operador jacobi

Un operador de Jacobi , también conocido como matriz de Jacobi , es un operador lineal simétrico que actúa sobre secuencias dadas por una matriz tridiagonal infinita . Se utiliza comúnmente para especificar sistemas de polinomios ortonormales sobre una medida de Borel positiva y finita . Este operador lleva el nombre de Carl Gustav Jacob Jacobi .

El nombre deriva de un teorema de Jacobi, que data de 1848, que establece que toda matriz simétrica sobre un dominio ideal principal es congruente con una matriz tridiagonal.

Operadores Jacobi autónomos

El caso más importante es el de los operadores de Jacobi autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables sobre números enteros positivos . En este caso viene dado por ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle Jf_{0}=a_{0}f_{1}+b_{0}f_{0},\quad Jf_{n}=a_{n}f_{n+1}+b_{n}f_{n}+a_{n-1}f_{n-1},\quad n>0,}$

donde se supone que los coeficientes satisfacen

${\displaystyle a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}$

El operador estará acotado si y sólo si los coeficientes están acotados.

Existen estrechas conexiones con la teoría de los polinomios ortogonales . De hecho, la solución de la relación de recurrencia ${\displaystyle p_{n}(x)}$

${\displaystyle J\,p_{n}(x)=x\,p_{n}(x),\qquad p_{0}(x)=1{\text{ and }}p_{-1}(x)=0,}$

es un polinomio de grado n y estos polinomios son ortonormales con respecto a la medida espectral correspondiente al vector de primera base . ${\displaystyle \delta _{1,n}}$

Esta relación de recurrencia también se escribe comúnmente como

${\displaystyle xp_{n}(x)=a_{n+1}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n}p_{n-1}(x)}$

Aplicaciones

Surge en muchas áreas de las matemáticas y la física. El caso a ( n )=1 se conoce como operador de Schrödinger unidimensional discreto . También surge en:

• El par Lax de la red Toda .
• La relación de recurrencia de tres términos de polinomios ortogonales , ortogonales sobre una medida de Borel positiva y finita .
• Algoritmos ideados para calcular reglas de cuadratura gaussianas , derivadas de sistemas de polinomios ortogonales. ^[1]

Generalizaciones

Cuando se considera el espacio de Bergman , es decir, el espacio de funciones holomorfas integrables al cuadrado sobre algún dominio, entonces, en circunstancias generales, se puede darle a ese espacio una base de polinomios ortogonales, los polinomios de Bergman. En este caso, el análogo del operador tridiagonal de Jacobi es un operador de Hessenberg: una matriz de Hessenberg de dimensión infinita . El sistema de polinomios ortogonales viene dado por

${\displaystyle zp_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n+1}D_{kn}p_{k}(z)}$

y . Aquí, D es el operador de Hessenberg que generaliza el operador tridiagonal de Jacobi J para esta situación. ^{[2] [3] [4]} Tenga en cuenta que D es el operador de desplazamiento a la derecha en el espacio de Bergman: es decir, está dado por ${\displaystyle p_{0}(z)=1}$

${\displaystyle [Df](z)=zf(z)}$

Los ceros del polinomio de Bergman corresponden a los valores propios de la submatriz principal de D. Es decir, los polinomios de Bergman son los polinomios característicos de las submatrices principales del operador de desplazamiento. ${\displaystyle p_{n}(z)}$ ${\displaystyle n\times n}$

Ver también

• matriz de hankel

Referencias

1. Meurant, Gerard; Sommariva, Alvise (2014). "Variantes rápidas del algoritmo de Golub y Welsch para funciones de peso simétricas en Matlab" (PDF) . Algoritmos Numéricos . 67 (3): 491–506. doi :10.1007/s11075-013-9804-x. S2CID  7385259.
2. Tomeo, V.; Torrano, E. (2011). "Dos aplicaciones de la subnormalidad de la matriz de Hessenberg relacionadas con polinomios ortogonales generales" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016/j.laa.2011.04.027 .
3. Saff, Edward B.; Stylianopoulos, Nikos (2014). "Asintóticas para matrices de Hessenberg para el operador de turnos de Bergman en las regiones de Jordania". Análisis complejo y teoría del operador . 8 (1): 1–24. arXiv : 1205.4183 . doi :10.1007/s11785-012-0252-8. SEÑOR  3147709.
4. Escribano, Carmen; Giraldo, Antonio; Sastre, M. Asunción; Torrano, Emilio (2013). "La matriz de Hessenberg y la función cartográfica de Riemann". Avances en Matemática Computacional . 39 (3–4): 525–545. arXiv : 1107.6036 . doi :10.1007/s10444-012-9291-y. SEÑOR  3116040.

• Teschl, Gerald (2000), Operadores de Jacobi y celosías no lineales completamente integrables, Providence: Amer. Matemáticas. Sociedad, ISBN 0-8218-1940-2

enlaces externos

• "Matriz de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]