente cóncava si para cualquiera de ellas se cumple lo siguiente ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Subaditividad de la entropía

La subaditividad ordinaria ^[9] se refiere sólo a dos espacios y una matriz de densidad . Se afirma que ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

Esta desigualdad es cierta, por supuesto, en la teoría de probabilidad clásica, pero esta última también contiene el teorema de que las entropías condicionales y son ambas no negativas. Sin embargo, en el caso cuántico ambos pueden ser negativos, por ejemplo, pueden ser cero mientras . Sin embargo, el límite superior de la subaditividad sigue manteniéndose. Lo más parecido que tenemos es la desigualdad del triángulo Araki-Lieb ^[9] ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

que se deriva en ^[9] de la subaditividad mediante una técnica matemática conocida como purificación .

Subaditividad fuerte (SSA)

Supongamos que el espacio de Hilbert del sistema es un producto tensorial de tres espacios: . Físicamente, estos tres espacios pueden interpretarse como el espacio de tres sistemas diferentes, o bien como tres partes o tres grados de libertad de un sistema físico. ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$

Dada una matriz de densidad en , definimos una matriz de densidad en como una traza parcial : . De manera similar, podemos definir matrices de densidad: , , , , . ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$ ${\displaystyle \rho ^{23}}$ ${\displaystyle \rho ^{13}}$ ${\displaystyle \rho ^{1}}$ ${\displaystyle \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{3}}$

Declaración

Para cualquier estado tripartito se cumple lo siguiente ${\displaystyle \rho ^{123}}$

${\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})}$,

donde , por ejemplo. ${\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$

De manera equivalente, la afirmación se puede reformular en términos de entropías condicionales para mostrar que para el estado tripartito , ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$

${\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)}$.

Esto también se puede reformular en términos de información mutua cuántica ,

${\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)}$.

Estas afirmaciones son paralelas a la intuición clásica, excepto que las entropías condicionales cuánticas pueden ser negativas y las informaciones mutuas cuánticas pueden exceder el límite clásico de la entropía marginal.

Carlen y Lieb mejoraron la fuerte desigualdad de subaditividad de la siguiente manera ^[10]

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}$,

con la constante óptima . ${\displaystyle 2}$

J. Kiefer ^{[11] [12]} demostró un resultado de convexidad relacionada periféricamente en 1959, que es un corolario de una desigualdad del operador de Schwarz demostrada por EHLieb y MBRuskai. ^[3] Sin embargo, estos resultados son comparativamente simples, y las pruebas no utilizan los resultados del artículo de Lieb de 1973 sobre funcionales de traza convexos y cóncavos. ^[4] Fue este artículo el que proporcionó la base matemática de la prueba de SSA por parte de Lieb y Ruskai. La extensión de un entorno de espacio de Hilbert a un entorno de álgebra de von Neumann, donde los estados no están dados por matrices de densidad, fue realizada por Narnhofer y Thirring. ^[13]

El teorema también se puede obtener demostrando numerosos enunciados equivalentes, algunos de los cuales se resumen a continuación.

Conjetura de Wigner-Yanase-Dyson

EP Wigner y MM Yanase ^[14] propusieron una definición diferente de entropía, que fue generalizada por Freeman Dyson .

La información p -skew de Wigner-Yanase-Dyson

"La información sesgada de Wigner-Yanase-Dyson ${\displaystyle p}$ de una matriz de densidad" . con respecto a un operador es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}$

donde es un conmutador, es el adjunto de y es fijo. ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Concavidad de p -información sesgada

EP Wigner y MM Yanase conjeturaron en ^[15] que la información sesgada es cóncava en función de una matriz de densidad para un valor fijo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Como el término es cóncavo (es lineal), la conjetura se reduce al problema de la concavidad de . Como se señaló en ^[4] , esta conjetura (para todos ) implica SSA, y fue demostrada para en, ^[15] y para todos en ^[4] de la siguiente forma más general: La función de dos variables matriciales ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$ ${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

es conjuntamente cóncavo en y cuando y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle p+r\leq 1}$

Este teorema es una parte esencial de la demostración de SSA en. ^[3]

En su artículo ^[15], EP Wigner y MM Yanase también conjeturaron la subaditividad de la información sesgada para , lo cual fue refutado por Hansen ^[16] al dar un contraejemplo. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$

Las dos primeras declaraciones equivalen a SSA

Se señaló en ^[9] que la primera declaración a continuación es equivalente a SSA y A. Ulhmann en ^[17] mostró la equivalencia entre la segunda declaración a continuación y SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$Tenga en cuenta que las entropías condicionales y no tienen por qué ser ambas no negativas. ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$
• El mapa es convexo. ${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$

Ambas declaraciones fueron probadas directamente en. ^[3]

Convexidad conjunta de entropía relativa

Como señalaron Lindblad ^[18] y Uhlmann, ^[19] si, en la ecuación ( 1 ), se toma y y y se diferencia en at , se obtiene la convexidad conjunta de la entropía relativa : es decir, si , y , entonces ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$ ${\displaystyle B=\sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$

donde con . ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$

Monotonicidad de la entropía relativa cuántica.

La entropía relativa disminuye monótonamente bajo operaciones de preservación de trazas completamente positivas (CPTP) en matrices de densidad, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

Esta desigualdad se llama Monotonicidad de la entropía relativa cuántica. Debido al teorema de factorización de Stinespring , esta desigualdad es consecuencia de una elección particular del mapa CPTP: un mapa de traza parcial que se describe a continuación.

La clase más importante y básica de mapas CPTP es una operación de rastreo parcial , dada por . Entonces ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$

que se llama Monotonicidad de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial .

Para ver cómo esto se sigue de la convexidad conjunta de la entropía relativa, observe que se puede escribir en la representación de Uhlmann como ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

para algunas colecciones finitas y unitarias de matrices (alternativamente, integrar sobre la medida de Haar ). Dado que la traza (y por tanto la entropía relativa) es unitariamente invariante, la desigualdad ( 3 ) ahora se deriva de ( 2 ). Este teorema se debe a Lindblad ^[18] y Uhlmann, ^[17] cuya demostración es la que se presenta aquí. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$

SSA se obtiene de ( 3 ) con reemplazado por y reemplazado . Llevar . Entonces ( 3 ) se convierte ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$ ${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

que es SSA. Por lo tanto, la monotonicidad de la entropía relativa cuántica (que se deriva de ( 1 ) implica SSA.

Relación entre desigualdades

Todas las desigualdades importantes anteriores son equivalentes entre sí y también pueden demostrarse directamente. Los siguientes son equivalentes:

• Monotonicidad de la entropía relativa cuántica (MONO);
• Monotonicidad de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial (MPT);
• Fuerte subaditividad (SSA);
• Convexidad conjunta de la entropía relativa cuántica (JC);

Las siguientes implicaciones muestran la equivalencia entre estas desigualdades.

• MONO MPT: sigue ya que el MPT es un caso particular de MONO; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT MONO: fue demostrado por Lindblad, ^[20] utilizando una representación de mapas estocásticos como una traza parcial sobre un sistema auxiliar; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT SSA: sigue tomando una elección particular de estados tripartitos en MPT, descrita en la sección anterior, "Monotonicidad de la entropía relativa cuántica"; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• SSA MPT: al elegir ser diagonal de bloque, se puede demostrar que SSA implica que el mapa ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$es convexo. En ^[3] se observó que esta convexidad produce MPT;

• MPT JC: como se mencionó anteriormente, al elegir (y de manera similar, ) ser una matriz diagonal de bloques con bloques (y ), la traza parcial es una suma sobre bloques de modo que , de MPT se puede obtener JC; ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{12}}$ ${\displaystyle \sigma _{12}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$
• JC SSA: utilizando el 'proceso de purificación', Araki y Lieb, ^{[9] [21]} observaron que se podían obtener nuevas desigualdades útiles a partir de las conocidas. Purificando se puede demostrar que SSA es equivalente a ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$ ${\displaystyle \rho _{1234}}$

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

Además, si es pura, entonces y , entonces la igualdad se cumple en la desigualdad anterior. Dado que los puntos extremos del conjunto convexo de matrices de densidad son estados puros, SSA se deriva de JC; ${\displaystyle \rho _{124}}$ ${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$ ${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$

Véase ^{[21] [22]} para una discusión.

El caso de la igualdad

Igualdad en la monotonicidad de la desigualdad cuántica de entropía relativa

En ^{[23] [24]} D. Petz demostró que el único caso de igualdad en la relación de monotonicidad es tener un canal de "recuperación" adecuado:

Para todos los estados y en un espacio de Hilbert y todos los operadores cuánticos , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y sólo si existe un operador cuántico tal que ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,}$ y ${\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}$

Además, puede estar dado explícitamente por la fórmula ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}$

¿Dónde está el mapa adjunto de ? ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

D. Petz también dio otra condición ^[23] cuando la igualdad se cumple en la monotonicidad de la entropía relativa cuántica: la primera afirmación a continuación. Diferenciandolo en tenemos la segunda condición. Además, MB Ruskai dio otra prueba de la segunda afirmación. ${\displaystyle t=0}$

Para todos los estados en adelante y todos los operadores cuánticos , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

• ${\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}}$por todo real . ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}$

¿Dónde está el mapa adjunto de ? ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Igualdad en desigualdad de subaditividad fuerte

P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz y A. Winter describieron los estados en los que se mantiene la igualdad en el África subsahariana. ^[25]

Un estado en un espacio de Hilbert satisface una subaditividad fuerte con igualdad si y sólo si hay una descomposición del segundo sistema como ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}$

en una suma directa de productos tensoriales, tal que

${\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}$

con estados una y otra vez , y una distribución de probabilidad . ${\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$ ${\displaystyle \{q_{j}\}}$

Ampliación Carlen-Lieb

EH Lieb y EA Carlen han encontrado un término de error explícito en la desigualdad SSA, ^[10] a saber,

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

Si y , como siempre ocurre con la entropía de Shannon clásica, esta desigualdad no tiene nada que decir. Para la entropía cuántica, por otro lado, es muy posible que las entropías condicionales satisfagan o (¡pero nunca ambas!). Entonces, en este régimen "altamente cuántico", esta desigualdad proporciona información adicional. ${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$

La constante 2 es óptima, en el sentido de que para cualquier constante mayor que 2, se puede encontrar un estado para el cual se viola la desigualdad con esa constante.

Extensión del operador de subaditividad fuerte.

En su artículo ^[26] I. Kim estudió una extensión del operador de subaditividad fuerte, demostrando la siguiente desigualdad:

Para un estado tripartito (matriz de densidad) en , ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

La prueba de esta desigualdad se basa en el teorema de Effros , ^[27] para el cual se eligen funciones y operadores particulares para derivar la desigualdad anterior. MB Ruskai describe este trabajo en detalle en ^[28] y analiza cómo demostrar una gran clase de nuevas desigualdades matriciales en los casos tripartitos y bipartitos tomando una traza parcial sobre todos los espacios menos uno.

Extensiones de fuerte subaditividad en términos de recuperabilidad

En 2014 se demostró un fortalecimiento significativo de la fuerte subaditividad, ^[29] que posteriormente se mejoró en ^[30] y. ^[31] En 2017, ^[32] se demostró que el canal de recuperación puede considerarse como el mapa de recuperación original de Petz. Estas mejoras de fuerte subaditividad tienen interpretaciones físicas en términos de recuperabilidad, lo que significa que si la información mutua condicional de un estado cuántico tripartito es casi igual a cero, entonces es posible realizar un canal de recuperación (del sistema E a AE) tal que . Estos resultados generalizan así las condiciones exactas de igualdad mencionadas anteriormente. ${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$

Ver también

• Entropía de von Neumann
• Entropía cuántica condicional
• Información mutua cuántica
• Divergencia Kullback-Leibler

Referencias

1. Robinson, Derek W.; Ruelle, David (1967). "Entropía media de estados en la mecánica estadística clásica". Comunicaciones en Física Matemática . 5 (4). Springer Science y Business Media LLC: 288–300. Código bibliográfico : 1967CMaPh...5..288R. doi :10.1007/bf01646480. ISSN  0010-3616. S2CID  115134613.
2. Lanford, Óscar E.; Robinson, Derek W. (1968). "Entropía media de estados en mecánica estadística cuántica". Revista de Física Matemática . 9 (7). Publicación AIP: 1120–1125. Código bibliográfico : 1968JMP......9.1120L. doi : 10.1063/1.1664685. ISSN  0022-2488.
3. Lieb, Elliott H .; Ruskai, Mary Beth (1973). "Prueba de la fuerte subaditividad de la entropía mecánico-cuántica" (PDF) . Revista de Física Matemática . 14 (12). Publicaciones AIP: 1938-1941. Código bibliográfico : 1973JMP....14.1938L. doi : 10.1063/1.1666274. ISSN  0022-2488.
4. Lieb, Elliott H (1973). "Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson". Avances en Matemáticas . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X . ISSN  0001-8708.
5. M. Nielsen, I. Chuang, Computación cuántica e información cuántica, Cambr. U. Prensa, (2000)
6. M. Ohya, D. Petz, Entropía cuántica y su uso, Springer (1993)
7. E. Carlen, Trazas de desigualdades y entropía cuántica: un curso introductorio, Contemp. Matemáticas. 529 (2009).
8. Umegaki, Hisaharu (1962). "Expectativa condicional en un álgebra de operadores. IV. Entropía e información". Informes del seminario de matemáticas de Kodai . 14 (2). Instituto de Tecnología de Tokio, Departamento de Matemáticas: 59–85. doi : 10.2996/kmj/1138844604 . ISSN  0023-2599.
9. Araki, Huzihiro; Lieb, Elliott H. (1970). "Desigualdades de entropía". Comunicaciones en Física Matemática . 18 (2): 160-170. Código bibliográfico : 1970CMaPh..18..160A. doi :10.1007/BF01646092. ISSN  0010-3616. S2CID  189832417.
10. Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. (2012). "Límites del entrelazamiento mediante una extensión de fuerte subaditividad de la entropía". Letras en Física Matemática . 101 (1): 1–11. arXiv : 1203.4719 . Código Bib : 2012LMaPh.101....1C. doi :10.1007/s11005-012-0565-6. S2CID  119317605.
11. Kiefer, J. (julio de 1959). "Diseños experimentales óptimos". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B (Metodológica) . 21 (2): 272–310. doi :10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x.
12. Ruskai, María Beth. "Evolución de un teorema fundamental [sic] sobre la entropía cuántica". youtube.com . Científico mundial . Consultado el 20 de agosto de 2020 . Charla invitada en la Conferencia en honor del 90 cumpleaños de Freeman Dyson, Instituto de Estudios Avanzados, Universidad Tecnológica de Nanyang, Singapur, 26 al 29 de agosto de 2013. La nota sobre Kiefer (1959) está en el minuto 26:40.
13. Narnhofer, H. (1985). "De la entropía relativa a la entropía". Fizika . 17 : 258–262.
14. Wigner, EP; Yanase, MM (1 de mayo de 1963). "Contenido informativo de las distribuciones". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 49 (6): 910–918. Código bibliográfico : 1963PNAS...49..910W. doi : 10.1073/pnas.49.6.910 . ISSN  0027-8424. PMC 300031 . PMID  16591109. 
15. Wigner, Eugene P.; Yanase, Mutsuo M. (1964). "Sobre la naturaleza positiva semidefinida de una determinada expresión matricial". Revista Canadiense de Matemáticas . dieciséis . Sociedad Canadiense de Matemáticas: 397–406. doi :10.4153/cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
16. Hansen, Frank (18 de enero de 2007). "La entropía Wigner-Yanase no es subaditiva". Revista de Física Estadística . 126 (3). Naturaleza Springer: 643–648. arXiv : math-ph/0609019 . Código Bib : 2007JSP...126..643H. doi :10.1007/s10955-006-9265-x. ISSN  0022-4715. S2CID  119667187.
17. A. Ulhmann, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. Z. Karl-Marx-Universidad de Leipzig 22 Jg. H. 2., 139 (1973).
18. Lindblad, Göran (1974). "Expectativas y desigualdades de entropía para sistemas cuánticos finitos". Comunicaciones en Física Matemática . 39 (2): 111–119. Código bibliográfico : 1974CMaPh..39..111L. doi :10.1007/BF01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
19. Uhlmann, A. (1977). "Entropía relativa y concavidad de Wigner-Yanase-Dyson-Lieb en una teoría de interpolación". Comunicaciones en Física Matemática . 54 (1): 21–32. Código bibliográfico : 1977CMaPh..54...21U. doi :10.1007/BF01609834. ISSN  0010-3616. S2CID  15800519.
20. Lindblad, Göran (1975). "Mapas completamente positivos y desigualdades de entropía". Comunicaciones en Física Matemática . 40 (2). Springer Science y Business Media LLC: 147–151. Código bibliográfico : 1975CMaPh..40..147L. doi :10.1007/bf01609396. ISSN  0010-3616. S2CID  121650206.
21. Lieb, EH (1975). "Algunas propiedades de la entropía de convexidad y subaditividad". Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 81 : 1–13. doi : 10.1090/s0002-9904-1975-13621-4 .
22. Ruskai, Mary Beth (2002). "Desigualdades para la entropía cuántica: una revisión con condiciones para la igualdad". Revista de Física Matemática . 43 (9). Publicación AIP: 4358–4375. arXiv : quant-ph/0205064 . Código Bib : 2002JMP....43.4358R. doi :10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.errata 46, 019901 (2005)
23. Petz, Dénes (1986). "Subálgebras suficientes y entropía relativa de estados de un álgebra de von Neumann". Comunicaciones en Física Matemática . 105 (1). Springer Science y Business Media LLC: 123–131. Código bibliográfico : 1986CMaPh.105..123P. doi :10.1007/bf01212345. ISSN  0010-3616. S2CID  18836173.
24. D. Petz, Suficiencia de canales sobre álgebras de von Neumann, Quart. J. Matemáticas. Oxford 35, 475–483 (1986).
25. P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz, A. Winter , Estructura de estados que satisfacen una fuerte subaditividad de la entropía cuántica con igualdad, Comm. Matemáticas. Física. 246, 359–374 (2003).
26. I. Kim, Extensión del operador de subaditividad fuerte de entropía, arXiv :1210.5190 (2012).
27. Effros, EG (2009). "Un enfoque de convexidad matricial para algunas desigualdades cuánticas celebradas". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 106 (4): 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . Código Bib : 2009PNAS..106.1006E. doi : 10.1073/pnas.0807965106 . PMC 2633548 . PMID  19164582. 
28. MB Ruskai, Comentarios sobre la fuerte desigualdad de la matriz de subaditividad de Kim: extensiones y condiciones de igualdad, arXiv : 1211.0049 (2012).
29. O. Fawzi, R. Renner. Información mutua condicional cuántica y cadenas de Markov aproximadas. Comunicaciones en Física Matemática: 340, 2 (2015)
30. MM Wilde. Recuperabilidad en la teoría de la información cuántica. Actas de la Royal Society A, vol. 471, núm. 2182, página 20150338 Octubre 2015
31. Marius Junge, Renato Renner, David Sutter, Mark M. Wilde, Andreas Winter. Mapas de recuperación universal y suficiencia aproximada de la entropía relativa cuántica. Annales Henri Poincaré, vol. 19, núm. 10, páginas 2955--2978, octubre de 2018 arXiv :1509.07127
32. Carlen, Eric A.; Vershynina, Anna (6 de octubre de 2017). "Estabilidad del mapa de recuperación para la desigualdad en el procesamiento de datos". arXiv : 1710.02409 [matemáticas.OA].