Desigualdad diamagnética

Desigualdad matemática que relaciona la derivada de una función con su derivada covariante

En matemáticas y física , la desigualdad diamagnética relaciona la norma de Sobolev del valor absoluto de una sección de un paquete de líneas con su derivada covariante . La desigualdad diamagnética tiene una interpretación física importante: una partícula cargada en un campo magnético tiene más energía en su estado fundamental que en el vacío . ^{[1] [2]}

Para expresar con precisión la desigualdad, denotemos el habitual espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado y el espacio de Sobolev de funciones integrables al cuadrado con derivadas integrables al cuadrado. Sean funciones medibles y supongamos que tiene valor real, valor complejo y . Luego, para casi todos , en particular . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,A_{1},\dots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.}$$ ${\displaystyle |f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Prueba

Para esta prueba seguimos a Elliott H. Lieb y Michael Loss . ^[1] A partir de los supuestos, cuando se ven en el sentido de distribuciones y para casi todos los casos que (y si ). Además , para casi todos los que . El caso que es similar. ${\displaystyle \partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j}f)=0.}$$ $${\displaystyle \nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Aplicación a paquetes de líneas

Sea un paquete de líneas U (1) y sea una conexión de forma 1 para . En esta situación, tiene un valor real y la derivada covariante satisface para cada sección . Estos son los componentes de la conexión trivial para . Si y , entonces para casi todos , se deduce de la desigualdad diamagnética que ${\displaystyle p:L\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.}$$

El caso anterior es del mayor interés físico. Lo vemos como espacio-tiempo de Minkowski . Dado que el grupo de calibre del electromagnetismo es , las formas de conexión 1 para no son más que los cuatro potenciales electromagnéticos válidos en . Si es el tensor electromagnético , entonces el sistema Maxwell - Klein-Gordon sin masa para una sección de are y la energía de este sistema físico es La desigualdad diamagnética garantiza que la energía se minimiza en ausencia de electromagnetismo, por lo tanto . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatorname {Im} (\phi \mathbf {D} _{\nu }\phi )\\\mathbf {D} ^{\mu }\mathbf {D} _{\mu }\phi =0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle A=0}$

Ver también

• Diamagnetismo  : propiedad magnética de los materiales ordinarios.

Citas

1. Lieb, Elliott; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821827833.
2. Hiroshima, Fumio (1996). "Desigualdades diamagnéticas para sistemas de partículas no relativistas con campo cuantificado". Reseñas en Física Matemática . 8 (2): 185–203. Código Bib : 1996RvMaP...8..185H. doi :10.1142/S0129055X9600007X. hdl : 2115/69048 . SEÑOR  1383577. S2CID  115703186 . Consultado el 25 de noviembre de 2021 .
3. Oh, Sung-Jin; Tataru, Daniel (2016). "Bien planteado local de la ecuación de Maxwell-Klein-Gordon (4 + 1) dimensiones". Anales de PDE . 2 (1). arXiv : 1503.01560 . doi :10.1007/s40818-016-0006-4. S2CID  116975954.