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Ibn al-Haytham

Ḥasan Ibn al-Haytham ( Latinizado como Alhazen ; / æ l ˈ h æ z ən / ; nombre completo Abū ʿAlī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham أبو علي، الحسن بن الحسن بن الهيثم ; c.  965  – c .  1040 ) fue un matemático , astrónomo y físico medieval de la Edad de Oro islámica del actual Irak. [6] [7] [8] [9] Conocido como "el padre de la óptica moderna", [10] [11] [12] hizo importantes contribuciones a los principios de la óptica y a la percepción visual en particular. Su obra más influyente se titula Kitāb al-Manāẓir ( árabe : كتاب المناظر , "Libro de la Óptica"), escrita entre 1011 y 1021, que sobrevivió en una edición latina. [13] Las obras de Alhazen fueron citadas frecuentemente durante la revolución científica por Isaac Newton , Johannes Kepler , Christiaan Huygens y Galileo Galilei .

Ibn al-Haytham fue el primero en explicar correctamente la teoría de la visión, [14] y en argumentar que la visión ocurre en el cerebro, señalando observaciones de que es subjetiva y afectada por la experiencia personal. [15] También enunció el principio del tiempo mínimo para la refracción que más tarde se convertiría en el principio de Fermat . [16] Hizo importantes contribuciones a la catóptrica y la dióptrica al estudiar la reflexión, la refracción y la naturaleza de las imágenes formadas por los rayos de luz. [17] [18] Ibn al-Haytham fue uno de los primeros defensores del concepto de que una hipótesis debe estar respaldada por experimentos basados ​​en procedimientos confirmables o razonamiento matemático, un pionero en el método científico cinco siglos antes de los científicos del Renacimiento , [19] [20] [21] [22] a veces se le describe como el "primer científico verdadero" del mundo. [12] También fue un polímata , escribiendo sobre filosofía , teología y medicina . [23]

Nacido en Basora , pasó la mayor parte de su período productivo en la capital fatimí de El Cairo y se ganó la vida escribiendo varios tratados y dando clases particulares a miembros de la nobleza. [24] A Ibn al-Haytham a veces se le da el sobrenombre de al-Baṣrī por su lugar de nacimiento, [25] o al-Miṣrī ("el egipcio"). [26] [27] Al-Haytham fue apodado el "Segundo Ptolomeo " por Abu'l-Hasan Bayhaqi [28] y "El Físico" por John Peckham . [29] Ibn al-Haytham allanó el camino para la ciencia moderna de la óptica física. [30]

Biografía

Ibn al-Haytham (Alhazen) nació alrededor del año 965 en una familia de origen árabe [9] [31] [32] [33] [34] o persa [35] [36] [37] [38] [39] en Basora , Irak , que en ese momento formaba parte del emirato Buyid . Sus influencias iniciales estuvieron en el estudio de la religión y el servicio a la comunidad. En ese momento, la sociedad tenía una serie de puntos de vista conflictivos sobre la religión, por lo que finalmente trató de apartarse de la religión. Esto lo llevó a profundizar en el estudio de las matemáticas y la ciencia. [40] Ocupó un puesto con el título de visir en su natal Basora, y se hizo famoso por su conocimiento de las matemáticas aplicadas, como lo demuestra su intento de regular las inundaciones del Nilo . [41]

A su regreso a El Cairo, se le dio un puesto administrativo. Después de que demostró ser incapaz de cumplir con esta tarea también, contrajo la ira del califa Al-Hakim , [42] y se dice que se vio obligado a esconderse hasta la muerte del califa en 1021, después de lo cual sus posesiones confiscadas le fueron devueltas. [43] La leyenda dice que Alhazen fingió locura y fue mantenido bajo arresto domiciliario durante este período. [44] Durante este tiempo, escribió su influyente Libro de Óptica . Alhazen continuó viviendo en El Cairo, en el barrio de la famosa Universidad de al-Azhar , y vivió de las ganancias de su producción literaria [45] hasta su muerte en c. 1040. [41] (Existe una copia de las Cónicas de Apolonio , escritas a mano por Ibn al-Haytham en Aya Sofya : (MS Aya Sofya 2762, 307 fob., fechada Safar 415 AH [1024]).) [46] : Nota 2 

Entre sus estudiantes estaban Sorkhab (Sohrab), un persa de Semnan , y Abu al-Wafa Mubashir ibn Fatek , un príncipe egipcio. [47] [ verificación necesaria ]

Libro de Óptica

La obra más famosa de Alhazen es su tratado de siete volúmenes sobre óptica Kitab al-Manazir ( Libro de Óptica ), escrito entre 1011 y 1021. [48] En él, Ibn al-Haytham fue el primero en explicar que la visión ocurre cuando la luz se refleja en un objeto y luego pasa a los ojos, [14] y en argumentar que la visión ocurre en el cerebro, señalando observaciones de que es subjetiva y afectada por la experiencia personal. [15]

La óptica fue traducida al latín por un erudito desconocido a finales del siglo XII o principios del siglo XIII. [49] [a]

Esta obra gozó de gran reputación durante la Edad Media . La versión latina de De aspectibus fue traducida a finales del siglo XIV al italiano vernáculo, bajo el título De li aspecti . [50]

Fue impreso por Friedrich Risner en 1572, con el título Opticae thesaurus: Alhazeni Arabis libri septem, nuncprimum editi; Eiusdem liber De Crepusculis et nubium ascensionibus (en español: Tesoro de la óptica: siete libros del árabe Alhazen, primera edición; por el mismo, sobre el crepúsculo y la altura de las nubes). [51] Risner es también el autor de la variante del nombre "Alhazen"; antes de Risner era conocido en Occidente como Alhacen. [52] EA Sedillot descubrió obras de Alhazen sobre temas geométricos en la Biblioteca Nacional de París en 1834. En total, A. Mark Smith ha dado cuenta de 18 manuscritos completos o casi completos, y cinco fragmentos, que se conservan en 14 lugares, incluyendo uno en la Biblioteca Bodleiana de Oxford y uno en la biblioteca de Brujas . [53]

Teoría de la óptica

Portada del Opticae Thesaurus , que incluía la primera traducción impresa al latín del Libro de óptica de Alhazen . La ilustración incorpora numerosos ejemplos de fenómenos ópticos, incluidos los efectos de perspectiva, el arcoíris, los espejos y la refracción.

En la antigüedad clásica prevalecieron dos teorías principales sobre la visión . La primera teoría, la teoría de la emisión , fue apoyada por pensadores como Euclides y Ptolomeo , quienes creían que la vista funcionaba cuando el ojo emitía rayos de luz . La segunda teoría, la teoría de la intromisión apoyada por Aristóteles y sus seguidores, tenía formas físicas que ingresaban al ojo desde un objeto. Los escritores islámicos anteriores (como al-Kindi ) habían argumentado esencialmente sobre líneas euclidianas, galenistas o aristotélicas. La influencia más fuerte en el Libro de Óptica provino de la Óptica de Ptolomeo , mientras que la descripción de la anatomía y fisiología del ojo se basó en el relato de Galeno. [54] El logro de Alhazen fue elaborar una teoría que combinaba con éxito partes de los argumentos matemáticos de rayos de Euclides, la tradición médica de Galeno y las teorías de intromisión de Aristóteles. La teoría de la intromisión de Alhazen siguió a Al-Kindi (y rompió con Aristóteles) al afirmar que "de cada punto de cada cuerpo coloreado, iluminado por cualquier luz, emana luz y color a lo largo de cualquier línea recta que pueda trazarse desde ese punto". [55] Esto lo dejó con el problema de explicar cómo se formaba una imagen coherente a partir de muchas fuentes independientes de radiación; en particular, cada punto de un objeto enviaría rayos a cada punto del ojo.

Lo que Alhazen necesitaba era que cada punto de un objeto correspondiera a un único punto del ojo. [55] Intentó resolver esto afirmando que el ojo sólo percibiría rayos perpendiculares procedentes del objeto: para cualquier punto del ojo, sólo se percibiría el rayo que lo alcanzara directamente, sin ser refractado por ninguna otra parte del ojo. Argumentó, utilizando una analogía física, que los rayos perpendiculares eran más fuertes que los rayos oblicuos: de la misma manera que una pelota lanzada directamente a un tablero podría romperlo, mientras que una pelota lanzada oblicuamente al tablero rebotaría, los rayos perpendiculares eran más fuertes que los rayos refractados, y eran sólo los rayos perpendiculares los que percibía el ojo. Como sólo había un rayo perpendicular que entraría en el ojo en cualquier punto, y todos estos rayos convergirían en el centro del ojo en un cono, esto le permitió resolver el problema de que cada punto de un objeto enviara muchos rayos al ojo; si sólo importaba el rayo perpendicular, entonces tenía una correspondencia uno a uno y la confusión podía resolverse. [56] Más tarde afirmó (en el libro siete de la Óptica ) que otros rayos se refractarían a través del ojo y se percibirían como perpendiculares. [57] Sus argumentos sobre los rayos perpendiculares no explican claramente por qué solo se percibían rayos perpendiculares; ¿por qué los rayos oblicuos más débiles no se percibirían más débilmente? [58] Su argumento posterior de que los rayos refractados se percibirían como perpendiculares no parece persuasivo. [59] Sin embargo, a pesar de sus debilidades, ninguna otra teoría de la época fue tan completa, y fue enormemente influyente, particularmente en Europa occidental. Directa o indirectamente, su De Aspectibus ( Libro de óptica ) inspiró mucha actividad en óptica entre los siglos XIII y XVII. La teoría posterior de Kepler sobre la imagen retiniana (que resolvió el problema de la correspondencia de los puntos en un objeto y los puntos en el ojo) se basó directamente en el marco conceptual de Alhazen. [60]

Alhazen demostró mediante experimentos que la luz viaja en línea recta y realizó varios experimentos con lentes , espejos , refracción y reflexión . [61] Sus análisis de reflexión y refracción consideraron los componentes verticales y horizontales de los rayos de luz por separado. [62]

Alhazen estudió el proceso de la vista, la estructura del ojo, la formación de imágenes en el ojo y el sistema visual . Ian P. Howard argumentó en un artículo de Perception de 1996 que a Alhazen se le deben atribuir muchos descubrimientos y teorías previamente atribuidas a los europeos occidentales que escribieron siglos después. Por ejemplo, describió lo que se convirtió en el siglo XIX en la ley de inervación igual de Hering . Escribió una descripción de los horópteros verticales 600 años antes de Aguilonio que en realidad está más cerca de la definición moderna que la de Aguilonio, y su trabajo sobre la disparidad binocular fue repetido por Panum en 1858. [63] Craig Aaen-Stockdale, aunque está de acuerdo en que se le deben atribuir muchos avances a Alhazen, ha expresado cierta cautela, especialmente al considerar a Alhazen de forma aislada de Ptolomeo , con quien Alhazen estaba extremadamente familiarizado. Alhazen corrigió un error significativo de Ptolomeo con respecto a la visión binocular, pero por lo demás su relato es muy similar; Ptolomeo también intentó explicar lo que ahora se llama la ley de Hering. [64] En general, Alhazen se basó en la óptica de Ptolomeo y la amplió. [65]

En un relato más detallado de la contribución de Ibn al-Haytham al estudio de la visión binocular basado en Lejeune [66] y Sabra, [67] Raynaud [68] demostró que los conceptos de correspondencia, homónima y diplopía cruzada estaban presentes en la óptica de Ibn al-Haytham. Pero, a diferencia de Howard, explicó por qué Ibn al-Haytham no dio la figura circular del horóptero y por qué, al razonar experimentalmente, estaba de hecho más cerca del descubrimiento del área fusional de Panum que del círculo de Vieth-Müller. En este sentido, la teoría de la visión binocular de Ibn al-Haytham se enfrentaba a dos límites principales: la falta de reconocimiento del papel de la retina y, obviamente, la falta de una investigación experimental de los tractos oculares.

La estructura del ojo humano según Ibn al-Haytham. Nótese la representación del quiasma óptico . —Copia manuscrita de su Kitāb al-Manāẓir (MS Fatih 3212, vol. 1, fol. 81b, Biblioteca de la Mezquita de Süleymaniye , Estambul)

La contribución más original de Alhazen fue que, después de describir cómo pensaba que estaba construido anatómicamente el ojo, pasó a considerar cómo se comportaría funcionalmente esta anatomía como un sistema óptico. [69] Su comprensión de la proyección estenopeica a partir de sus experimentos parece haber influido en su consideración de la inversión de la imagen en el ojo, [70] que trató de evitar. [71] Sostuvo que los rayos que caían perpendicularmente sobre el cristalino (o humor glacial como lo llamó) se refractaban aún más hacia afuera al salir del humor glacial y la imagen resultante pasaba así en posición vertical al nervio óptico en la parte posterior del ojo. [72] Siguió a Galeno en la creencia de que el cristalino era el órgano receptivo de la vista, aunque algunos de sus trabajos insinúan que pensaba que la retina también estaba involucrada. [73]

La síntesis de luz y visión de Alhazen se adhirió al esquema aristotélico, describiendo exhaustivamente el proceso de visión de una manera lógica y completa. [74]

Sus investigaciones en catóptrica (el estudio de los sistemas ópticos que utilizan espejos) se centraron en los espejos esféricos y parabólicos y en la aberración esférica . Observó que la relación entre el ángulo de incidencia y el de refracción no permanece constante, e investigó el poder de aumento de una lente . [61]

Ley de reflexión

Alhazen fue el primer físico en dar una declaración completa de la ley de reflexión. [75] [76] [77] Fue el primero en afirmar que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie se encuentran todos en un mismo plano perpendicular al plano reflectante. [17] [78]

El problema de Alhazen

El teorema de Ibn Haytham

Su trabajo sobre catóptrica en el Libro V del Libro de Óptica contiene una discusión de lo que ahora se conoce como el problema de Alhazen, formulado por primera vez por Ptolomeo en 150 d. C. Consiste en dibujar líneas desde dos puntos en el plano de un círculo que se encuentran en un punto de la circunferencia y forman ángulos iguales con la normal en ese punto. Esto es equivalente a encontrar el punto en el borde de una mesa de billar circular al que un jugador debe apuntar una bola blanca en un punto dado para hacerla rebotar en el borde de la mesa y golpear otra bola en un segundo punto dado. Por lo tanto, su principal aplicación en óptica es resolver el problema, "Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encuentre el punto en el espejo donde la luz se reflejará al ojo de un observador". Esto conduce a una ecuación de cuarto grado . [79] Esto finalmente llevó a Alhazen a derivar una fórmula para la suma de cuartas potencias , donde anteriormente solo se habían establecido las fórmulas para las sumas de cuadrados y cubos. Su método puede generalizarse fácilmente para encontrar la fórmula para la suma de cualquier potencia integral, aunque él mismo no lo hizo (quizás porque solo necesitaba la cuarta potencia para calcular el volumen del paraboloide en el que estaba interesado). Usó su resultado sobre sumas de potencias integrales para realizar lo que ahora se llamaría una integración , donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . [80] Alhazen finalmente resolvió el problema usando secciones cónicas y una prueba geométrica. Su solución fue extremadamente larga y complicada y puede que no haya sido entendida por los matemáticos que la leyeron en traducción latina. Los matemáticos posteriores utilizaron los métodos analíticos de Descartes para analizar el problema. [81] Una solución algebraica al problema fue finalmente encontrada en 1965 por Jack M. Elkin, un actuario. [82] Otras soluciones fueron descubiertas en 1989, por Harald Riede [83] y en 1997 por el matemático de Oxford Peter M. Neumann . [84] [85] Recientemente, los investigadores de Mitsubishi Electric Research Laboratories (MERL) resolvieron la extensión del problema de Alhazen a espejos cuadráticos simétricos rotacionales generales, incluidos espejos hiperbólicos, parabólicos y elípticos. [86]

Cámara oscura

La cámara oscura era conocida por los antiguos chinos , y fue descrita por el erudito chino Han Shen Kuo en su libro científico Dream Pool Essays , publicado en el año 1088 d. C. Aristóteles había discutido el principio básico detrás de ella en sus Problemas , pero el trabajo de Alhazen contenía la primera descripción clara de la cámara oscura . [87] y un análisis temprano [88] del dispositivo.

Ibn al-Haytham utilizó una cámara oscura principalmente para observar un eclipse solar parcial. [89] En su ensayo, Ibn al-Haytham escribe que observó la forma de hoz del sol en el momento de un eclipse. La introducción dice lo siguiente: "La imagen del sol en el momento del eclipse, a menos que sea total, demuestra que cuando su luz pasa a través de un agujero estrecho y redondo y se proyecta sobre un plano opuesto al agujero, adquiere la forma de una hoz lunar".

Se admite que sus hallazgos consolidaron la importancia en la historia de la cámara oscura [90], pero este tratado es importante en muchos otros aspectos.

La óptica antigua y la óptica medieval se dividían en óptica y espejos pirotécnicos. La óptica propiamente dicha se centraba principalmente en el estudio de la visión, mientras que los espejos pirotécnicos se centraban en las propiedades de la luz y los rayos luminosos. El estudio de la forma del eclipse es probablemente uno de los primeros intentos de Ibn al-Haytham de articular estas dos ciencias.

Los descubrimientos de Ibn al-Haytham se han beneficiado en muchos casos de la combinación de contribuciones matemáticas y experimentales. Es el caso de Sobre la forma del eclipse . Además de permitir que más personas estudiaran los eclipses parciales de sol, este tratado permitió comprender mejor cómo funciona la cámara oscura. Este tratado es un estudio físico-matemático de la formación de imágenes en el interior de la cámara oscura. Ibn al-Haytham adopta un enfoque experimental y determina el resultado variando el tamaño y la forma de la apertura, la distancia focal de la cámara, la forma y la intensidad de la fuente de luz. [91]

En su trabajo explica la inversión de la imagen en la cámara oscura, [92] el hecho de que la imagen es similar a la fuente cuando el agujero es pequeño, pero también el hecho de que la imagen puede diferir de la fuente cuando el agujero es grande. Todos estos resultados se producen mediante el uso de un análisis puntual de la imagen. [93]

Refractómetro

En el séptimo capítulo de su libro de óptica, Alhazen describió un aparato para experimentar con diversos casos de refracción, con el fin de investigar las relaciones entre el ángulo de incidencia, el ángulo de refracción y el ángulo de desviación. Este aparato era una versión modificada de un aparato utilizado por Ptolomeo con un propósito similar. [94] [95] [96]

Inferencia inconsciente

Alhazen básicamente enuncia el concepto de inferencia inconsciente en su análisis del color, antes de añadir que el paso inferencial entre la percepción del color y su diferenciación es más corto que el tiempo que transcurre entre la percepción y cualquier otra característica visible (aparte de la luz), y que "el tiempo es tan breve que no resulta claramente evidente para el observador". Naturalmente, esto sugiere que el color y la forma se perciben en otra parte. Alhazen continúa diciendo que la información debe viajar a la cavidad nerviosa central para su procesamiento y:

El órgano sensible no percibe las formas que le llegan de los objetos visibles hasta que ha sido afectado por estas formas; por lo tanto, no percibe el color como color o la luz como luz hasta que ha sido afectado por la forma del color o de la luz. Ahora bien, la afectación que recibe el órgano sensible de la forma del color o de la luz es un cierto cambio; y el cambio debe tener lugar en el tiempo; ..... y es en el tiempo durante el cual la forma se extiende desde la superficie del órgano sensible hasta la cavidad del nervio común, y en (el tiempo) siguiente a eso, que la facultad sensitiva, que existe en todo el cuerpo sensible, percibirá el color como color... Por lo tanto, la percepción del último ser sensible del color como tal y de la luz como tal tiene lugar en un tiempo posterior a aquel en el que la forma llega desde la superficie del órgano sensible hasta la cavidad del nervio común. [97]

Constancia del color

Alhazen explicó la constancia del color observando que la luz reflejada por un objeto se modifica según el color del mismo. Explicó que la calidad de la luz y el color del objeto están mezclados, y el sistema visual separa la luz del color. En el Libro II, Capítulo 3, escribe:

[98] La luz no pasa del objeto coloreado al ojo sin el color, ni la forma del color pasa del objeto coloreado al ojo sin la luz. Ni la forma de la luz ni la del color existentes en el objeto coloreado pueden pasar sino como mezcladas, y el último ser sintiente sólo puede percibirlas como mezcladas. Sin embargo, el ser sintiente percibe que el objeto visible es luminoso y que la luz que se ve en el objeto es distinta del color, y que estas son dos propiedades .

Otras contribuciones

El Kitab al-Manazir (Libro de Óptica) describe varias observaciones experimentales que Alhazen hizo y cómo utilizó sus resultados para explicar ciertos fenómenos ópticos utilizando analogías mecánicas. Realizó experimentos con proyectiles y concluyó que solo el impacto de proyectiles perpendiculares sobre superficies era lo suficientemente fuerte como para hacerlos penetrar, mientras que las superficies tendían a desviar los impactos de proyectiles oblicuos . Por ejemplo, para explicar la refracción de un medio raro a uno denso, utilizó la analogía mecánica de una bola de hierro arrojada a una pizarra delgada que cubre un agujero ancho en una lámina de metal. Un lanzamiento perpendicular rompe la pizarra y la atraviesa, mientras que un lanzamiento oblicuo con la misma fuerza y ​​desde la misma distancia no lo hace. [99] También utilizó este resultado para explicar cómo la luz intensa y directa daña el ojo, utilizando una analogía mecánica: Alhazen asoció las luces "fuertes" con rayos perpendiculares y las luces "débiles" con oblicuos. La respuesta obvia al problema de los rayos múltiples y el ojo estaba en la elección del rayo perpendicular, ya que sólo un rayo de ese tipo desde cada punto de la superficie del objeto podía penetrar el ojo. [100]

El psicólogo sudanés Omar Khaleefa ha argumentado que Alhazen debería ser considerado el fundador de la psicología experimental , por su trabajo pionero en la psicología de la percepción visual y las ilusiones ópticas . [101] Khaleefa también ha argumentado que Alhazen también debería ser considerado el "fundador de la psicofísica ", una subdisciplina y precursora de la psicología moderna. [101] Aunque Alhazen hizo muchos informes subjetivos con respecto a la visión, no hay evidencia de que usara técnicas psicofísicas cuantitativas y la afirmación ha sido rechazada. [102]

Alhazen ofreció una explicación de la ilusión de la Luna , una ilusión que jugó un papel importante en la tradición científica de la Europa medieval. [103] Muchos autores repitieron explicaciones que intentaron resolver el problema de la Luna que aparece más grande cerca del horizonte que cuando está más arriba en el cielo. Alhazen argumentó en contra de la teoría de la refracción de Ptolomeo y definió el problema en términos de ampliación percibida, en lugar de real. Dijo que juzgar la distancia de un objeto depende de que haya una secuencia ininterrumpida de cuerpos intermedios entre el objeto y el observador. Cuando la Luna está alta en el cielo no hay objetos intermedios, por lo que la Luna parece cercana. El tamaño percibido de un objeto de tamaño angular constante varía con su distancia percibida. Por lo tanto, la Luna aparece más cerca y más pequeña en lo alto del cielo, y más lejos y más grande en el horizonte. A través de trabajos de Roger Bacon , John Pecham y Witelo basados ​​en la explicación de Alhazen, la ilusión de la Luna gradualmente llegó a ser aceptada como un fenómeno psicológico, y la teoría de la refracción fue rechazada en el siglo XVII. [104] Aunque a Alhazen se le atribuye a menudo la explicación de la distancia percibida, no fue el primer autor en ofrecerla. Cleomedes ( c. siglo II) dio esta explicación (además de la refracción), y se la atribuyó a Posidonio ( c. 135-50 a. C.). [105] Es posible que Ptolomeo también haya ofrecido esta explicación en su Óptica , pero el texto es oscuro. [106] Los escritos de Alhazen estaban más ampliamente disponibles en la Edad Media que los de estos autores anteriores, y eso probablemente explica por qué Alhazen recibió el crédito.

Método científico

Por lo tanto, el buscador de la verdad no es el que estudia los escritos de los antiguos y, siguiendo su disposición natural, pone su confianza en ellos, sino más bien el que sospecha de su fe en ellos y pone en duda lo que de ellos deduce, el que se somete a los argumentos y a las demostraciones, y no a los dichos de un ser humano cuya naturaleza está llena de toda clase de imperfecciones y deficiencias. El deber del hombre que investiga los escritos de los científicos, si su objetivo es aprender la verdad, es hacerse enemigo de todo lo que lee y ... atacarlo por todos lados. También debe sospechar de sí mismo mientras realiza su examen crítico de lo que lee, para evitar caer tanto en el prejuicio como en la indulgencia.

—Alhazen  [67 ]

Un aspecto asociado con la investigación óptica de Alhazen está relacionado con la confianza sistémica y metodológica en la experimentación ( i'tibar ) (árabe: اختبار) y las pruebas controladas en sus investigaciones científicas. Además, sus directrices experimentales se basaban en la combinación de la física clásica ( ilm tabi'i ) con las matemáticas ( ta'alim ; geometría en particular). Este enfoque físico-matemático de la ciencia experimental respaldó la mayoría de sus proposiciones en Kitab al-Manazir ( La óptica ; De aspectibus o Perspectivae ) [107] y fundó sus teorías de la visión, la luz y el color, así como su investigación en catóptrica y dióptrica (el estudio de la reflexión y la refracción de la luz, respectivamente). [108]

Según Matthias Schramm, [109] Alhazen "fue el primero en hacer un uso sistemático del método de variación de las condiciones experimentales de una manera constante y uniforme, en un experimento que mostraba que la intensidad del punto de luz formado por la proyección de la luz de la luna a través de dos pequeñas aberturas sobre una pantalla disminuye constantemente a medida que una de las aberturas se bloquea gradualmente". [110] GJ Toomer expresó cierto escepticismo con respecto a la opinión de Schramm, [111] en parte porque en ese momento (1964) el Libro de Óptica aún no había sido traducido completamente del árabe, y a Toomer le preocupaba que sin contexto, pasajes específicos pudieran leerse de manera anacrónica. Si bien reconoció la importancia de Alhazen en el desarrollo de técnicas experimentales, Toomer sostuvo que Alhazen no debería considerarse de forma aislada de otros pensadores islámicos y antiguos. [111] Toomer concluyó su reseña diciendo que no sería posible evaluar la afirmación de Schramm de que Ibn al-Haytham fue el verdadero fundador de la física moderna sin traducir más obras de Alhazen e investigar a fondo su influencia en los escritores medievales posteriores. [112]

Otros trabajos sobre física

Tratados de óptica

Además del Libro de Óptica , Alhazen escribió varios otros tratados sobre el mismo tema, incluyendo su Risala fi l-Daw' ( Tratado sobre la luz ). Investigó las propiedades de la luminancia , el arco iris , los eclipses , el crepúsculo y la luz de la luna . Los experimentos con espejos y las interfaces refractivas entre el aire, el agua y los cubos, hemisferios y cuartos de esfera de vidrio proporcionaron la base para sus teorías sobre la catóptrica . [113]

Física celeste

Alhazen analizó la física de la región celeste en su Epítome de la astronomía , argumentando que los modelos ptolemaicos deben entenderse en términos de objetos físicos en lugar de hipótesis abstractas; en otras palabras, debería ser posible crear modelos físicos en los que (por ejemplo) ninguno de los cuerpos celestes colisionara entre sí. La sugerencia de modelos mecánicos para el modelo ptolemaico centrado en la Tierra "contribuyó en gran medida al triunfo final del sistema ptolemaico entre los cristianos de Occidente". Sin embargo, la determinación de Alhazen de enraizar la astronomía en el ámbito de los objetos físicos fue importante porque significaba que las hipótesis astronómicas "eran responsables de las leyes de la física ", y podían ser criticadas y mejoradas en esos términos. [114]

También escribió Maqala fi daw al-qamar ( Sobre la luz de la luna ).

Mecánica

En su obra, Alhazen discutió teorías sobre el movimiento de un cuerpo. [113]

Obras astronómicas

Sobre la configuración del mundo

En su obra Sobre la configuración del mundo, Alhazen presentó una descripción detallada de la estructura física de la Tierra:

La Tierra, en su conjunto, es una esfera redonda cuyo centro es el centro del mundo. Está inmóvil en su centro, fija en él y no se mueve en ninguna dirección ni se mueve con ninguna de las variedades de movimiento, sino que siempre está en reposo. [115]

El libro es una explicación no técnica del Almagesto de Ptolomeo , que finalmente fue traducido al hebreo y al latín en los siglos XIII y XIV y posteriormente tuvo influencia en astrónomos como Georg von Peuerbach [116] durante la Edad Media y el Renacimiento europeos . [117]

Dudas sobre Ptolomeo

En su Al-Shukūk ‛alā Batlamyūs , traducido de diversas maneras como Dudas sobre Ptolomeo o Aporías contra Ptolomeo , publicado en algún momento entre 1025 y 1028, Alhazen criticó el Almagesto de Ptolomeo , las Hipótesis planetarias y la Óptica , señalando varias contradicciones que encontró en estas obras, particularmente en astronomía. El Almagesto de Ptolomeo se ocupaba de teorías matemáticas sobre el movimiento de los planetas, mientras que las Hipótesis se ocupaban de lo que Ptolomeo pensaba que era la configuración real de los planetas. El propio Ptolomeo reconoció que sus teorías y configuraciones no siempre concordaban entre sí, argumentando que esto no era un problema siempre que no resultara en un error notable, pero Alhazen fue particularmente mordaz en su crítica de las contradicciones inherentes a las obras de Ptolomeo. [118] Consideró que algunos de los dispositivos matemáticos que Ptolomeo introdujo en la astronomía, especialmente el ecuante , no lograban satisfacer el requisito físico del movimiento circular uniforme, y señaló lo absurdo de relacionar los movimientos físicos reales con puntos, líneas y círculos matemáticos imaginarios: [119]

Ptolomeo supuso una disposición ( hay'a ) que no puede existir, y el hecho de que esta disposición produzca en su imaginación los movimientos que pertenecen a los planetas no lo libera del error que cometió en su disposición supuesta, porque los movimientos existentes de los planetas no pueden ser el resultado de una disposición que es imposible de existir... [P]ara un hombre imaginar un círculo en los cielos, e imaginar al planeta moviéndose en él, no produce el movimiento del planeta. [120]

Tras señalar los problemas, Alhazen parece haber tenido la intención de resolver las contradicciones que señaló en Ptolomeo en una obra posterior. Alhazen creía que existía una "configuración verdadera" de los planetas que Ptolomeo no había logrado comprender. Su intención era completar y reparar el sistema de Ptolomeo, no reemplazarlo por completo. [118] En Las dudas sobre Ptolomeo, Alhazen expuso sus puntos de vista sobre la dificultad de alcanzar el conocimiento científico y la necesidad de cuestionar las autoridades y teorías existentes:

La verdad se busca por sí misma, [pero] las verdades, [advierte] están inmersas en incertidumbres [y las autoridades científicas (como Ptolomeo, a quien respetaba mucho)] no son inmunes al error... [67]

Sostuvo que la crítica de las teorías existentes —que dominó este libro— ocupa un lugar especial en el crecimiento del conocimiento científico.

Modelo de los movimientos de cada uno de los siete planetas

El modelo de los movimientos de cada uno de los siete planetas de Alhazen fue escrito alrededor de 1038. Solo se ha encontrado un manuscrito dañado, del que solo sobrevivieron la introducción y la primera sección, sobre la teoría del movimiento planetario. (También había una segunda sección sobre el cálculo astronómico y una tercera sección sobre los instrumentos astronómicos). Siguiendo con sus Dudas sobre Ptolomeo , Alhazen describió un nuevo modelo planetario basado en la geometría, que describe los movimientos de los planetas en términos de geometría esférica, geometría infinitesimal y trigonometría. Mantuvo un universo geocéntrico y asumió que los movimientos celestes son uniformemente circulares, lo que requirió la inclusión de epiciclos para explicar el movimiento observado, pero logró eliminar el ecuante de Ptolomeo . En general, su modelo no intentó proporcionar una explicación causal de los movimientos, sino que se concentró en proporcionar una descripción geométrica completa que pudiera explicar los movimientos observados sin las contradicciones inherentes al modelo de Ptolomeo. [121]

Otras obras astronómicas

Alhazen escribió un total de veinticinco obras astronómicas, algunas relacionadas con cuestiones técnicas como la Determinación exacta del meridiano , un segundo grupo sobre la observación astronómica precisa, un tercer grupo sobre diversos problemas y cuestiones astronómicas como la ubicación de la Vía Láctea ; Alhazen hizo el primer esfuerzo sistemático de evaluar la paralaje de la Vía Láctea, combinando los datos de Ptolomeo y los suyos propios. Concluyó que el paralaje es (probablemente mucho) menor que el paralaje lunar, y que la Vía Láctea debería ser un objeto celeste. Aunque no fue el primero en argumentar que la Vía Láctea no pertenece a la atmósfera, es el primero que realizó un análisis cuantitativo de la afirmación. [122] El cuarto grupo consta de diez obras sobre teoría astronómica, incluidas las Dudas y el Modelo de los Movimientos discutidos anteriormente. [123]

Trabajos matemáticos

La fórmula de suma geométricamente probada de Alhazen

En matemáticas , Alhazen se basó en los trabajos matemáticos de Euclides y Thabit ibn Qurra y trabajó en "los inicios del vínculo entre el álgebra y la geometría ". Alhazen realizó desarrollos en secciones cónicas y teoría de números. [124]

Desarrolló una fórmula para sumar los primeros 100 números naturales, utilizando una prueba geométrica para demostrar la fórmula. [125]

Geometría

El lunes de Alhazen. Los dos lunes azules juntos tienen la misma área que el triángulo rectángulo verde.

Alhazen exploró lo que ahora se conoce como el postulado euclidiano de las paralelas , el quinto postulado de los Elementos de Euclides , utilizando una prueba por contradicción , [126] y, en efecto, introduciendo el concepto de movimiento en la geometría. [127] Formuló el cuadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld llama el "cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert". [128] Fue criticado por Omar Khayyam, quien señaló que Aristóteles había condenado el uso del movimiento en la geometría . [129]

En geometría elemental, Alhazen intentó resolver el problema de la cuadratura del círculo usando el área de los lunas (formas crecientes), pero luego abandonó la tarea imposible. [130] Los dos lunas formados a partir de un triángulo rectángulo erigiendo un semicírculo en cada uno de los lados del triángulo, hacia adentro para la hipotenusa y hacia afuera para los otros dos lados, se conocen como los lunas de Alhazen ; tienen la misma área total que el triángulo mismo. [131]

Teoría de números

Las contribuciones de Alhazen a la teoría de números incluyen su trabajo sobre los números perfectos . En su Análisis y síntesis , puede haber sido el primero en afirmar que todo número par perfecto tiene la forma 2 n −1 (2 n  − 1) donde 2 n  − 1 es primo , pero no pudo demostrar este resultado; Euler lo demostró más tarde en el siglo XVIII, y ahora se llama teorema de Euclides-Euler . [130]

Alhazen resolvió problemas que involucraban congruencias usando lo que ahora se llama el teorema de Wilson . En su Opuscula , Alhazen considera la solución de un sistema de congruencias y da dos métodos generales de solución. Su primer método, el método canónico, involucraba el teorema de Wilson, mientras que su segundo método involucraba una versión del teorema del resto chino . [130]

Cálculo

Alhazen descubrió la fórmula de la suma de la cuarta potencia, utilizando un método que podía utilizarse de forma general para determinar la suma de cualquier potencia integral. Utilizó esto para hallar el volumen de un paraboloide . Podía hallar la fórmula integral de cualquier polinomio sin haber desarrollado una fórmula general. [132]

Otras obras

Influencia de las melodías en el alma de los animales

Alhazen también escribió un Tratado sobre la influencia de las melodías en las almas de los animales , aunque no se han conservado copias. Parece que se ocupaba de la cuestión de si los animales podían reaccionar a la música, por ejemplo, si un camello aumentaría o disminuiría su ritmo.

Ingeniería

En ingeniería , un relato de su carrera como ingeniero civil lo cuenta como convocado a Egipto por el califa fatimí , Al-Hakim bi-Amr Allah , para regular las inundaciones del río Nilo . Llevó a cabo un estudio científico detallado de la inundación anual del río Nilo y trazó planes para construir una presa , en el sitio de la actual presa de Asuán . Sin embargo, su trabajo de campo más tarde le hizo consciente de la impracticabilidad de este plan, y pronto fingió locura para poder evitar el castigo del califa. [133]

Filosofía

En su Tratado sobre el lugar , Alhazen no estaba de acuerdo con la opinión de Aristóteles de que la naturaleza aborrece el vacío , y utilizó la geometría en un intento de demostrar que el lugar ( al-makan ) es el vacío tridimensional imaginado entre las superficies internas de un cuerpo contenedor. [134] Abd-el-latif , un partidario de la visión filosófica de Aristóteles sobre el lugar, criticó más tarde el trabajo en Fi al-Radd 'ala Ibn al-Haytham fi al-makan ( Una refutación del lugar de Ibn al-Haytham ) por su geometrización del lugar. [134]

Alhazen también analizó la percepción del espacio y sus implicaciones epistemológicas en su Libro de óptica . Al “vincular la percepción visual del espacio a la experiencia corporal previa, Alhazen rechazó inequívocamente la intuición de la percepción espacial y, por lo tanto, la autonomía de la visión. Sin nociones tangibles de distancia y tamaño para la correlación, la vista no puede decirnos prácticamente nada sobre tales cosas”. [135]

Teología

Alhazen era musulmán y la mayoría de las fuentes informan que era sunita y seguidor de la escuela Ash'ari . [136] [137] [ 138] [139] Ziauddin Sardar dice que algunos de los más grandes científicos musulmanes , como Ibn al-Haytham y Abū Rayhān al-Bīrūnī , que fueron pioneros del método científico , eran ellos mismos seguidores de la escuela Ashʿari de teología islámica. [138] Al igual que otros ashʿaritas que creían que la fe o taqlid debería aplicarse solo al Islam y no a ninguna autoridad helenística antigua , [140] la opinión de Ibn al-Haytham de que el taqlid debería aplicarse solo a los profetas del Islam y no a ninguna otra autoridad formó la base de gran parte de su escepticismo científico y crítica contra Ptolomeo y otras autoridades antiguas en sus Dudas sobre Ptolomeo y Libro de óptica . [141]

Alhazen escribió una obra sobre teología islámica en la que analizaba la profecía y desarrollaba un sistema de criterios filosóficos para discernir a sus falsos postulantes en su tiempo. [142] También escribió un tratado titulado Encontrar la dirección de la Qibla mediante cálculo en el que analizaba cómo encontrar la Qibla , hacia donde se dirigen las oraciones ( salat ), matemáticamente. [143]

Hay referencias ocasionales a la teología o al sentimiento religioso en sus obras técnicas, por ejemplo en Dudas sobre Ptolomeo :

La verdad se busca por sí misma... Encontrar la verdad es difícil y el camino hacia ella es áspero, pues las verdades están sumidas en la oscuridad... Sin embargo, Dios no ha preservado al científico del error ni ha salvaguardado a la ciencia de las deficiencias y los defectos. Si así hubiera sido, los científicos no habrían discrepado sobre ningún punto de la ciencia... [144]

En el movimiento sinuoso :

De las afirmaciones del noble jeque se desprende que cree en las palabras de Ptolomeo en todo lo que dice, sin apoyarse en una demostración ni invocar una prueba, sino por pura imitación ( taqlid ); así es como los expertos en la tradición profética tienen fe en los Profetas, que la bendición de Dios sea con ellos. Pero no es así como los matemáticos tienen fe en los especialistas en las ciencias demostrativas. [145]

Respecto a la relación de la verdad objetiva y Dios:

Busqué constantemente el conocimiento y la verdad, y llegué a creer que para obtener acceso al resplandor y la cercanía a Dios, no hay mejor camino que el de la búsqueda de la verdad y el conocimiento. [146]

Legado

Portada de la traducción latina de Kitāb al-Manāẓir

Alhazen realizó importantes contribuciones a la óptica, la teoría de números, la geometría, la astronomía y la filosofía natural. Se le atribuye a su trabajo en óptica el haber aportado un nuevo énfasis en la experimentación.

Su obra principal, Kitab al-Manazir ( Libro de óptica ), fue conocida en el mundo musulmán principalmente, pero no exclusivamente, a través del comentario del siglo XIII de Kamāl al-Dīn al-Fārisī , el Tanqīḥ al-Manāẓir li-dhawī l-abṣār wa l-baṣā'ir . [147] En al-Ándalus , fue utilizado por el príncipe del siglo XI de la dinastía Banu Hud de Zaragoza y autor de un importante texto matemático, al-Mu'taman ibn Hūd . Una traducción latina del Kitab al-Manazir se realizó probablemente a finales del siglo XII o principios del XIII. [148] Esta traducción fue leída e influyó enormemente en varios eruditos de la Europa cristiana, entre ellos: Roger Bacon , [149] Robert Grosseteste , [150] Witelo , Giambattista della Porta , [151] Leonardo da Vinci , [152] Galileo Galilei , [153] Christiaan Huygens , [154] René Descartes , [155] y Johannes Kepler . [156] Mientras tanto, en el mundo islámico, la obra de Alhazen influyó en los escritos de Averroes sobre óptica, [ cita requerida ] y su legado avanzó aún más a través de la "reforma" de su Óptica por el científico persa Kamal al-Din al-Farisi (fallecido c. 1320) en el Kitab Tanqih al-Manazir de este último ( La revisión de la Óptica [de Ibn al-Haytham] ). [108] Alhazen escribió hasta 200 libros, aunque sólo se han conservado 55. Algunos de sus tratados sobre óptica sobrevivieron sólo gracias a la traducción al latín. Durante la Edad Media, sus libros sobre cosmología fueron traducidos al latín, al hebreo y a otros idiomas.

HJJ Winter, un historiador británico de la ciencia, resumiendo la importancia de Ibn al-Haytham en la historia de la física, escribió:

Después de la muerte de Arquímedes no apareció ningún físico verdaderamente grande hasta Ibn al-Haytham. Por tanto, si nos limitamos a la historia de la física, hay un largo período de más de mil doscientos años durante el cual la Edad de Oro de Grecia dio paso a la era de la escolástica musulmana, y el espíritu experimental del físico más noble de la Antigüedad vivió de nuevo en el erudito árabe de Basora. [157]

Aunque sólo un comentario sobre la óptica de Alhazen ha sobrevivido a la Edad Media islámica, Geoffrey Chaucer menciona la obra en Los cuentos de Canterbury : [158]

"Hablaron de Alhazen y de Vitello,
y de Aristóteles, que escribieron en sus vidas,
sobre espejos extraños e instrumentos ópticos."

El cráter de impacto Alhazen en la Luna recibe su nombre en su honor, [159] al igual que el asteroide 59239 Alhazen . [160] En honor a Alhazen, la Universidad Aga Khan (Pakistán) nombró a su cátedra de Oftalmología como "Profesor Asociado Ibn-e-Haitham y Jefe de Oftalmología". [161]

El Año Internacional de la Luz 2015 celebró el milésimo aniversario de los trabajos sobre óptica de Ibn Al-Haytham. [162]

Frontispicio de libro que muestra a dos personas con túnicas, una sosteniendo un diagrama geométrico y la otra sosteniendo un telescopio.
La Selenografía de Hevelius , que muestra a Alhasen [ sic ] representando la razón y a Galileo representando los sentidos.

En 2014, el episodio " Hiding in the Light " de Cosmos: A Spacetime Odyssey , presentado por Neil deGrasse Tyson , se centró en los logros de Ibn al-Haytham. En el episodio, Alfred Molina le prestó su voz .

Más de cuarenta años antes, Jacob Bronowski presentó el trabajo de Alhazen en un documental televisivo similar (y el libro correspondiente), The Ascent of Man . En el episodio 5 ( The Music of the Spheres ), Bronowski comentó que, en su opinión, Alhazen fue "la única mente científica realmente original que produjo la cultura árabe", cuya teoría de la óptica no fue mejorada hasta la época de Newton y Leibniz.

La UNESCO declaró 2015 como el Año Internacional de la Luz y su Directora General, Irina Bokova, apodó a Ibn al-Haytham "el padre de la óptica". [163] Entre otras cosas, esto fue para celebrar los logros de Ibn Al-Haytham en óptica, matemáticas y astronomía. Una campaña internacional, creada por la organización 1001 Inventions , titulada 1001 Inventions and the World of Ibn Al-Haytham presenta una serie de exhibiciones interactivas, talleres y espectáculos en vivo sobre su trabajo, en asociación con centros científicos, festivales científicos, museos e instituciones educativas, así como plataformas de medios digitales y sociales. [164] La campaña también produjo y lanzó el cortometraje educativo 1001 Inventions and the World of Ibn Al-Haytham .

Ibn al-Haytham aparece en el billete de 10.000 dinares iraquíes , serie 2003. [165]

Lista de obras

Según los biógrafos medievales, Alhazen escribió más de 200 obras sobre una amplia gama de temas, de las cuales se conocen al menos 96 de sus obras científicas. La mayoría de sus obras se han perdido en la actualidad, pero más de 50 de ellas han sobrevivido en cierta medida. Casi la mitad de sus obras supervivientes son sobre matemáticas, 23 de ellas sobre astronomía y 14 sobre óptica, y unas pocas sobre otros temas. [166] No se han estudiado todavía todas sus obras supervivientes, pero a continuación se dan algunas de las que sí se han estudiado. [167]

  1. Libro de Óptica (كتاب المناظر)
  2. Análisis y síntesis (مقالة في التحليل والتركيب)
  3. Equilibrio de la Sabiduría (ميزان الحكمة)
  4. Correcciones al Almagesto (تصويبات على المجسطي)
  5. Discurso sobre el lugar (مقالة في المكان)
  6. Determinación exacta del polo (التحديد الدقيق للقطب)
  7. Determinación exacta del meridiano (رسالة في الشفق)
  8. Encontrar la dirección de Qibla mediante cálculo (كيفية حساب اتجاه القبلة)
  9. Relojes de sol horizontales (المزولة الأفقية)
  10. Líneas horarias (خطوط الساعة)
  11. Dudas sobre Ptolomeo (شكوك على بطليموس)
  12. Maqala fi'l-Qarastun (مقالة في قرسطون)
  13. Sobre la finalización de las cónicas (إكمال المخاريط)
  14. Sobre ver las estrellas (رؤية الكواكب)
  15. Sobre la cuadratura del círculo (مقالة فی تربیع الدائرة)
  16. En la esfera ardiente (المرايا المحرقة بالدوائر)
  17. Sobre la configuración del mundo (تكوين العالم)
  18. En forma de eclipse (مقالة فی صورة ‌الکسوف)
  19. Sobre la luz de las estrellas (مقالة في ضوء النجوم) [168]
  20. A la luz de la luna (مقالة في ضوء القمر)
  21. En la Vía Láctea (مقالة في درب التبانة)
  22. Sobre la naturaleza de las sombras (كيفيات الإظلال)
  23. Sobre el arcoíris y Halo (مقالة في قوس قزح)
  24. Opuscula (Obras menores)
  25. Resolución de dudas sobre el Almagesto (تحليل شكوك حول الجست)
  26. Resolución de dudas sobre el movimiento de bobinado
  27. La corrección de las operaciones en astronomía (تصحيح العمليات في الفلك)
  28. Las diferentes alturas de los planetas (اختلاف ارتفاع الكواكب)
  29. La dirección de La Meca (اتجاه القبلة)
  30. El modelo de los movimientos de cada uno de los siete planetas (نماذج حركات الكواكب السبعة)
  31. El modelo del universo (نموذج الكون)
  32. El movimiento de la luna (حركة القمر)
  33. Las relaciones de los arcos horarios con sus alturas
  34. El movimiento sinuoso (الحركة المتعرجة)
  35. Tratado sobre la luz (رسالة في الضوء) [169]
  36. Tratado sobre el lugar (رسالة في المكان)
  37. Tratado sobre la influencia de las melodías en las almas de los animales (تأثير اللحون الموسيقية في النفوس الحيوانية)
  38. كتاب في تحليل المسائل الهندسية (Un libro sobre análisis de ingeniería)
  39. الجامع في أصول الحساب (El total del activo de la cuenta)
  40. قول فی مساحة الکرة (Diga en la esfera)
  41. القول المعروف بالغریب فی حساب المعاملات (Decir lo desconocido en el cálculo de transacciones)
  42. خواص المثلث من جهة العمود (Propiedades del triángulo desde el lado de la columna)
  43. رسالة فی مساحة المسجم المکافی (Un mensaje en el espacio libre)
  44. شرح أصول إقليدس (Explica los orígenes de Euclides)
  45. المرايا المحرقة بالقطوع (Los espejos ardientes del arco iris)
  46. مقالة في القرصتن (Tratado sobre los centros de gravedad)

Obras perdidas

  1. Un libro en el que he resumido la ciencia de la óptica de los dos libros de Euclides y Ptolomeo, a los que he añadido las nociones del primer discurso que falta en el libro de Ptolomeo [170]
  2. Tratado sobre los espejos ardientes
  3. Tratado sobre la naturaleza del órgano de la vista y sobre cómo se logra la visión a través de él

Véase también

Notas

  1. ^ A. Mark Smith ha determinado que hubo al menos dos traductores, basándose en su habilidad con el árabe; el primero, un erudito más experimentado, comenzó la traducción al principio del Libro Uno y la entregó a mitad del Capítulo Tres del Libro Tres. Smith 2001 91 Volumen 1: Comentario y texto latino pp.xx-xxi. Véanse también sus traducciones de 2006, 2008, 2010.

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Fuentes

Lectura adicional

Primario

Secundario

Enlaces externos

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