Lieb-desigualdad sedienta

En matemáticas y física , las desigualdades de Lieb-Thirring proporcionan un límite superior a las sumas de potencias de los valores propios negativos de un operador de Schrödinger en términos de integrales del potencial. Llevan el nombre de EH Lieb y WE Thirring .

Las desigualdades son útiles en estudios de mecánica cuántica y ecuaciones diferenciales e implican, como corolario, un límite inferior de la energía cinética de las partículas de la mecánica cuántica que juega un papel importante en la prueba de la estabilidad de la materia . ^[1] ${\displaystyle N}$

Declaración de las desigualdades

Para el operador de Schrödinger con potencial de valor real, los números denotan la secuencia (no necesariamente finita) de valores propios negativos. Entonces, para y satisfaciendo una de las condiciones ${\displaystyle -\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\,n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}}$

existe una constante , que sólo depende de y , tal que ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

¿Dónde está la parte negativa del potencial ? Estos casos también fueron probados por EH Lieb y WE Thirring en 1976 ^[1] y utilizados en su prueba de estabilidad de la materia. En este caso, el lado izquierdo es simplemente el número de valores propios negativos, y las pruebas fueron dadas de forma independiente por M. Cwikel, ^[2] EH Lieb ^[3] y GV Rozenbljum. ^[4] La desigualdad resultante también se denomina límite de Cwikel-Lieb-Rosenbljum. El caso crítico restante lo confirmó T. Weidl ^[5] Las condiciones de y son necesarias y no pueden flexibilizarse. ${\displaystyle V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \gamma >1/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma >0,n\geq 2}$ ${\displaystyle \gamma =0,n\geq 3}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$

Constantes de Lieb-Sediento

Aproximación semiclásica

Las desigualdades de Lieb-Thirring se pueden comparar con el límite semiclásico. El espacio de fase clásico consta de pares Identificando el operador de momento con y suponiendo que cada estado cuántico está contenido en un volumen en el espacio de fase -dimensional, la aproximación semiclásica ${\displaystyle (p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.}$ ${\displaystyle -\mathrm {i} \nabla }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (2\pi )^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-}^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x}$

se deriva con la constante

${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.}$

Si bien la aproximación semiclásica no necesita ningún supuesto sobre , las desigualdades de Lieb-Thirring solo son válidas para adecuado . ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Asintóticas de Weyl y constantes agudas.

Se han publicado numerosos resultados sobre la mejor constante posible en ( 1 ), pero este problema aún está parcialmente abierto. La aproximación semiclásica se vuelve exacta en el límite de gran acoplamiento, es decir, para los potenciales, las asintóticas de Weyl. ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \beta V}$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{-}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x}$

sostener. Esto implica que . Lieb y Thirring ^[1] pudieron demostrarlo . M. Aizenman y EH Lieb ^[6] demostraron que para dimensiones fijas la relación es una función monótona y no creciente de . Posteriormente , A. Laptev y T. Weidl también demostraron que era válido para todos . ^[7] Para D. Hundertmark, EH Lieb y LE Thomas ^[8] demostraron que la mejor constante está dada por . ${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle \gamma \geq 3/2,n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma \geq 3/2}$ ${\displaystyle \gamma =1/2,\,n=1}$ ${\displaystyle L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=1/2}$

Por otro lado, se sabe que para ^[1] y para . ^[9] En el primer caso, Lieb y Thirring conjeturaron que la constante aguda está dada por ${\displaystyle L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle 1/2\leq \gamma <3/2,n=1}$ ${\displaystyle \gamma <1,d\geq 1}$

${\displaystyle L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.}$

El valor más conocido de la constante física relevante es ^[10] y la constante más pequeña conocida en la desigualdad de Cwikel-Lieb-Rosenbljum es . ^[3] En la literatura se puede encontrar un estudio completo de los valores más conocidos actualmente . ^[11] ${\displaystyle L_{1,3}}$ ${\displaystyle 1.456L_{1,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle 6.869L_{0,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$

Desigualdades de energía cinética

La desigualdad de Lieb-Thirring es equivalente a un límite inferior de la energía cinética de una determinada función de onda de partículas normalizada en términos de la densidad de un cuerpo. Para una función de onda antisimétrica tal que ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})}$

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{N})}$

para todos , la densidad de un cuerpo se define como ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle \rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N})|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

La desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) para es equivalente a la afirmación de que ${\displaystyle \gamma =1}$

donde la constante aguda se define mediante ${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle \left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {n}{2}}\right)L_{1,n}\right)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.}$

La desigualdad se puede extender a partículas con estados de espín reemplazando la densidad de un cuerpo por la densidad de un cuerpo sumada por espín. Luego, la constante debe reemplazarse por dónde está el número de estados de espín cuánticos disponibles para cada partícula ( para los electrones). Si la función de onda es simétrica, en lugar de antisimétrica, de modo que ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}/q^{2/n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=2}$

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$

para todos , la constante debe ser reemplazada por . La desigualdad ( 2 ) describe la energía cinética mínima necesaria para lograr una densidad determinada con partículas en dimensiones. Si se demuestra que es así, el lado derecho de ( 2 ) sería precisamente el término de energía cinética en la teoría de Thomas-Fermi . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle \rho _{\psi }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle n=3}$

La desigualdad se puede comparar con la desigualdad de Sobolev . M. Rumin ^[12] derivó la desigualdad de energía cinética ( 2 ) (con una constante más pequeña) directamente sin el uso de la desigualdad de Lieb-Thirring.

La estabilidad de la materia.

(para más información, lea la página Estabilidad de la materia )

La desigualdad de energía cinética juega un papel importante en la prueba de la estabilidad de la materia presentada por Lieb y Thirring. ^[1] El hamiltoniano que estamos considerando describe un sistema de partículas con estados de espín y núcleos fijos en lugares con cargas . Las partículas y los núcleos interactúan entre sí mediante la fuerza electrostática de Coulomb y se puede introducir un campo magnético arbitrario . Si las partículas consideradas son fermiones (es decir, la función de onda es antisimétrica), entonces la desigualdad de energía cinética ( 2 ) se cumple con la constante (no ). Este es un ingrediente crucial en la prueba de la estabilidad de la materia para un sistema de fermiones. Garantiza que la energía del estado fundamental del sistema pueda estar limitada desde abajo por una constante que depende únicamente del máximo de las cargas del núcleo, multiplicado por el número de partículas, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{j}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Z_{j}>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K_{n}/q^{2/n}}$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})}$ ${\displaystyle Z_{\max }}$

${\displaystyle E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.}$

El sistema es entonces estable del primer tipo, ya que la energía del estado fundamental está limitada desde abajo, y también estable del segundo tipo, es decir, la energía decrece linealmente con el número de partículas y núcleos. En comparación, si se supone que las partículas son bosones (es decir, la función de onda es simétrica), entonces la desigualdad de energía cinética ( 2 ) solo se cumple con la constante y para la energía del estado fundamental solo se cumple un límite de la forma . Dado que se puede demostrar que la potencia es óptima, un sistema de bosones es estable del primer tipo pero inestable del segundo. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K_{n}/N^{2/n}}$ ${\displaystyle -CN^{5/3}}$ ${\displaystyle 5/3}$

Generalizaciones

Si el laplaciano se reemplaza por , donde hay un potencial de vector de campo magnético en la desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) sigue siendo cierto. La prueba de esta afirmación utiliza la desigualdad diamagnética . Aunque todas las constantes conocidas actualmente permanecen sin cambios, no se sabe si esto es así en general para la mejor constante posible. ${\displaystyle -\Delta =-\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathrm {i} \nabla +A(x))^{2}}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$

El laplaciano también puede ser sustituido por otras potencias de . En particular para el operador , una desigualdad de Lieb-Thirring similar a ( 1 ) se cumple con una constante diferente y con la potencia en el lado derecho reemplazada por . De manera análoga, se cumple una desigualdad cinética similar a ( 2 ), reemplazada por , que puede usarse para demostrar la estabilidad de la materia para el operador relativista de Schrödinger bajo supuestos adicionales sobre las cargas . ^[13] ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-\Delta }}}$ ${\displaystyle L_{\gamma ,n}}$ ${\displaystyle \gamma +n}$ ${\displaystyle 1+2/n}$ ${\displaystyle 1+1/n}$ ${\displaystyle Z_{k}}$

En esencia, la desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) da un límite superior a las distancias de los valores propios al espectro esencial en términos de la perturbación . Se pueden demostrar desigualdades similares para los operadores de Jacobi . ^[14] ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle V}$

Referencias

1. Lieb, Elliott H.; Sediento, Walter E. (1991). "Desigualdades para los momentos de los valores propios del hamiltoniano de Schrodinger y su relación con las desigualdades de Sobolev". En Thirring, Walter E. (ed.). La estabilidad de la materia: de los átomos a las estrellas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 135-169. doi :10.1007/978-3-662-02725-7_13. ISBN 978-3-662-02727-1.
2. Cwikel, Michael (1977). "Estimaciones de tipos débiles para valores singulares y el número de estados vinculados de operadores de Schrödinger". Los Anales de las Matemáticas . 106 (1): 93-100. doi :10.2307/1971160. JSTOR  1971160.
3. Lieb, Elliott (1 de agosto de 1976). "Límites de los valores propios de los operadores de Laplace y Schroedinger". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 82 (5): 751–754. doi : 10.1090/s0002-9904-1976-14149-3 .
4. Rozenbljum, GV (1976). "Distribución del espectro discreto de operadores diferenciales singulares". Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika (1): 75–86. SEÑOR  0430557. Zbl  0342.35045.
5. Weidl, Timo (1996). "Sobre las constantes de Lieb-Thirring para γ≧1/2". Comunicaciones en Física Matemática . 178 (1): 135-146. arXiv : quant-ph/9504013 . doi :10.1007/bf02104912. S2CID  117980716. ${\displaystyle L_{\gamma ,1}}$
6. Aizenman, Michael; Lieb, Elliott H. (1978). "Sobre límites semiclásicos para valores propios de operadores de Schrödinger". Letras de Física A. 66 (6): 427–429. Código bibliográfico : 1978PhLA...66..427A. doi :10.1016/0375-9601(78)90385-7.
7. Láptev, Ari; Weidl, Timo (2000). "Agudas desigualdades de Lieb-Thirring en altas dimensiones". Acta Matemática . 184 (1): 87-111. arXiv : math-ph/9903007 . doi : 10.1007/bf02392782 .
8. Hundertmark, Dirk; Lieb, Elliott H.; Thomas, Lawrence E. (1998). "Un límite definido para un momento de valor propio del operador de Schrödinger unidimensional". Avances en Física Teórica y Matemática . 2 (4): 719–731. doi : 10.4310/atmp.1998.v2.n4.a2 .
9. Helffer, B.; Robert, D. (1990). "Riesz significa estados acotados y límite semiclásico relacionados con una conjetura de Lieb-Thirring. II". Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 53 (2): 139-147. SEÑOR  1079775. Zbl  0728.35078.
10. Frank, Ruperto; Hundertmark, Dirk; Jex, Mical; Nam, Phan Thành (2021). "Revisión de la desigualdad Lieb-Thirring". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 10 (4): 2583–2600. arXiv : 1808.09017 . doi : 10.4171/JEMS/1062 .
11. Láptev, Ari. "Desigualdades espectrales para ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones". Estudios AMS/IP en Matemática Avanzada . 51 : 629–643.
12. Rumin, Michel (2011). "Desigualdades equilibradas de distribución-energía y límites de entropía relacionados". Revista de Matemáticas de Duke . 160 (3): 567–597. arXiv : 1008.1674 . doi :10.1215/00127094-1444305. SEÑOR  2852369. S2CID  638691.
13. Frank, Rupert L.; Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert (10 de octubre de 2007). "Desigualdades de Hardy-Lieb-Thirring para operadores fraccionarios de Schrödinger" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 21 (4): 925–950. doi : 10.1090/s0894-0347-07-00582-6 .
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Literatura

• Lieb, EH; Seiringer, R. (2010). La estabilidad de la materia en la mecánica cuántica (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521191180.
• Hundertmark, D. (2007). "Algunos problemas de estados ligados en mecánica cuántica". En Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Gálvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (eds.). Teoría espectral y física matemática: un Festschrift en honor al 60 cumpleaños de Barry Simon . Actas de simposios de matemática pura. vol. 76. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 463–496. Código Bib : 2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.