Jules Henri Poincaré ( Reino Unido : / ˈ p w æ̃ k ɑːr eɪ / , EE. UU. : / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ r eɪ / ; francés: [ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe] ⓘ ;[1][2][3]29 de abril de 1854 - 17 de julio de 1912) fue un matemático,físico teórico, ingeniero yfilósofo de la ciencia. A menudo se le describe como unerudito, y en matemáticas como "El último universalista",[4]ya que se destacó en todos los campos de la disciplina tal como existía durante su vida. Debido a su éxito científico, influencia y sus descubrimientos, se le ha considerado "el filósofo por excelencia de la ciencia moderna".[5]
Como matemático y físico , hizo muchas contribuciones fundamentales originales a las matemáticas puras y aplicadas , la física matemática y la mecánica celeste . [6] En su investigación sobre el problema de los tres cuerpos , Poincaré se convirtió en la primera persona en descubrir un sistema determinista caótico que sentó las bases de la teoría del caos moderna . También se le considera uno de los fundadores del campo de la topología .
Poincaré dejó clara la importancia de prestar atención a la invariancia de las leyes de la física bajo diferentes transformaciones y fue el primero en presentar las transformaciones de Lorentz en su forma simétrica moderna. Poincaré descubrió las transformaciones relativistas de velocidad restantes y las registró en una carta a Hendrik Lorentz en 1905. Así obtuvo la invariancia perfecta de todas las ecuaciones de Maxwell , un paso importante en la formulación de la teoría de la relatividad especial . En 1905, Poincaré propuso por primera vez las ondas gravitacionales ( ondes gravifiques ) que emanaban de un cuerpo y se propagaban a la velocidad de la luz como requeridas por las transformaciones de Lorentz. [7] En 1912, escribió un artículo influyente que proporcionaba un argumento matemático a favor de la mecánica cuántica . [8] [9]
El grupo de Poincaré utilizado en física y matemáticas lleva su nombre.
A principios del siglo XX formuló la conjetura de Poincaré que con el tiempo se convirtió en uno de los famosos problemas no resueltos de matemáticas hasta que fue resuelta en 2002-2003 por Grigori Perelman .
Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en el barrio de Cité Ducale, Nancy, Meurthe-et-Moselle , en el seno de una influyente familia francesa. [10] Su padre Léon Poincaré (1828-1892) fue profesor de medicina en la Universidad de Nancy . [11] Su hermana menor, Aline, se casó con el filósofo espiritual Émile Boutroux . Otro miembro notable de la familia de Henri fue su primo, Raymond Poincaré , miembro de la Académie française , que fue presidente de Francia de 1913 a 1920 y tres veces primer ministro de Francia entre 1913 y 1929. [12]
Durante su infancia estuvo gravemente enfermo durante un tiempo de difteria y recibió instrucción especial de su madre, Eugénie Launois (1830-1897).
En 1862, Henri ingresó en el Lycée de Nancy (ahora rebautizado como Lycée Henri-Poincaré en su honor, junto con la Universidad Henri Poincaré , también en Nancy). Pasó once años en el Lycée y durante este tiempo demostró ser uno de los mejores estudiantes en cada tema que estudió. Destacó en la composición escrita. Su profesor de matemáticas lo describió como un "monstruo de las matemáticas" y ganó primeros premios en el concurso general , una competencia entre los mejores alumnos de todos los liceos de Francia. Sus materias más pobres fueron la música y la educación física, donde fue descrito como "promedio en el mejor de los casos". [13] Sin embargo, la mala visión y la tendencia a la distracción pueden explicar estas dificultades. [14] Se graduó en el Lycée en 1871 con un bachillerato en letras y ciencias.
Durante la guerra franco-prusiana de 1870, sirvió junto a su padre en el cuerpo de ambulancias .
Poincaré ingresó en la École Polytechnique como máximo calificado en 1873 y se graduó en 1875. Allí estudió matemáticas como alumno de Charles Hermite , continuando sobresaliendo y publicando su primer artículo ( Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une Surface ) en 1874. Desde noviembre de 1875 hasta junio de 1878 estudió en la École des Mines , mientras continuaba el estudio de matemáticas además del plan de estudios de ingeniería de minas , y recibió el título de ingeniero de minas ordinario en marzo de 1879. [15]
Graduado en la École des Mines, se incorporó al Corps des Mines como inspector para la región de Vesoul , en el noreste de Francia. Estuvo en el escenario de un desastre minero en Magny en agosto de 1879 en el que murieron 18 mineros. Llevó a cabo la investigación oficial del accidente de forma característicamente minuciosa y humana.
Al mismo tiempo, Poincaré se preparaba para su Doctorado en Ciencias de las Matemáticas bajo la supervisión de Charles Hermite. Su tesis doctoral fue en el campo de las ecuaciones diferenciales . Se llamó Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles . Poincaré ideó una nueva forma de estudiar las propiedades de estas ecuaciones. No sólo se enfrentó a la cuestión de determinar la integral de tales ecuaciones, sino que también fue la primera persona en estudiar sus propiedades geométricas generales. Se dio cuenta de que podrían usarse para modelar el comportamiento de múltiples cuerpos en libre movimiento dentro del Sistema Solar . Poincaré se graduó en la Universidad de París en 1879.
Después de recibir su título, Poincaré comenzó a enseñar como profesor junior de matemáticas en la Universidad de Caen en Normandía (en diciembre de 1879). Al mismo tiempo publicó su primer artículo importante sobre el tratamiento de una clase de funciones automórficas .
Allí, en Caen , conoció a su futura esposa, Louise Poulain d'Andecy (1857-1934), nieta de Isidore Geoffroy Saint-Hilaire y bisnieta de Étienne Geoffroy Saint-Hilaire y el 20 de abril de 1881 se casaron. [16] Juntos tuvieron cuatro hijos: Jeanne (nacida en 1887), Yvonne (nacida en 1889), Henriette (nacida en 1891) y Léon (nacida en 1893).
Poincaré se estableció inmediatamente entre los más grandes matemáticos de Europa, atrayendo la atención de muchos matemáticos destacados. En 1881 Poincaré fue invitado a ocupar un puesto docente en la Facultad de Ciencias de la Universidad de París ; aceptó la invitación. Durante los años 1883 a 1897 enseñó análisis matemático en la École Polytechnique .
En 1881-1882, Poincaré creó una nueva rama de las matemáticas: la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales . Mostró cómo es posible derivar la información más importante sobre el comportamiento de una familia de soluciones sin tener que resolver la ecuación (ya que esto no siempre es posible). Utilizó con éxito este enfoque para problemas de mecánica celeste y física matemática .
Nunca abandonó por completo su carrera en la administración minera por las matemáticas. Trabajó en el Ministerio de Servicios Públicos como ingeniero a cargo del desarrollo ferroviario del norte de 1881 a 1885. Finalmente se convirtió en ingeniero jefe del Cuerpo de Minas en 1893 e inspector general en 1910.
A partir de 1881 y durante el resto de su carrera, enseñó en la Universidad de París (la Sorbona ). Inicialmente fue nombrado maître de conférences d'analyse (profesor asociado de análisis). [17] Con el tiempo ocupó las cátedras de Mecánica Física y Experimental, Física Matemática y Teoría de la Probabilidad, [18] y Mecánica Celeste y Astronomía.
En 1887, a la temprana edad de 32 años, Poincaré fue elegido miembro de la Academia Francesa de Ciencias . Se convirtió en su presidente en 1906 y fue elegido miembro de la Academia Francesa el 5 de marzo de 1908.
En 1887, ganó el concurso matemático del Oscar II, rey de Suecia , para resolver el problema de los tres cuerpos relativo al libre movimiento de múltiples cuerpos en órbita. (Consulte la sección de problemas de tres cuerpos a continuación).
En 1893, Poincaré se unió a la Oficina de Longitudes francesa , que lo contrató en la sincronización del tiempo en todo el mundo. En 1897, Poincaré respaldó una propuesta fallida para la decimalización de la medida circular y, por tanto, del tiempo y la longitud . [19] Fue este puesto el que lo llevó a considerar la cuestión del establecimiento de zonas horarias internacionales y la sincronización del tiempo entre cuerpos en movimiento relativo. (Consulte la sección de trabajo sobre relatividad a continuación).
En 1904, intervino en los procesos de Alfred Dreyfus , atacando las afirmaciones científicas espurias sobre las pruebas presentadas contra Dreyfus.
Poincaré fue presidente de la Société Astronomique de France (SAF) , la sociedad astronómica francesa, de 1901 a 1903. [20]
Poincaré tuvo dos notables estudiantes de doctorado en la Universidad de París, Louis Bachelier (1900) y Dimitrie Pompeiu (1905). [21]
En 1912, Poincaré fue operado de un problema de próstata y posteriormente murió a causa de una embolia el 17 de julio de 1912, en París. Tenía 58 años. Está enterrado en la bóveda de la familia Poincaré en el cementerio de Montparnasse , París, en la sección 16 cerca de la puerta Rue Émile-Richard.
Un ex ministro francés de Educación, Claude Allègre , propuso en 2004 que Poincaré fuera enterrado nuevamente en el Panteón de París, que está reservado a los ciudadanos franceses del más alto honor. [22]
Poincaré hizo muchos aportes a diferentes campos de la matemática pura y aplicada como: mecánica celeste , mecánica de fluidos , óptica , electricidad , telegrafía , capilaridad , elasticidad , termodinámica , teoría del potencial , teoría cuántica , teoría de la relatividad y cosmología física .
También fue un divulgador de las matemáticas y la física y escribió varios libros para el público no especializado.
Entre los temas específicos en los que contribuyó se encuentran los siguientes:
El problema de encontrar la solución general al movimiento de más de dos cuerpos en órbita en el Sistema Solar había eludido a los matemáticos desde la época de Newton . Esto se conoció originalmente como el problema de los tres cuerpos y más tarde como el problema de los n cuerpos , donde n es cualquier número mayor que dos cuerpos en órbita. La solución de n cuerpos se consideró muy importante y desafiante a finales del siglo XIX. De hecho, en 1887, en honor de su 60 cumpleaños, Óscar II, rey de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , instituyó un premio para quien pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:
Dado un sistema de muchos puntos de masa arbitrarios que se atraen según la ley de Newton , bajo el supuesto de que nunca dos puntos chocan, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea alguna función conocida del tiempo. y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente .
En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica se consideraría digna de premio. El premio finalmente fue otorgado a Poincaré, aunque no resolvió el problema original. Uno de los jueces, el distinguido Karl Weierstrass , dijo: "No se puede considerar que esta obra proporcione la solución completa a la cuestión propuesta, pero, sin embargo, es de tal importancia que su publicación inaugurará una nueva era en la historia de la astronomía celeste". mecánica." (La primera versión de su contribución contenía incluso un error grave; para más detalles, consulte el artículo de Diacu [24] y el libro de Barrow-Green [25] ). La versión finalmente impresa [26] contenía muchas ideas importantes que condujeron a la teoría del caos . El problema, tal como se planteó originalmente, fue finalmente resuelto por Karl F. Sundman para n = 3 en 1912 y Qiudong Wang lo generalizó al caso de n > 3 cuerpos en la década de 1990. Las soluciones en serie tienen una convergencia muy lenta. Se necesitarían millones de términos para determinar el movimiento de las partículas incluso durante intervalos de tiempo muy cortos, por lo que no se pueden utilizar en trabajos numéricos. [24]
El trabajo de Poincaré en la Oficina de Longitudes sobre el establecimiento de husos horarios internacionales lo llevó a considerar cómo se podrían sincronizar los relojes en reposo en la Tierra, que se moverían a diferentes velocidades en relación con el espacio absoluto (o el " éter luminífero "). Al mismo tiempo, el teórico holandés Hendrik Lorentz estaba desarrollando la teoría de Maxwell en una teoría del movimiento de partículas cargadas ("electrones" o "iones") y su interacción con la radiación. En 1895, Lorentz introdujo una cantidad auxiliar (sin interpretación física) llamada "hora local" [27] e introdujo la hipótesis de la contracción de la longitud para explicar el fracaso de los experimentos ópticos y eléctricos para detectar el movimiento relativo al éter (ver Experimento de Michelson-Morley ). [28] Poincaré fue un intérprete constante (y a veces un crítico amistoso) de la teoría de Lorentz. Poincaré, como filósofo, estaba interesado en el "significado más profundo". Así interpretó la teoría de Lorentz y al hacerlo obtuvo muchas ideas que ahora se asocian con la relatividad especial. En La medida del tiempo (1898), Poincaré dijo: "Un poco de reflexión es suficiente para comprender que todas estas afirmaciones no tienen significado por sí mismas. Sólo pueden tenerlo como resultado de una convención". También argumentó que los científicos tienen que establecer la constancia de la velocidad de la luz como postulado para dar a las teorías físicas la forma más simple. [29] Basándose en estos supuestos, analizó en 1900 el "maravilloso invento" de Lorentz de la hora local y comentó que surgió cuando los relojes en movimiento se sincronizan mediante el intercambio de señales de luz que se supone viajan con la misma velocidad en ambas direcciones en un marco en movimiento. [30]
En 1881 Poincaré describió la geometría hiperbólica en términos del modelo hiperboloide , formulando transformaciones dejando invariante el intervalo de Lorentz , lo que las hace matemáticamente equivalentes a las transformaciones de Lorentz en 2+1 dimensiones. [31] [32] Además, los otros modelos de geometría hiperbólica de Poincaré ( modelo de disco de Poincaré , modelo de semiplano de Poincaré ), así como el modelo de Beltrami-Klein, pueden relacionarse con el espacio de velocidades relativista (ver Espacio girovectorial ).
En 1892 Poincaré desarrolló una teoría matemática de la luz que incluía la polarización . Su visión de la acción de polarizadores y retardadores, actuando sobre una esfera que representa estados polarizados, se denomina esfera de Poincaré . [33] Se demostró que la esfera de Poincaré posee una simetría lorentziana subyacente, por la cual puede usarse como una representación geométrica de las transformaciones de Lorentz y las adiciones de velocidad. [34]
Discutió el "principio del movimiento relativo" en dos artículos en 1900 [30] [35] y lo llamó principio de relatividad en 1904, según el cual ningún experimento físico puede discriminar entre un estado de movimiento uniforme y un estado de reposo. [36] En 1905, Poincaré escribió a Lorentz sobre el artículo de Lorentz de 1904, que Poincaré describió como un "artículo de suma importancia". En esta carta señalaba un error que había cometido Lorentz al aplicar su transformación a una de las ecuaciones de Maxwell, la del espacio ocupado por cargas, y también cuestionaba el factor de dilatación del tiempo dado por Lorentz. [37] En una segunda carta a Lorentz, Poincaré dio su propia razón por la cual el factor de dilatación del tiempo de Lorentz era correcto después de todo (era necesario hacer que la transformación de Lorentz formara un grupo) y dio lo que ahora se conoce como la velocidad relativista. ley de la suma. [38] Poincaré pronunció más tarde un artículo en la reunión de la Academia de Ciencias de París el 5 de junio de 1905 en el que se abordaban estas cuestiones. En la versión publicada escribió: [39]
El punto esencial, establecido por Lorentz, es que las ecuaciones del campo electromagnético no se ven alteradas por una determinada transformación (que llamaré con el nombre de Lorentz) de la forma:
y demostró que la función arbitraria debe ser unidad para todos (Lorentz la había establecido mediante un argumento diferente) para que las transformaciones formen un grupo. En una versión ampliada del artículo que apareció en 1906, Poincaré señaló que la combinación es invariante . Observó que una transformación de Lorentz es simplemente una rotación en un espacio de cuatro dimensiones alrededor del origen introduciendo una cuarta coordenada imaginaria, y utilizó una forma temprana de cuatro vectores . [40] Poincaré expresó su falta de interés en una reformulación cuatridimensional de su nueva mecánica en 1907, porque en su opinión la traducción de la física al lenguaje de la geometría cuatridimensional implicaría demasiado esfuerzo para un beneficio limitado. [41] Así que fue Hermann Minkowski quien descubrió las consecuencias de esta noción en 1907. [ cita necesaria ]
Como otros antes, Poincaré (1900) descubrió una relación entre masa y energía electromagnética . Mientras estudiaba el conflicto entre el principio de acción/reacción y la teoría del éter de Lorentz , intentó determinar si el centro de gravedad todavía se mueve con una velocidad uniforme cuando se incluyen campos electromagnéticos. [30] Se dio cuenta de que el principio de acción/reacción no se aplica únicamente a la materia, sino que el campo electromagnético tiene su propio impulso. Poincaré concluyó que la energía del campo electromagnético de una onda electromagnética se comporta como un fluido ficticio ( fluide fictif ) con una densidad de masa de E / c 2 . Si el marco del centro de masa está definido tanto por la masa de la materia como por la masa del fluido ficticio, y si el fluido ficticio es indestructible ( no se crea ni se destruye ), entonces el movimiento del marco del centro de masa permanece uniforme. Pero la energía electromagnética se puede convertir en otras formas de energía. Así, Poincaré supuso que en cada punto del espacio existe un fluido de energía no eléctrica, en el que se puede transformar la energía electromagnética y que además lleva una masa proporcional a la energía. De esta forma, el movimiento del centro de masa permanece uniforme. Poincaré dijo que uno no debería sorprenderse demasiado por estas suposiciones, ya que son sólo ficciones matemáticas.
Sin embargo, la resolución de Poincaré llevó a una paradoja al cambiar de fotograma: si un oscilador hertziano irradia en una determinada dirección, sufrirá un retroceso por la inercia del fluido ficticio. Poincaré realizó un impulso de Lorentz (para ordenar v / c ) al marco de la fuente en movimiento. Observó que la conservación de la energía se cumple en ambos sistemas, pero que se viola la ley de conservación del impulso . Esto permitiría el movimiento perpetuo , noción que aborrecía. Las leyes de la naturaleza tendrían que ser diferentes en los marcos de referencia , y el principio de relatividad no se cumpliría. Por lo tanto, argumentó que también en este caso tiene que haber otro mecanismo de compensación en el éter .
El propio Poincaré volvió a abordar este tema en su conferencia de San Luis (1904). [36] Rechazó [42] la posibilidad de que la energía transporte masa y criticó su propia solución para compensar los problemas antes mencionados:
El aparato retrocederá como si fuera un cañón y la energía proyectada una bola, y eso contradice el principio de Newton, ya que nuestro proyectil actual no tiene masa; no es materia, es energía. [..] ¿Diremos que el espacio que separa el oscilador del receptor y que la perturbación debe atravesar al pasar de uno a otro, no está vacío, sino que está lleno no sólo de éter, sino de aire, o incluso de espacio interplanetario con algún fluido sutil pero ponderable; ¿Que esta materia recibe el choque, al igual que el receptor, en el momento en que la energía llega a ella, y retrocede cuando la perturbación la abandona? Eso salvaría el principio de Newton, pero no es cierto. Si la energía durante su propagación permaneciera siempre unida a algún sustrato material, esta materia arrastraría consigo la luz y Fizeau ha demostrado, al menos para el aire, que no existe nada parecido. Michelson y Morley lo han confirmado desde entonces. También podríamos suponer que los movimientos de la materia propiamente dicha estuvieran exactamente compensados por los del éter; pero eso nos llevaría a las mismas consideraciones que las hechas hace un momento. El principio, si se interpreta así, podría explicar cualquier cosa, ya que cualesquiera que sean los movimientos visibles, podríamos imaginar movimientos hipotéticos para compensarlos. Pero si puede explicar algo, no nos permitirá predecir nada; no nos permitirá elegir entre las diversas hipótesis posibles, ya que lo explica todo de antemano. Por tanto, se vuelve inútil.
En la cita anterior, se refiere a la suposición de Hertz de arrastre total de éter que fue refutada por el experimento de Fizeau, pero ese experimento de hecho muestra que esa luz es parcialmente "transportada" con una sustancia. Finalmente, en 1908 [43] retoma el problema y termina abandonando por completo el principio de reacción en favor de apoyar una solución basada en la inercia del éter mismo.
Pero hemos visto anteriormente que el experimento de Fizeau no nos permite conservar la teoría de Hertz; es necesario, por tanto, adoptar la teoría de Lorentz y, en consecuencia, renunciar al principio de reacción.
También discutió otros dos efectos inexplicables: (1) la no conservación de la masa implícita en la masa variable de Lorentz , la teoría de la masa variable de Abraham y los experimentos de Kaufmann sobre la masa de los electrones que se mueven rápidamente y (2) la no conservación de la energía en Los experimentos con el radio de Marie Curie .
Fue el concepto de equivalencia masa-energía de Albert Einstein (1905), según el cual un cuerpo que pierde energía en forma de radiación o calor estaba perdiendo masa en una cantidad m = E / c 2 , lo que resolvió [44] la paradoja de Poincaré, sin utilizar ningún mecanismo de compensación dentro del éter. [45] El oscilador Hertziano pierde masa en el proceso de emisión y el impulso se conserva en cualquier sistema. Sin embargo, con respecto a la solución de Poincaré del problema del centro de gravedad, Einstein señaló que la formulación de Poincaré y la suya propia de 1906 eran matemáticamente equivalentes. [46]
En 1905, Poincaré propuso por primera vez ondas gravitacionales ( ondes gravifiques ) que emanaban de un cuerpo y se propagaban a la velocidad de la luz. El escribio:
Se ha vuelto importante examinar esta hipótesis más de cerca y, en particular, preguntar de qué manera requeriría que modifiquemos las leyes de la gravitación. Eso es lo que he tratado de determinar; Al principio me hicieron suponer que la propagación de la gravitación no es instantánea, sino que ocurre con la velocidad de la luz. [47] [39]
El primer artículo de Einstein sobre la relatividad se publicó tres meses después del breve artículo de Poincaré, [39] pero antes de la versión más larga de Poincaré. [40] Einstein se basó en el principio de la relatividad para derivar las transformaciones de Lorentz y utilizó un procedimiento de sincronización de reloj similar ( sincronización de Einstein ) al que había descrito Poincaré (1900), pero el artículo de Einstein fue notable porque no contenía referencia alguna. . Poincaré nunca reconoció el trabajo de Einstein sobre la relatividad especial . Sin embargo, Einstein expresó indirectamente su simpatía por la perspectiva de Poincaré en una carta a Hans Vaihinger el 3 de mayo de 1919, cuando Einstein consideraba que la perspectiva general de Vaihinger era cercana a la suya y la de Poincaré cercana a la de Vaihinger. [48] En público, Einstein reconoció póstumamente a Poincaré en el texto de una conferencia de 1921 titulada " Geometrie und Erfahrung (Geometría y experiencia)" en relación con la geometría no euclidiana , pero no en relación con la relatividad especial. Unos años antes de su muerte, Einstein comentó sobre Poincaré como uno de los pioneros de la relatividad, diciendo: "Lorentz ya había reconocido que la transformación que lleva su nombre es esencial para el análisis de las ecuaciones de Maxwell, y Poincaré profundizó aún más esta idea. .." [49]
El trabajo de Poincaré en el desarrollo de la relatividad especial es bien reconocido, [44] aunque la mayoría de los historiadores enfatizan que a pesar de muchas similitudes con el trabajo de Einstein, los dos tenían agendas de investigación e interpretaciones del trabajo muy diferentes. [50] Poincaré desarrolló una interpretación física similar de la hora local y notó la conexión con la velocidad de la señal, pero a diferencia de Einstein, continuó usando el concepto de éter en sus artículos y argumentó que los relojes en reposo en el éter muestran la hora "verdadera". y los relojes en movimiento muestran la hora local. Así, Poincaré intentó mantener el principio de la relatividad de acuerdo con los conceptos clásicos, mientras que Einstein desarrolló una cinemática matemáticamente equivalente basada en los nuevos conceptos físicos de la relatividad del espacio y el tiempo. [51] [52] [53] [54] [55]
Si bien esta es la opinión de la mayoría de los historiadores, una minoría va mucho más allá, como ET Whittaker , quien sostuvo que Poincaré y Lorentz fueron los verdaderos descubridores de la relatividad. [56]
Poincaré introdujo la teoría de grupos en la física y fue el primero en estudiar el grupo de transformaciones de Lorentz . [57] También hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos discretos y sus representaciones.
El tema está claramente definido por Felix Klein en su "Programa de Erlangen" (1872): las invariantes de la geometría de transformación continua arbitraria, una especie de geometría. Se introdujo el término "topología", como sugirió Johann Benedict Listing , en lugar del utilizado anteriormente "Analysis situs". Enrico Betti y Bernhard Riemann introdujeron algunos conceptos importantes . Pero la base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, la creó Poincaré. Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894. [58]
Su investigación en geometría condujo a la definición topológica abstracta de homotopía y homología . También introdujo por primera vez los conceptos básicos y las invariantes de la topología combinatoria, como los números de Betti y el grupo fundamental . Poincaré demostró una fórmula que relaciona el número de aristas, vértices y caras de un poliedro de n dimensiones (el teorema de Euler-Poincaré ) y dio la primera formulación precisa de la noción intuitiva de dimensión. [59]
Poincaré publicó dos monografías ahora clásicas, "Nuevos métodos de mecánica celeste" (1892-1899) y "Conferencias sobre mecánica celeste" (1905-1910). En ellos, aplicó con éxito los resultados de su investigación al problema del movimiento de tres cuerpos y estudió en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asintótica, etc.). Introdujeron el método de los pequeños parámetros, los puntos fijos, las invariantes integrales, las ecuaciones variacionales y la convergencia de las expansiones asintóticas. Generalizando una teoría de Bruns (1887), Poincaré demostró que el problema de los tres cuerpos no es integrable. En otras palabras, la solución general del problema de los tres cuerpos no se puede expresar en términos de funciones algebraicas y trascendentales mediante coordenadas y velocidades inequívocas de los cuerpos. Su trabajo en esta área fue el primer gran logro en mecánica celeste desde Isaac Newton . [60]
Estas monografías incluyen una idea de Poincaré, que más tarde se convirtió en la base de la " teoría del caos " matemática (ver, en particular, el teorema de recurrencia de Poincaré ) y la teoría general de los sistemas dinámicos . Poincaré fue autor de importantes trabajos sobre astronomía sobre las figuras de equilibrio de un fluido en rotación gravitante . Introdujo el importante concepto de puntos de bifurcación y demostró la existencia de figuras de equilibrio como las no elipsoides, incluidas las figuras con forma de anillo y de pera, y su estabilidad. Por este descubrimiento, Poincaré recibió la Medalla de Oro de la Real Sociedad Astronómica (1900). [61]
Tras defender su tesis doctoral sobre el estudio de los puntos singulares del sistema de ecuaciones diferenciales , Poincaré escribió una serie de memorias bajo el título "Sobre las curvas definidas por ecuaciones diferenciales" (1881-1882). [62] En estos artículos, construyó una nueva rama de las matemáticas, llamada " teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ". Poincaré demostró que incluso si la ecuación diferencial no se puede resolver en términos de funciones conocidas, a partir de la forma misma de la ecuación se puede encontrar una gran cantidad de información sobre las propiedades y el comportamiento de las soluciones. En particular, Poincaré investigó la naturaleza de las trayectorias de las curvas integrales en el plano, dio una clasificación de puntos singulares ( silla , foco , centro , nodo ), introdujo el concepto de ciclo límite y el índice de bucle , y demostró que el El número de ciclos límite es siempre finito, excepto en algunos casos especiales. Poincaré también desarrolló una teoría general de invariantes integrales y soluciones de ecuaciones variacionales. Para las ecuaciones en diferencias finitas , creó una nueva dirección: el análisis asintótico de las soluciones. Aplicó todos estos logros al estudio de problemas prácticos de física matemática y mecánica celeste , y los métodos utilizados fueron la base de sus trabajos topológicos. [63]
Los hábitos de trabajo de Poincaré han sido comparados con los de una abeja que vuela de flor en flor. Poincaré estaba interesado en la forma en que funcionaba su mente ; estudió sus hábitos y dio una charla sobre sus observaciones en 1908 en el Instituto de Psicología General de París . Vinculó su forma de pensar con la forma en que hizo varios descubrimientos.
El matemático Darboux afirmó que era un intuitif (un intuitivo ), argumentando que esto lo demuestra el hecho de que trabajó con tanta frecuencia mediante representaciones visuales. Jacques Hadamard escribió que la investigación de Poincaré demostró una claridad maravillosa [64] y el propio Poincaré escribió que creía que la lógica no era una forma de inventar sino una forma de estructurar ideas y que la lógica limita las ideas.
La organización mental de Poincaré interesaba no sólo al propio Poincaré sino también a Édouard Toulouse , psicólogo del Laboratorio de Psicología de la Escuela de Estudios Superiores de París. Toulouse escribió un libro titulado Henri Poincaré (1910). [65] [66] En él, discutió el horario habitual de Poincaré:
Estas habilidades se vieron compensadas hasta cierto punto por sus deficiencias:
Además, Toulouse afirmó que la mayoría de los matemáticos trabajaban a partir de principios ya establecidos, mientras que Poincaré partía cada vez de principios básicos (O'Connor et al., 2002).
Su método de pensamiento se resume bien en:
Habitué à négliger les details et à ne respecter que les cimes, il passait de l'une à l'otre con una prontitud sorprendente y les faits qu'il decouvrait se groupant d'eux-mêmes autour de leur centre étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire (acostumbrado a descuidar los detalles y a mirar sólo las cimas de las montañas, iba de una cima a otra con sorprendente rapidez, y los hechos que iba descubriendo, agrupándose en torno a su centro, quedaban instantánea y automáticamente encasillados en su memoria).
- Belliver (1956)
Premios
Nombrado después de el
Henri Poincaré no recibió el Premio Nobel de Física , pero tuvo defensores influyentes como Henri Becquerel o el miembro del comité Gösta Mittag-Leffler . [68] [69] El archivo de nominaciones revela que Poincaré recibió un total de 51 nominaciones entre 1904 y 1912, el año de su muerte. [70] De las 58 nominaciones para el Premio Nobel de 1910, 34 nombraron a Poincaré. [70] Entre los nominadores se encontraban los premios Nobel Hendrik Lorentz y Pieter Zeeman (ambos de 1902), Marie Curie (de 1903), Albert Michelson (de 1907), Gabriel Lippmann (de 1908) y Guglielmo Marconi (de 1909). [70]
El hecho de que físicos teóricos de renombre como Poincaré, Boltzmann o Gibbs no recibieran el Premio Nobel se considera una prueba de que el comité del Nobel tenía más en cuenta la experimentación que la teoría. [71] [72] En el caso de Poincaré, varios de quienes lo nominaron señalaron que el mayor problema era nombrar un descubrimiento, invención o técnica específica. [68]
Poincaré tenía puntos de vista filosóficos opuestos a los de Bertrand Russell y Gottlob Frege , quienes creían que las matemáticas eran una rama de la lógica . Poincaré estaba totalmente en desacuerdo y afirmaba que la intuición era la vida de las matemáticas. Poincaré ofrece un punto de vista interesante en su libro Ciencia e hipótesis de 1902 :
Para un observador superficial, la verdad científica está más allá de toda posibilidad de duda; La lógica de la ciencia es infalible, y si los científicos a veces se equivocan, es sólo porque confunden sus reglas.
Poincaré creía que la aritmética es sintética . Sostuvo que los axiomas de Peano no pueden demostrarse de manera no circular con el principio de inducción (Murzi, 1998), concluyendo por tanto que la aritmética es a priori sintética y no analítica . Poincaré continuó diciendo que las matemáticas no se pueden deducir de la lógica ya que no es analítica. Sus puntos de vista eran similares a los de Immanuel Kant (Kolak, 2001, Folina 1992). Se opuso firmemente a la teoría de conjuntos cantoriana , objetando su uso de definiciones impredicativas [ cita requerida ] .
Sin embargo, Poincaré no compartía las opiniones kantianas en todas las ramas de la filosofía y las matemáticas. Por ejemplo, en geometría, Poincaré creía que la estructura del espacio no euclidiano se puede conocer analíticamente. Poincaré sostuvo que las convenciones juegan un papel importante en la física. Su punto de vista (y algunas versiones posteriores más extremas) llegó a ser conocido como " convencionalismo ". [73] Poincaré creía que la primera ley de Newton no era empírica sino que es un supuesto marco convencional para la mecánica (Gargani, 2012). [74] También creía que la geometría del espacio físico es convencional. Consideró ejemplos en los que se puede cambiar la geometría de los campos físicos o los gradientes de temperatura, ya sea describiendo un espacio como no euclidiano medido por reglas rígidas, o como un espacio euclidiano donde las reglas se expanden o contraen mediante una distribución de calor variable . . Sin embargo, Poincaré pensaba que estábamos tan acostumbrados a la geometría euclidiana que preferiríamos cambiar las leyes físicas para salvar la geometría euclidiana en lugar de pasar a una geometría física no euclidiana. [75]
Las famosas conferencias de Poincaré ante la Société de Psychologie de París (publicadas como Ciencia e hipótesis , El valor de la ciencia y Ciencia y método ) fueron citadas por Jacques Hadamard como fuente de la idea de que la creatividad y la invención constan de dos etapas mentales, la primera aleatoria. combinaciones de posibles soluciones a un problema, seguidas de una evaluación crítica . [76]
Aunque habló con mayor frecuencia de un universo determinista , Poincaré dijo que la generación subconsciente de nuevas posibilidades implica el azar .
Es cierto que las combinaciones que se presentan a la mente en una especie de iluminación repentina después de un período algo prolongado de trabajo inconsciente son generalmente combinaciones útiles y fructíferas... todas las combinaciones se forman como resultado de la acción automática de lo subliminal. ego, pero sólo aquellas que son interesantes encuentran su camino hacia el campo de la conciencia... Sólo unas pocas son armoniosas y, en consecuencia, a la vez útiles y hermosas, y serán capaces de afectar la sensibilidad especial del geómetra de la que he estado hablando; que, una vez despertado, dirigirá nuestra atención sobre ellos y les dará así la oportunidad de volverse conscientes... En el ego subliminal, por el contrario, reina lo que yo llamaría libertad, si se pudiera dar este nombre al yo. mera falta de disciplina y al desorden nacido del azar. [77]
Las dos etapas de Poincaré (combinaciones aleatorias seguidas de selección) se convirtieron en la base del modelo de libre albedrío de dos etapas de Daniel Dennett . [78]
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Otro:
Bibliografía exhaustiva de traducciones al inglés:
Aquí hay una lista de teoremas demostrados por Poincaré:
{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)disponible en el capítulo en línea del libro de 1913{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
