En matemáticas , una variedad tridimensional es un espacio topológico que localmente parece un espacio euclidiano tridimensional . Se puede pensar en una variedad 3 como una posible forma del universo . Así como una esfera parece un plano (un plano tangente ) para un observador pequeño y lo suficientemente cercano, las 3 variedades se ven como nuestro universo para un observador lo suficientemente pequeño. Esto se hace más preciso en la definición siguiente.
Un espacio topológico es una variedad 3 si es un segundo espacio de Hausdorff contable y si cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio 3 euclidiano .
Las categorías topológica, lineal por partes y suave son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que se hace poca distinción entre si estamos tratando, digamos, con 3 variedades topológicas o con 3 variedades suaves.
Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que prevalecen técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores que tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de conexiones estrechas con una diversidad de otros campos, como la teoría de nudos , la teoría de grupos geométricos , la geometría hiperbólica , la teoría de números , la teoría de Teichmüller , la teoría cuántica topológica de campos , la teoría de calibre , la homología de Floer y la teoría diferencial parcial. ecuaciones . La teoría de 3 variedades se considera parte de la topología de baja dimensión o topología geométrica .
Una idea clave en la teoría es estudiar una variedad 3 considerando superficies especiales incrustadas en ella. Se puede elegir la superficie que se colocará bien en la variedad 3, lo que lleva a la idea de una superficie incompresible y a la teoría de las variedades de Haken , o se pueden elegir las piezas complementarias para que sean lo más bonitas posible, lo que lleva a estructuras como Escisiones de Heegaard , que son útiles incluso en el caso de no Haken.
Las contribuciones de Thurston a la teoría permiten considerar también, en muchos casos, la estructura adicional dada por una geometría particular del modelo de Thurston (de los cuales hay ocho). La geometría más frecuente es la geometría hiperbólica. Utilizar una geometría además de superficies especiales suele resultar fructífero.
Los grupos fundamentales de 3 variedades reflejan fuertemente la información geométrica y topológica que pertenece a una 3 variedades. Por tanto, existe una interacción entre la teoría de grupos y los métodos topológicos.
Las variedades 3 son un caso especial interesante de topología de baja dimensión porque sus invariantes topológicas brindan mucha información sobre su estructura en general. Si dejamos que sea una variedad 3 y sea su grupo fundamental, entonces se puede derivar mucha información de ellos. Por ejemplo, usando la dualidad de Poincaré y el teorema de Hurewicz , tenemos los siguientes grupos de homología :
donde los dos últimos grupos son isomorfos a la homología y cohomología de grupo de , respectivamente; eso es,
A partir de esta información se puede encontrar una clasificación teórica básica de homotopía de 3 variedades [1] . Nota desde la torre Postnikov hay un mapa canónico.
Si tomamos el avance de la clase fundamental obtenemos un elemento . Resulta que el grupo junto con la clase de homología de grupo da una descripción algebraica completa del tipo de homotopía de .
Una operación topológica importante es la suma conexa de dos variedades 3 . De hecho, a partir de teoremas generales en topología, encontramos que para una variedad triple con una descomposición de suma conectada, los invariantes anteriores se pueden calcular a partir de . En particular
Además, una variedad 3 que no puede describirse como una suma conectada de dos variedades 3 se llama prima .
Para el caso de una variedad 3 dada por una suma conectada de variedades 3 primas, resulta que hay una buena descripción del segundo grupo fundamental como un módulo. [2] Para el caso especial de que cada uno sea infinito pero no cíclico, si tomamos incrustaciones basadas en una 2 esferas
dónde
entonces el segundo grupo fundamental tiene la presentación
dando un cálculo sencillo de este grupo.
El 3-espacio euclidiano es el ejemplo más importante de una variedad 3, ya que todos los demás se definen en relación con él. Este es solo el espacio vectorial tridimensional estándar sobre los números reales.
Una 3 esferas es un análogo de una esfera de dimensiones superiores . Consiste en el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . Así como una esfera ordinaria (o 2 esferas) es una superficie bidimensional que forma el límite de una pelota en tres dimensiones, una 3 esferas es un objeto con tres dimensiones que forma el límite de una pelota en cuatro dimensiones. Se pueden construir muchos ejemplos de 3 variedades tomando cocientes de la 3 esfera por un grupo finito que actúa libremente a través de un mapa , entonces . [3]
El espacio 3 proyectivo real, o RP 3 , es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en R 4 . Es una variedad compacta y suave de dimensión 3 , y es un caso especial Gr (1, R 4 ) de un espacio Grassmanniano .
RP 3 es ( diffeomorfo a) SO(3) , por lo tanto admite una estructura de grupo; el mapa de cobertura S 3 → RP 3 es un mapa de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo de Lie que es la cobertura universal de SO(3).
El toro tridimensional es el producto de 3 círculos. Eso es:
El toro 3, T 3, se puede describir como un cociente de R 3 bajo desplazamientos integrales en cualquier coordenada. Es decir, el toro 3 es R 3 módulo de la acción de la red de números enteros Z 3 (tomando la acción como suma de vectores). De manera equivalente, el toroide tridimensional se obtiene del cubo tridimensional pegando las caras opuestas.
Un toro tridimensional en este sentido es un ejemplo de variedad compacta tridimensional . También es un ejemplo de grupo de Lie abeliano compacto . Esto se desprende del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios mediante multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define mediante la multiplicación por coordenadas.
El espacio hiperbólico es un espacio homogéneo que puede caracterizarse por una curvatura negativa constante . Es el modelo de la geometría hiperbólica . Se distingue de los espacios euclidianos con curvatura cero que definen la geometría euclidiana , y de los modelos de geometría elíptica (como el de 3 esferas ) que tienen una curvatura positiva constante. Cuando está incrustado en un espacio euclidiano (de una dimensión superior), cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla . Otra propiedad distintiva es la cantidad de espacio cubierto por la bola 3 en el espacio 3 hiperbólico: aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola, en lugar de polinomialmente.
La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología. Al ser una variedad esférica de 3 , es la única 3-esfera de homología (además de la 3-esfera misma) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Esto muestra que la conjetura de Poincaré no puede formularse únicamente en términos de homología.
En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo cósmico de microondas , observada durante un año por la nave espacial WMAP , llevó a la sugerencia, por parte de Jean-Pierre Luminet del Observatorio de París y sus colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré. [4] [5] En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones realizadas por la nave espacial WMAP. [6] Sin embargo, todavía no hay un fuerte apoyo a la exactitud del modelo.
En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una variedad 3 hiperbólica cerrada . También se le conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber y espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de 3 variedades hiperbólicas cerradas.
Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesta de manera que se produzca una variedad 3 cerrada. Hay tres formas de realizar este pegado de forma consistente. Las caras opuestas están desalineadas 1/10 de vuelta, por lo que para igualarlas se deben girar 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio de Seifert-Weber. La rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré , y la rotación de 5/10 da el espacio proyectivo real tridimensional .
Con el patrón de pegado de 3/10 vueltas, los bordes del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Por tanto, en el espacio de Seifert-Weber, cada arista está rodeada por cinco caras pentagonales y el ángulo diédrico entre estos pentágonos es de 72°. Esto no coincide con el ángulo diédrico de 117° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diédrico entre 60° y 117°, y el dodecaedro hiperbólico con un ángulo diédrico de 72° puede usarse para dar el espacio de Seifert-Weber es una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5 , una teselación regular de 3 espacios hiperbólicos por dodecaedros con este ángulo diédrico.
En matemáticas , la variedad de Gieseking es una variedad 3 hiperbólica en cúspide de volumen finito. No es orientable y tiene el volumen más pequeño entre las variedades hiperbólicas no compactas, con un volumen aproximado de 1,01494161. Fue descubierto por Hugo Gieseking (1912).
La variedad de Gieseking se puede construir quitando los vértices de un tetraedro y luego pegando las caras en pares usando mapas lineales afines. Etiqueta los vértices 0, 1, 2, 3. Pega la cara con los vértices 0,1,2 a la cara con los vértices 3,1,0 en ese orden. Pega la cara 0,2,3 a la cara 3,2,1 en ese orden. En la estructura hiperbólica de la variedad de Gieseking, este tetraedro ideal es la descomposición poliédrica canónica de David BA Epstein y Robert C. Penner. [7] Además, el ángulo que forman las caras es . La triangulación tiene un tetraedro, dos caras, una arista y ningún vértice, por lo que todas las aristas del tetraedro original están pegadas.
Un vínculo hiperbólico es un vínculo en las 3 esferas con complemento que tiene una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , es decir, tiene una geometría hiperbólica . Un nudo hiperbólico es un vínculo hiperbólico con un componente .
Los siguientes ejemplos son particularmente conocidos y estudiados.
Las clases no son necesariamente excluyentes entre sí.
La geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución de hiperplano en el paquete tangente y especificada por una forma única , las cuales satisfacen una condición de "máxima no degeneración" llamada "no integrabilidad completa". A partir del teorema de Frobenius , se reconoce la condición como lo opuesto a la condición de que la distribución esté determinada por una foliación de codimensión uno en la variedad ("integrabilidad completa").
La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensiones impares de la geometría simpléctica , que pertenece al mundo de dimensiones pares. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico o el espacio de fase extendido de dimensión impar que incluye la variable tiempo.
Una variedad de Haken es una variedad compacta de 3 P² irreducible que es lo suficientemente grande , lo que significa que contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente incrustada . A veces se consideran sólo variedades de Haken orientables, en cuyo caso una variedad de Haken es una variedad de 3 compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie orientable e incompresible.
Se dice que una variedad de 3 cubiertas finitamente por una variedad de Haken es prácticamente Haken . La conjetura de Virtualmente Haken afirma que cada variedad 3 compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken.
Los colectores Haken fueron introducidos por Wolfgang Haken. Haken demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía , donde se pueden dividir en 3 bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que había un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la variedad 3 tenía una. Jaco y Oertel dieron un algoritmo para determinar si una variedad 3 era Haken.
Una laminación esencial es una laminación en la que cada hoja es incompresible y sus extremos son incompresibles, si las regiones complementarias de la laminación son irreductibles y si no hay hojas esféricas.
Las laminaciones esenciales generalizan las superficies incompresibles que se encuentran en las variedades Haken.
Una división de Heegaard es una descomposición de un colector compacto orientado de 3 que resulta de dividirlo en dos cuerpos de mango .
Así se puede obtener cualquier colector triple cerrado y orientable ; esto se desprende de resultados profundos sobre la triangulabilidad de tres variedades debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con las variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales suaves o por partes. Suponiendo que haya suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se desprende del trabajo de Smale sobre descomposiciones de mangos de la teoría de Morse.
Una foliación tensa es una foliación de codimensión 1 de una variedad 3 con la propiedad de que hay un único círculo transversal que cruza cada hoja. Por círculo transversal se entiende un bucle cerrado que siempre es transversal al campo tangente de la foliación. De manera equivalente, según un resultado de Dennis Sullivan , una foliación de codimensión 1 es tensa si existe una métrica riemanniana que hace de cada hoja una superficie mínima .
Las foliaciones tensas cobraron importancia gracias al trabajo de William Thurston y David Gabai .
Algunos resultados se denominan conjeturas como resultado de artefactos históricos.
Empezamos por lo puramente topológico:
En topología geométrica , el teorema de Moise , demostrado por Edwin E. Moise en, establece que cualquier variedad topológica 3 tiene una estructura lineal por partes esencialmente única y una estructura suave .
Como corolario, todo colector compacto de 3 tiene una división de Heegaard .
El teorema de descomposición prima para 3 variedades establece que cada 3 variedades compactas y orientables es la suma conectada de una colección única ( hasta el homeomorfismo ) de 3 variedades primas .
Una variedad es prima si no puede presentarse como una suma conexa de más de una variedad, ninguna de las cuales es la esfera de la misma dimensión.
La finitud de Kneser-Haken dice que para cada 3 variedades compactas, hay una C constante tal que cualquier colección de superficies incrustadas incompresibles disjuntas de cardinalidad mayor que C debe contener elementos paralelos.
El teorema del bucle es una generalización del lema de Dehn y debería llamarse más propiamente "teorema del disco". Fue demostrado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de la esfera .
Una versión simple y útil del teorema del bucle establece que si hay un mapa
sin nullhomotopic in , entonces hay una incrustación con la misma propiedad.
El teorema de la esfera de Papakyriakopoulos (1957) da condiciones para que los elementos del segundo grupo de homotopía de una variedad 3 se representen mediante esferas incrustadas.
Un ejemplo es el siguiente:
Sea una variedad 3 orientable tal que no sea el grupo trivial. Entonces existe un elemento distinto de cero de tener un representante que es una incrustación .
El teorema del anillo establece que si un par de curvas cerradas simples disjuntas en el límite de una variedad de tres son libremente homotópicas, entonces colindan con un anillo adecuadamente incrustado. Esto no debe confundirse con el teorema de alta dimensión del mismo nombre.
El teorema del toro es el siguiente: Sea M una variedad 3 compacta e irreducible con límite no vacío. Si M admite un mapa esencial de un toro, entonces M admite una incrustación esencial de un toro o de un anillo [8]
La descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:
El acrónimo JSJ proviene de William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson. Los dos primeros trabajaron juntos y el tercero de forma independiente. [9] [10]
El teorema central de Scott es un teorema sobre la presentabilidad finita de grupos fundamentales de 3 variedades debido a G. Peter Scott . [11] La declaración precisa es la siguiente:
Dada una variedad de 3 (no necesariamente compacta ) con un grupo fundamental generado finitamente , existe una subvariedad tridimensional compacta , llamada núcleo compacto o núcleo de Scott , tal que su mapa de inclusión induce un isomorfismo en los grupos fundamentales. En particular, esto significa que un grupo de 3 variedades generado finitamente es finitamente presentable .
Se proporciona una prueba simplificada en [12] y se prueba una afirmación de unicidad más sólida en [13] .
El teorema de Lickorish-Wallace establece que cualquier triple colector cerrado , orientable y conectado se puede obtener realizando una cirugía de Dehn en un enlace enmarcado en las tres esferas con coeficientes de cirugía. Además, se puede suponer que cada componente del enlace no está anudado.
Los teoremas de Friedhelm Waldhausen sobre rigidez topológica dicen que ciertas variedades 3 (como aquellas con una superficie incompresible) son homeomórficas si existe un isomorfismo de grupos fundamentales que respeta el límite.
Waldhausen conjeturó que cada variedad 3 orientable cerrada tiene sólo un número finito de escisiones de Heegaard (hasta el homeomorfismo) de cualquier género determinado.
La conjetura de Smith (ahora probada) establece que si f es un difeomorfismo de las 3 esferas de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .
El teorema de la cirugía cíclica establece que, para una triple variedad compacta , conexa , orientable e irreducible M cuyo límite es un toro T , si M no es un espacio con fibras de Seifert y r,s son pendientes en T tales que sus rellenos de Dehn tienen grupo fundamental cíclico, entonces la distancia entre r y s (el número mínimo de veces que dos curvas cerradas simples en T que representan r y s deben cruzarse) es como máximo 1. En consecuencia, hay como máximo tres rellenos de Dehn de M con fundamental cíclico. grupo.
El teorema de la cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston establece: es hiperbólico siempre que se evite un conjunto finito de pendientes excepcionales para la i -ésima cúspide de cada i . Además, converge a M en H como todo para todos correspondiente a empastes de Dehn no vacíos .
Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las 3 variedades hiperbólicas. Muestra que existen límites no triviales en H . El estudio de la topología geométrica de Troels Jorgensen muestra además que todos los límites no triviales surgen del llenado de Dehn como en el teorema.
Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye bajo el llenado hiperbólico de Dehn. De hecho, el teorema establece que el volumen disminuye bajo el llenado topológico de Dehn, asumiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov .
Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función continua y propia . Así, según los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. De hecho, se puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3 variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal . Este resultado se conoce como teorema de Thurston-Jørgensen . Gromov realizó más trabajos para caracterizar este conjunto .
Además, Gabai, Meyerhoff y Milley demostraron que la variedad de Weeks tiene el volumen más pequeño de cualquier variedad de 3 hiperbólicas orientable cerrada.
Una forma del teorema de geometrización de Thurston establece: si M es una variedad de Haken atoroidal compacta irreducible cuyo límite tiene característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.
El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.
Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una variedad 3 atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se desprende de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.
El teorema de la mansedumbre establece que cada 3-variedad hiperbólica completa con un grupo fundamental generado finitamente es topológicamente mansa , en otras palabras, homeomorfa al interior de una 3-variedad compacta .
Marden conjeturó el teorema de la mansedumbre. Lo comprobaron Agol y, de forma independiente, Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las 3 variedades hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianos y el teorema de laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .
El teorema de laminación final , originalmente conjeturado por William Thurston y luego probado por Jeffrey Brock , Richard Canary y Yair Minsky, establece que las 3 variedades hiperbólicas con grupos fundamentales generados finitamente están determinadas por su topología junto con ciertos "invariantes finales", que son laminaciones geodésicas en algunas superficies en el límite del colector.
La 3-esfera es una variedad 3 especialmente importante debido a la conjetura de Poincaré ahora probada . Originalmente conjeturado por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente parece un espacio tridimensional ordinario pero que está conectado, es de tamaño finito y carece de límites (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede estrecharse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace algún tiempo en dimensiones superiores.
Después de casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba fue una continuación del programa de Richard S. Hamilton de utilizar el flujo de Ricci para atacar el problema. Perelman introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada. Varios equipos de matemáticos han verificado que la demostración de Perelman es correcta.
La conjetura de geometrización de Thurston establece que ciertos espacios topológicos tridimensionales tienen cada uno una estructura geométrica única que puede asociarse con ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conectada se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3 variedades cerradas se puede descomponer de forma canónica en piezas, cada una de las cuales tiene uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982) e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .
El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una prueba en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias pruebas completas.
Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de geometrización completa en 2003 utilizando el flujo de Ricci con cirugía . En la actualidad existen varios manuscritos diferentes (ver más abajo) con detalles de la prueba. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque existen pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.
La conjetura virtualmente fibrosa , formulada por el matemático estadounidense William Thurston , afirma que cada variedad triaural cerrada , irreducible y atoroidal con un grupo fundamental infinito tiene una cubierta finita que es un haz de superficie sobre el círculo .
La conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con grupo fundamental infinito es virtualmente Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con un mapa de cobertura finito a uno) que es una variedad de Haken .
En una publicación en ArXiv el 25 de agosto de 2009, [14] Daniel Wise implícitamente dio a entender (refiriéndose a un manuscrito más largo inédito) que había demostrado la conjetura de la fibra virtual para el caso en el que la variedad 3 es cerrada, hiperbólica y Haken. A esto le siguió un artículo de encuesta en Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. [15] Han seguido varias preimpresiones más [16] , incluido el manuscrito más extenso de Wise antes mencionado. [17] En marzo de 2012, durante una conferencia en el Instituto Henri Poincaré de París, Ian Agol anunció que podía probar la conjetura virtual de Haken para 3 variedades hiperbólicas cerradas. [18] La prueba se basó en los resultados de Kahn y Markovic [19] [20] en su prueba de la conjetura del subgrupo de superficie y los resultados de Wise al demostrar el teorema del cociente especial malnormal [17] y los resultados de Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. [14] En conjunto con los resultados de Wise, esto implica la conjetura virtualmente fibrada para todas las variedades 3 hiperbólicas cerradas.
Si es un mapa de superficies cerradas conectadas tal que no es inyectivo, entonces existe una curva cerrada simple no contráctil tal que es homotópicamente trivial. Esta conjetura fue probada por David Gabai .
La conjetura del subgrupo de superficie de Friedhelm Waldhausen establece que el grupo fundamental de cada 3 variedades cerradas e irreducibles con un grupo fundamental infinito tiene un subgrupo de superficie. Por "subgrupo de superficie" nos referimos al grupo fundamental de una superficie cerrada, no a las 2 esferas. Este problema figura como Problema 3.75 en la lista de problemas de Robion Kirby . [21]
Asumiendo la conjetura de geometrización , el único caso abierto fue el de 3 variedades hiperbólicas cerradas . Una prueba de este caso fue anunciada en el verano de 2009 por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic y descrita en una charla el 4 de agosto de 2009 en la Conferencia FRG (Focused Research Group) organizada por la Universidad de Utah. Una preimpresión apareció en arxiv en octubre de 2009. [22] Su artículo se publicó en Annals of Mathematics en 2012. [23] En junio de 2012, Kahn y Markovic recibieron los premios Clay Research Awards del Clay Mathematics Institute en una ceremonia en Oxford . [24]
La conjetura del cableado establece que si la cirugía de Dehn en un nudo en las 3 esferas produce una variedad reducible de 3, entonces ese nudo es un cable en algún otro nudo, y la cirugía debe haberse realizado utilizando la pendiente .
El grupo fundamental de cualquier n -colector hiperbólico de volumen finito no tiene la propiedad τ.
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}( M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z } )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2a86d64c5d4083e01d8c768c547633c5d75325)
![{\displaystyle {\begin{alineado}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb { Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f901b12f564cf0240320b7b66ecee13b940ba5d)
![{\ Displaystyle [M] \ en H_ {3} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86af14ee8f6efafc612c7b0ae25e17335e7ad1c2)
![{\displaystyle \zeta _ {M}=q_ {*}([M])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0351c40c0aae52a52fd85e5c5b7ef09ffc1e8c)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343e4f37a7355bdb8ba93cbbffbecf263af9d9ef)
![{\displaystyle \pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\ sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2b4c538afa0a9afb908152cf168c7033ebb86)
