Alfred Tarski ( nacido Alfred Teitelbaum , Polonia ; 14 de enero de 1901 - 26 de octubre de 1983) fue un lógico y matemático polaco- estadounidense . [5] Fue un autor prolífico , mejor conocido por su trabajo en teoría de modelos , metamatemáticas y lógica algebraica , y también contribuyó al álgebra abstracta , topología , geometría , teoría de la medida , lógica matemática , teoría de conjuntos y filosofía analítica .
Educado en Polonia en la Universidad de Varsovia , y miembro de la escuela de lógica de Lwów-Varsovia y de la escuela de matemáticas de Varsovia , emigró a los Estados Unidos en 1939, donde se convirtió en ciudadano naturalizado en 1945. Tarski enseñó y llevó a cabo investigaciones en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley , desde 1942 hasta su muerte en 1983. [6]
Sus biógrafos Anita Burdman Feferman y Solomon Feferman afirman que, "Junto con su contemporáneo, Kurt Gödel , cambió la cara de la lógica en el siglo XX, especialmente a través de su trabajo sobre el concepto de verdad y la teoría de modelos". [7]
Alfred Tarski nació como Alfred Teitelbaum ( en polaco : "Tajtelbaum"), de padres judíos polacos de clase acomodada. Manifestó por primera vez sus habilidades matemáticas mientras estaba en la escuela secundaria, en Szkoła Mazowiecka de Varsovia . [8] Sin embargo, ingresó en la Universidad de Varsovia en 1918 con la intención de estudiar biología . [9]
Después de que Polonia recuperara su independencia en 1918, la Universidad de Varsovia quedó bajo la dirección de Jan Łukasiewicz , Stanisław Leśniewski y Wacław Sierpiński y rápidamente se convirtió en una institución de investigación líder a nivel mundial en lógica, matemáticas fundamentales y filosofía de las matemáticas. Leśniewski reconoció el potencial de Tarski como matemático y lo alentó a abandonar la biología. [9] A partir de entonces, Tarski asistió a cursos impartidos por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz y Tadeusz Kotarbiński , y en 1924 se convirtió en la única persona en completar un doctorado bajo la supervisión de Leśniewski. Su tesis se tituló O wyrazie pierwotnym logistyki ( Sobre el término primitivo de la logística ; publicada en 1923). Tarski y Leśniewski pronto se distanciaron, principalmente debido al creciente antisemitismo de este último. [7] Sin embargo, en etapas posteriores de su vida, Tarski reservó sus elogios más cálidos para Kotarbiński, que fueron correspondidos.
En 1923, Alfred Teitelbaum y su hermano Wacław cambiaron su apellido a "Tarski". Los hermanos Tarski también se convirtieron al catolicismo romano , la religión dominante de Polonia. Alfred lo hizo a pesar de ser un ateo declarado . [10] [11]
Tras convertirse en la persona más joven en completar un doctorado en la Universidad de Varsovia, Tarski enseñó lógica en el Instituto Pedagógico Polaco, matemáticas y lógica en la universidad y trabajó como asistente de Łukasiewicz. Debido a que estos puestos estaban mal pagados, Tarski también enseñó matemáticas en el Tercer Gimnasio de Niños del Sindicato de Profesores de Enseñanza Secundaria Polacos (más tarde el Stefan Żeromski Gimnazjum), una escuela secundaria de Varsovia, a partir de 1925. [12] Antes de la Segunda Guerra Mundial, no era raro que intelectuales europeos con calibre de investigación enseñaran en la escuela secundaria. Por lo tanto, hasta su partida a los Estados Unidos en 1939, Tarski no solo escribió varios libros de texto y muchos artículos, varios de ellos innovadores, sino que también lo hizo mientras se ganaba la vida enseñando matemáticas en la escuela secundaria. [13] En 1929, Tarski se casó con su compañera docente Maria Witkowska, una polaca de origen católico. Había trabajado como mensajera para el ejército durante la guerra polaco-soviética . Tuvieron dos hijos: un hijo, Jan Tarski, que se convirtió en físico, y una hija, Ina, que se casó con el matemático Andrzej Ehrenfeucht . [14]
Tarski solicitó una cátedra de filosofía en la Universidad de Lwów , pero por recomendación de Bertrand Russell se le concedió a Leon Chwistek . [15] En 1930, Tarski visitó la Universidad de Viena , dio una conferencia en el coloquio de Karl Menger y conoció a Kurt Gödel . Gracias a una beca, pudo regresar a Viena durante la primera mitad de 1935 para trabajar con el grupo de investigación de Menger. Desde Viena viajó a París para presentar sus ideas sobre la verdad en la primera reunión del movimiento Unidad de la Ciencia , una consecuencia del Círculo de Viena . La carrera académica de Tarski en Polonia se vio fuerte y repetidamente afectada por su herencia. Por ejemplo, en 1937, Tarski solicitó una cátedra en la Universidad de Poznań, pero la cátedra fue abolida para evitar asignársela a Tarski (quien era indiscutiblemente el candidato más fuerte) porque era judío. [16] Los vínculos de Tarski con el movimiento Unity of Science probablemente le salvaron la vida, porque dieron como resultado que lo invitaran a hablar en el Congreso Unity of Science celebrado en septiembre de 1939 en la Universidad de Harvard . Así, abandonó Polonia en agosto de 1939, en el último barco que zarpó de Polonia hacia los Estados Unidos antes de la invasión alemana y soviética de Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial . Tarski se fue de mala gana, porque Leśniewski había muerto unos meses antes, lo que creó una vacante que Tarski esperaba llenar. Ajeno a la amenaza nazi , dejó a su esposa e hijos en Varsovia. No los volvió a ver hasta 1946. Durante la guerra, casi toda su extensa familia judía fue asesinada a manos de las autoridades de ocupación alemanas.
Una vez en los Estados Unidos, Tarski ocupó varios puestos temporales de docencia e investigación: en la Universidad de Harvard (1939), en el City College de Nueva York (1940) y, gracias a una beca Guggenheim , en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1942), donde volvió a encontrarse con Gödel. En 1942, Tarski se incorporó al Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley , donde pasó el resto de su carrera. Tarski se convirtió en ciudadano estadounidense en 1945. [17] Aunque fue emérito desde 1968, enseñó hasta 1973 y supervisó a candidatos a doctorado hasta su muerte. [18] En Berkeley, Tarski adquirió reputación de profesor asombroso y exigente, un hecho notado por muchos observadores:
Sus seminarios en Berkeley se hicieron rápidamente famosos en el mundo de la lógica matemática. Sus estudiantes, muchos de los cuales llegaron a ser matemáticos distinguidos, notaban la asombrosa energía con la que les convencía y engatusaba para que realizaran sus mejores trabajos, exigiéndoles siempre los más altos estándares de claridad y precisión. [19]
Tarski era extrovertido, ingenioso, de carácter fuerte, enérgico y mordaz. Prefería que su investigación fuera colaborativa (a veces trabajaba toda la noche con un colega) y era muy exigente con las prioridades. [20]
Tarski, un líder y maestro carismático, conocido por su estilo expositivo brillantemente preciso y lleno de suspense, tenía estándares intimidantemente altos para los estudiantes, pero al mismo tiempo podía ser muy alentador, y particularmente para las mujeres, en contraste con la tendencia general. Algunos estudiantes se asustaron, pero quedó un círculo de discípulos, muchos de los cuales se convirtieron en líderes de renombre mundial en el campo. [21]
Tarski supervisó veinticuatro tesis doctorales, incluidas (en orden cronológico) las de Andrzej Mostowski , Bjarni Jónsson , Julia Robinson , Robert Vaught , Solomon Feferman , Richard Montague , James Donald Monk, Haim Gaifman , Donald Pigozzi y Roger Maddux , así como las de Chen Chung Chang y Jerome Keisler , autores de Model Theory (1973), [22] un texto clásico en el campo. [23] [24] También influyó fuertemente en las tesis de Adolf Lindenbaum , Dana Scott y Steven Givant. Cinco de los estudiantes de Tarski eran mujeres, un hecho notable dado que los hombres representaban una abrumadora mayoría de estudiantes de posgrado en ese momento. [24] Sin embargo, tuvo aventuras extramatrimoniales con al menos dos de estos estudiantes. Después de mostrar el trabajo de otra de sus estudiantes femeninas [ ¿quién? ] a un colega masculino [ ¿quién?] ] , el colega lo publicó él mismo, lo que la llevó a abandonar los estudios de posgrado y luego mudarse a una universidad diferente y con un asesor diferente. [25]
Tarski impartió conferencias en el University College de Londres (1950, 1966), en el Instituto Henri Poincaré de París (1955), en el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias de Berkeley (1958-1960), en la Universidad de California en Los Ángeles (1967) y en la Pontificia Universidad Católica de Chile (1974-1975). Entre las muchas distinciones obtenidas a lo largo de su carrera, Tarski fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos , la Academia Británica y la Real Academia de las Artes y las Ciencias de los Países Bajos en 1958, [26] recibió títulos honorarios de la Pontificia Universidad Católica de Chile en 1975, de la Universidad Paul Cézanne de Marsella en 1977 y de la Universidad de Calgary , así como la Citación de Berkeley en 1981. Tarski presidió la Asociación de Lógica Simbólica , 1944-1946, y la Unión Internacional para la Historia y la Filosofía de la Ciencia, 1956-1957. También fue editor honorario de Algebra Universalis . [27]
Los intereses matemáticos de Tarski eran excepcionalmente amplios. Sus artículos recopilados suman unas 2.500 páginas, la mayoría de ellas sobre matemáticas, no sobre lógica. Para un breve resumen de los logros matemáticos y lógicos de Tarski realizado por su ex alumno Solomon Feferman, véase "Interludios I–VI" en Feferman y Feferman. [28]
El primer artículo de Tarski, publicado cuando tenía 19 años, fue sobre la teoría de conjuntos , un tema al que volvió a lo largo de su vida. [29] En 1924, él y Stefan Banach demostraron que, si se acepta el axioma de elección , una bola puede cortarse en un número finito de piezas y luego volver a ensamblarse en una bola de mayor tamaño, o alternativamente puede volver a ensamblarse en dos bolas cuyos tamaños sean cada uno igual al de la original. Este resultado ahora se llama la paradoja de Banach-Tarski . [30]
En A decision method for elementary algebra and geometry , Tarski demostró, mediante el método de eliminación de cuantificadores , que la teoría de primer orden de los números reales bajo adición y multiplicación es decidible . (Si bien este resultado apareció solo en 1948, data de 1930 y fue mencionado en Tarski (1931).) Este es un resultado muy curioso, porque Alonzo Church demostró en 1936 que la aritmética de Peano (la teoría de los números naturales ) no es decidible. La aritmética de Peano también es incompleta por el teorema de incompletitud de Gödel . En sus Teorías indecidibles de 1953 , Tarski et al. demostraron que muchos sistemas matemáticos, incluida la teoría de retículos , la geometría proyectiva abstracta y las álgebras de clausura , son todos indecidibles. La teoría de los grupos abelianos es decidible, pero la de los grupos no abelianos no lo es.
Mientras enseñaba en el Stefan Żeromski Gimnazjum en los años 1920 y 1930, Tarski enseñó a menudo geometría . [31] Utilizando algunas ideas de Mario Pieri , en 1926 Tarski ideó una axiomatización original para la geometría euclidiana plana , una considerablemente más concisa que la de Hilbert . [32] Los axiomas de Tarski forman una teoría de primer orden desprovista de teoría de conjuntos, cuyos individuos son puntos , y que tiene solo dos relaciones primitivas . En 1930, demostró que esta teoría es decidible porque puede mapearse en otra teoría que ya había demostrado decidible, a saber, su teoría de primer orden de los números reales.
En 1929, demostró que gran parte de la geometría sólida euclidiana podía reformularse como una teoría de segundo orden cuyos individuos son esferas (una noción primitiva ), una única relación binaria primitiva "está contenida en", y dos axiomas que, entre otras cosas, implican que la contención ordena parcialmente las esferas. La flexibilización del requisito de que todos los individuos sean esferas produce una formalización de la mereología mucho más fácil de exponer que la variante de Lesniewski . Cerca del final de su vida, Tarski escribió una carta muy larga, publicada como Tarski y Givant (1999), resumiendo su trabajo sobre geometría. [33]
Las álgebras cardinales estudian las álgebras cuyos modelos incluyen la aritmética de los números cardinales . Las álgebras ordinales plantean un álgebra para la teoría aditiva de los tipos de orden . La adición cardinal, pero no la ordinal, conmuta.
En 1941, Tarski publicó un importante artículo sobre relaciones binarias , que inició el trabajo sobre el álgebra de relaciones y sus metamatemáticas que ocuparon a Tarski y sus estudiantes durante gran parte del resto de su vida. Si bien esa exploración (y el trabajo estrechamente relacionado de Roger Lyndon ) descubrió algunas limitaciones importantes del álgebra de relaciones, Tarski también demostró (Tarski y Givant 1987) que el álgebra de relaciones puede expresar la mayor parte de la teoría de conjuntos axiomáticos y la aritmética de Peano . Para una introducción al álgebra de relaciones , consulte Maddux (2006). A fines de la década de 1940, Tarski y sus estudiantes idearon álgebras cilíndricas , que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra de Boole de dos elementos es a la lógica oracional clásica . Este trabajo culminó en las dos monografías de Tarski, Henkin y Monk (1971, 1985). [34]
El estudiante de Tarski, Robert Lawson Vaught , ha clasificado a Tarski como uno de los cuatro más grandes lógicos de todos los tiempos, junto con Aristóteles , Gottlob Frege y Kurt Gödel . [7] [35] [36] Sin embargo, Tarski a menudo expresó una gran admiración por Charles Sanders Peirce , particularmente por su trabajo pionero en la lógica de las relaciones .
Tarski produjo axiomas para la consecuencia lógica y trabajó en sistemas deductivos , el álgebra de la lógica y la teoría de la definibilidad. Sus métodos semánticos, que culminaron en la teoría de modelos que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en los años 1950 y 1960, transformaron radicalmente la metamatemática de la teoría de la prueba de Hilbert. Alrededor de 1930, Tarski desarrolló una teoría abstracta de las deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es solo un operador de cierre finitario en un conjunto (el conjunto de oraciones ). En la lógica algebraica abstracta , los operadores de cierre finitario aún se estudian bajo el nombre de operador de consecuencia , que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría, y cl( T ) es el conjunto de todas las oraciones que se siguen de la teoría. Este enfoque abstracto se aplicó a la lógica difusa (ver Gerla 2000).
En opinión de [Tarski], la metamatemática se volvió similar a cualquier disciplina matemática. No sólo se pueden matematizar sus conceptos y resultados, sino que también se pueden integrar en las matemáticas. ... Tarski destruyó la frontera entre metamatemáticas y matemáticas. Se opuso a restringir el papel de las metamatemáticas a los fundamentos de las matemáticas. [37]
En su artículo de 1936 "Sobre el concepto de consecuencia lógica", Tarski argumentó que la conclusión de un argumento se seguirá lógicamente de sus premisas si y solo si cada modelo de las premisas es un modelo de la conclusión. [38] En 1937, publicó un artículo en el que presentaba claramente sus puntos de vista sobre la naturaleza y el propósito del método deductivo y el papel de la lógica en los estudios científicos. [29] Su enseñanza en la escuela secundaria y en la universidad sobre lógica y axiomática culminó en un texto corto clásico, publicado primero en polaco, luego en traducción al alemán y finalmente en una traducción al inglés de 1941 como Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas . [39]
En "Verdad y prueba" de Tarski de 1969 se consideraron tanto los teoremas de incompletitud de Gödel como el teorema de indefinibilidad de Tarski y se reflexionó sobre sus consecuencias para el método axiomático en matemáticas.
En 1933, Tarski publicó un artículo muy extenso en polaco, titulado "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", [40] "Estableciendo una definición matemática de la verdad para los lenguajes formales". La traducción alemana de 1935 se tituló "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "El concepto de verdad en los lenguajes formalizados", a veces abreviado como "Wahrheitsbegriff". Una traducción al inglés apareció en la primera edición de 1956 del volumen Logic, Semantics, Metamathematics . Esta colección de artículos de 1923 a 1938 es un evento en la filosofía analítica del siglo XX , una contribución a la lógica simbólica , la semántica y la filosofía del lenguaje . Para una breve discusión de su contenido, véase Convención T (y también Esquema T ).
Un debate filosófico examina hasta qué punto la teoría de la verdad de Tarski para los lenguajes formalizados puede considerarse una teoría de la verdad correspondiente . El debate se centra en cómo interpretar la condición de adecuación material de Tarski para una definición verdadera. Esa condición requiere que la teoría de la verdad tenga los siguientes teoremas para todas las oraciones p del lenguaje para el que se está definiendo la verdad:
(donde p es la proposición expresada por "p")
El debate se reduce a si se deben leer oraciones de esta forma, como
"La nieve es blanca" es verdadero si y sólo si la nieve es blanca
como la expresión de una mera teoría deflacionaria de la verdad o como la incorporación de la verdad como una propiedad más sustancial (véase Kirkham 1992).
En 1936, Tarski publicó versiones en polaco y alemán de una conferencia, “Sobre el concepto de seguir lógicamente”, [41] que había dado el año anterior en el Congreso Internacional de Filosofía Científica en París. Una nueva traducción al inglés de este artículo, Tarski (2002), destaca las muchas diferencias entre las versiones en alemán y polaco del artículo y corrige una serie de traducciones erróneas en Tarski (1983). [41]
Esta publicación expuso la definición teórica de modelo moderna de consecuencia lógica (semántica), o al menos la base para ella. Si la noción de Tarski era completamente moderna depende de si pretendía admitir modelos con dominios variables (y en particular, modelos con dominios de cardinalidades diferentes ). [ cita requerida ] Esta cuestión es motivo de cierto debate en la literatura filosófica. John Etchemendy estimuló gran parte de la discusión sobre el tratamiento de Tarski de los dominios variables. [42]
Tarski termina señalando que su definición de consecuencia lógica depende de una división de términos en lógicos y extralógicos y expresa cierto escepticismo en cuanto a que se pueda llegar a una división objetiva de ese tipo. Por lo tanto, "¿Qué son las nociones lógicas?" puede considerarse como una continuación de "Sobre el concepto de consecuencia lógica". [ cita requerida ]
El artículo de Tarski, "¿Qué son las nociones lógicas?" (Tarski 1986), es la versión publicada de una charla que dio originalmente en 1966 en Londres y más tarde en 1973 en Buffalo ; fue editado sin su participación directa por John Corcoran . Se convirtió en el artículo más citado en la revista History and Philosophy of Logic . [43]
En la charla, Tarski propuso la demarcación de las operaciones lógicas (a las que llama "nociones") de las no lógicas. Los criterios sugeridos se derivaron del programa de Erlangen del matemático alemán del siglo XIX Felix Klein . Mautner (en 1946), y posiblemente [ aclaración necesaria ] un artículo del matemático portugués José Sebastião e Silva , se anticiparon a Tarski al aplicar el Programa de Erlangen a la lógica. [ cita requerida ]
El programa Erlangen clasificó los diversos tipos de geometría ( geometría euclidiana , geometría afín , topología , etc.) según el tipo de transformación biunívoca del espacio sobre sí mismo que dejaba invariables los objetos de esa teoría geométrica. (Una transformación biunívoca es un mapa funcional del espacio sobre sí mismo de modo que cada punto del espacio está asociado o mapeado con otro punto del espacio. Por lo tanto, "rotar 30 grados" y "ampliar por un factor de 2" son descripciones intuitivas de transformaciones biunívocas uniformes simples). Las transformaciones continuas dan lugar a los objetos de la topología, las transformaciones de similitud a los de la geometría euclidiana, y así sucesivamente. [ cita requerida ]
A medida que el rango de transformaciones permisibles se hace más amplio, el rango de objetos que uno puede distinguir como preservados por la aplicación de las transformaciones se hace más estrecho. Las transformaciones de similitud son bastante estrechas (preservan la distancia relativa entre puntos) y por lo tanto nos permiten distinguir relativamente muchas cosas (por ejemplo, triángulos equiláteros de triángulos no equiláteros). Las transformaciones continuas (que intuitivamente pueden considerarse como transformaciones que permiten estiramiento, compresión, flexión y torsión no uniformes, pero no desgarro ni pegado) nos permiten distinguir un polígono de un anillo (anillo con un agujero en el centro), pero no nos permiten distinguir dos polígonos entre sí. [ cita requerida ]
La propuesta de Tarski [ ¿cuál? ] consistía en delimitar las nociones lógicas considerando todas las posibles transformaciones biunívocas ( automorfismos ) de un dominio sobre sí mismo. Por dominio se entiende el universo de discurso de un modelo para la teoría semántica de la lógica. Si se identifica el valor de verdad Verdadero con el conjunto del dominio y el valor de verdad Falso con el conjunto vacío, entonces las siguientes operaciones se cuentan como lógicas según la propuesta:
En cierto modo, la presente propuesta es el reverso de la de Lindenbaum y Tarski (1936), quienes demostraron que todas las operaciones lógicas de los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Whitehead son invariantes ante transformaciones biunívocas del dominio sobre sí mismo. La presente propuesta también se emplea en Tarski y Givant (1987). [44]
Solomon Feferman y Vann McGee discutieron más a fondo la propuesta de Tarski [ ¿cuál? ] en un trabajo publicado después de su muerte. Feferman (1999) plantea problemas para la propuesta y sugiere una cura: reemplazar la preservación de Tarski por automorfismos con la preservación por homomorfismos arbitrarios . En esencia, esta sugerencia evita la dificultad que tiene la propuesta de Tarski al tratar con una igualdad de operaciones lógicas a través de dominios distintos de una cardinalidad dada y a través de dominios de cardinalidades distintas. La propuesta de Feferman resulta en una restricción radical de los términos lógicos en comparación con la propuesta original de Tarski. En particular, termina contando como lógicos solo aquellos operadores de lógica estándar de primer orden sin identidad. [ cita requerida ]
Vann McGee (1996) ofrece una explicación precisa de qué operaciones son lógicas en el sentido de la propuesta de Tarski en términos de expresividad en un lenguaje que extiende la lógica de primer orden al permitir conjunciones y disyunciones arbitrariamente largas y cuantificación sobre un número arbitrario de variables. "Arbitrariamente" incluye una infinitud contable. [45]
