Álgebra

Rama de las matemáticas

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia ciertos sistemas abstractos , conocidos como estructuras algebraicas , y la manipulación de enunciados dentro de esos sistemas. Es una generalización de la aritmética que introduce variables y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar, como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la principal forma de álgebra que se enseña en la escuela y examina enunciados matemáticos utilizando variables para valores no especificados. Busca determinar para qué valores son verdaderos los enunciados. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar variables. El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga ecuaciones lineales y combinaciones de ellas llamadas sistemas . Proporciona métodos para encontrar los valores que resuelven todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo y para estudiar el conjunto de estas soluciones.

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas, que consisten en un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones definidas sobre ese conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y las operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y cuerpos , en función del número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen . El álgebra universal y la teoría de categorías proporcionan marcos generales para investigar patrones abstractos que caracterizan diferentes clases de estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Los matemáticos posteriores examinaron técnicas generales para resolver ecuaciones independientemente de sus aplicaciones específicas. Describieron ecuaciones y sus soluciones utilizando palabras y abreviaturas hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo simbólico riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de una teoría de ecuaciones para cubrir diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas. El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

Definición y etimología

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas y las operaciones que utilizan. ^{[1] Una estructura algebraica es un} conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números enteros , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^{[2] [a]} El álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, examina el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^{[4] [b]}

El álgebra se entiende a menudo como una generalización de la aritmética . ^[8] La aritmética estudia operaciones como la suma, la resta , la multiplicación y la división , en un dominio particular de números, como los números reales. ^[9] El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se limita a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables además de números. ^[10] Un nivel más alto de abstracción se encuentra en el álgebra abstracta , que no se limita a un dominio particular y examina estructuras algebraicas como grupos y anillos . Se extiende más allá de las operaciones aritméticas típicas al cubrir también otros tipos de operaciones. ^[11] El álgebra universal es aún más abstracta en el sentido de que no está interesada en estructuras algebraicas específicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^[12]

La palabra álgebra proviene del título del libro Al-Jabr de Al-Khwarizmi . ^[13]

El término "álgebra" se utiliza a veces en un sentido más estricto para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^[14] Cuando se utiliza como sustantivo contable , un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que implica un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria . ^[15] Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^[16]

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ), que originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la osteopatía . En el siglo IX, el término recibió un significado matemático cuando el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo empleó para describir un método de resolución de ecuaciones y lo utilizó en el título de un tratado sobre álgebra, al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y balanceo ] que fue traducido al latín como Liber Algebrae et Almucabola . ^[c] La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI desde el italiano , el español y el latín medieval . ^[18] Inicialmente, su significado estaba restringido a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con vistas a resolverlas. Esto cambió en el siglo XIX ^[d] cuando el alcance del álgebra se amplió para cubrir el estudio de diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes , las leyes que siguen. ^[21]

Ramas principales

Álgebra elemental

Notación de expresiones algebraicas:
  1 – potencia (exponente)
  2 – coeficiente
  3 – término
  4 – operador
  5 – término constante – constante – variables
  ${\displaystyle c}$
  ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El álgebra elemental, también llamada álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^[22] es la forma más antigua y básica del álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en variables y examina cómo se pueden transformar los enunciados matemáticos. ^[23]

La aritmética es el estudio de las operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números mediante las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en . ^[9] ${\displaystyle 2+5=7}$

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones, pero permite el uso de variables además de los números regulares. Las variables son símbolos de cantidades no especificadas o desconocidas. Permiten enunciar relaciones para las que no se conocen los valores exactos y expresar leyes generales que son verdaderas, independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación pertenece a la aritmética y expresa una igualdad solo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como la propiedad conmutativa de la multiplicación , que se expresa en la ecuación . ^[23] ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

Las expresiones algebraicas se forman mediante operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por convención, las letras minúsculas , , y representan variables. En algunos casos, se agregan subíndices para distinguir las variables, como en , , y . Las letras minúsculas , , y se usan generalmente para constantes y coeficientes . ^[e] La expresión es una expresión algebraica creada al multiplicar el número 5 por la variable y agregar el número 3 al resultado. Otros ejemplos de expresiones algebraicas son y . ^[25] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 5x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 32xyz}$ ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$

Algunas expresiones algebraicas toman la forma de enunciados que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es un enunciado formado al comparar dos expresiones, diciendo que son iguales. Esto se puede expresar usando el signo igual ( ), como en . Las inecuaciones implican un tipo diferente de comparación, diciendo que los dos lados son diferentes. Esto se puede expresar usando símbolos como el signo menor que ( ), el signo mayor que ( ) y el signo de desigualdad ( ). A diferencia de otras expresiones, los enunciados pueden ser verdaderos o falsos y su valor de verdad generalmente depende de los valores de las variables. Por ejemplo, el enunciado es verdadero si es 2 o −2 y falso en caso contrario. ^[26] Las ecuaciones con variables se pueden dividir en ecuaciones de identidad y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores que se pueden asignar a las variables, como la ecuación . Las ecuaciones condicionales solo son verdaderas para algunos valores. Por ejemplo, la ecuación solo es verdadera si es 5. ^[27] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle x^{2}=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x+5x=7x}$ ${\displaystyle x+4=9}$ ${\displaystyle x}$

El objetivo principal del álgebra elemental es determinar los valores para los cuales una afirmación es verdadera. Esto se puede lograr transformando y manipulando afirmaciones de acuerdo con ciertas reglas. Un principio clave que guía este proceso es que cualquier operación que se aplique a un lado de una ecuación también debe realizarse al otro lado. Por ejemplo, si uno resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también necesita restar 5 del lado derecho para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos es generalmente aislar la variable que nos interesa en un lado, un proceso conocido como resolver la ecuación para esa variable. Por ejemplo, la ecuación se puede resolver sumando 7 a ambos lados, lo que aísla en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación . ^[28] ${\displaystyle x-7=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=11}$

Existen muchas otras técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada por una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión puede reemplazarse por la expresión ya que mediante la propiedad distributiva. ^[29] Para enunciados con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable por una expresión equivalente que no utiliza esta variable. Por ejemplo, si uno sabe que entonces puede simplificar la expresión para llegar a . De manera similar, si uno conoce el valor de una variable, puede usarlo para determinar el valor de otras variables. ^[30] ${\displaystyle 7x-3x}$ ${\displaystyle 4x}$ ${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$ ${\displaystyle y=3x}$ ${\displaystyle 7xy}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$

Las ecuaciones algebraicas se pueden utilizar para describir figuras geométricas. Todos los valores de y que resuelven la ecuación se interpretan como puntos. Se dibujan como una línea roja con pendiente ascendente en el gráfico anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Las ecuaciones algebraicas pueden interpretarse geométricamente para describir figuras espaciales en forma de gráfico . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se entienden como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de un gráfico. Por ejemplo, si se establece en cero en la ecuación , entonces debe ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el par es parte del gráfico de la ecuación. El par , por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no es parte del gráfico. El gráfico abarca la totalidad de pares que resuelven la ecuación. ^[31] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=0.5x-1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,7)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Polinomios

Un polinomio es una expresión que consta de uno o más términos que se suman o se restan entre sí, como . Cada término es una constante, una variable o un producto de una constante y variables. Cada variable puede elevarse a una potencia entera positiva. Un monomio es un polinomio con un término, mientras que los polinomios de dos y tres términos se denominan binomios y trinomios. El grado de un polinomio es el valor máximo (entre sus términos) de la suma de los exponentes de las variables (4 en el ejemplo anterior). ^[32] Los polinomios de grado uno se denominan polinomios lineales . El álgebra lineal estudia los sistemas de polinomios lineales. ^[33] Se dice que un polinomio es univariante o multivariante , dependiendo de si utiliza una o más variables. ^[34] ${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$

La factorización se utiliza para reescribir una expresión como un producto de varios factores. Esta técnica se utiliza comúnmente para determinar los valores de un polinomio que evalúan cero . Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar como . El polinomio en su conjunto es cero si y solo si uno de sus factores es cero, es decir, si es −2 o 5. ^[35] Antes del siglo XIX, gran parte del álgebra se dedicaba a las ecuaciones polinómicas , es decir, ecuaciones obtenidas al igualar un polinomio a cero. Los primeros intentos de resolver ecuaciones polinómicas fueron expresar las soluciones en términos de raíces n ésimas . La solución de una ecuación polinómica de segundo grado de la forma se da mediante la fórmula cuadrática ^[36] Las soluciones para los grados 3 y 4 se dan mediante las fórmulas cúbica y cuártica . No existen soluciones generales para grados superiores, como se demostró en el siglo XIX mediante el llamado teorema de Abel-Ruffini . ^[37] Incluso cuando no existen soluciones generales, se pueden encontrar soluciones aproximadas mediante herramientas numéricas como el método de Newton-Raphson . ^[38] ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$

El teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica univariante de grado positivo con coeficientes reales o complejos tiene al menos una solución compleja. En consecuencia, todo polinomio de grado positivo puede factorizarse en polinomios lineales. Este teorema fue demostrado a principios del siglo XIX, pero esto no resuelve el problema ya que el teorema no proporciona ninguna forma de calcular las soluciones. ^[39]

Álgebra lineal

El álgebra lineal emplea los métodos del álgebra elemental para estudiar sistemas de ecuaciones lineales . ^[40] Una ecuación es lineal si se puede expresar en la forma donde , , ..., y son constantes. Esto significa que ninguna variable se multiplica entre sí y ninguna variable se eleva a una potencia mayor que uno. Por ejemplo, las ecuaciones y son lineales mientras que las ecuaciones y son no lineales . Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales para las que uno está interesado en las soluciones comunes. ^[41] El álgebra lineal está interesada en manipular y transformar sistemas de ecuaciones para resolverlos, lo que implica determinar los valores para los cuales todas las ecuaciones son verdaderas al mismo tiempo. ^[42] ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ ${\displaystyle 0.25x-y=4}$ ${\displaystyle x^{2}=y}$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Los sistemas de ecuaciones lineales suelen expresarse mediante tablas de números conocidas como matrices y vectores ^[43] , que representan todo el sistema en una sola ecuación. Esto se puede hacer moviendo las variables al lado izquierdo de cada ecuación y moviendo los términos constantes al lado derecho. El sistema se expresa entonces formulando una matriz que contiene todos los coeficientes de las ecuaciones y multiplicándola por el vector columna formado por las variables. ^[44] Por ejemplo, el sistema de ecuaciones se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$

Dos cuestiones centrales en álgebra lineal son si un sistema de ecuaciones tiene alguna solución y, si es así, si tiene una solución única. Un sistema de ecuaciones no tiene soluciones si es inconsistente , lo que significa que dos o más ecuaciones se contradicen entre sí. Por ejemplo, las ecuaciones y se contradicen entre sí ya que no existen valores de y que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. Solo los sistemas consistentes de ecuaciones tienen soluciones. ^[45] Si un sistema consistente de ecuaciones tiene una solución única depende del número de variables y ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones independientes. Los sistemas indeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones independientes y tienen un número infinito de soluciones si son consistentes. ^[46] ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales varían desde los introductorios, como la sustitución ^[47] y la eliminación ^[48], hasta técnicas más avanzadas que utilizan algoritmos basados ​​en cálculos matriciales, como la regla de Cramer , la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición LU . ^[49]

Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden interpretar geométricamente como líneas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales se encuentra en el punto donde se intersecan las líneas.

Los sistemas de ecuaciones pueden interpretarse como figuras geométricas. Para sistemas con dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se cruzan las dos líneas es la solución del sistema completo porque este es el único punto que resuelve tanto la primera como la segunda ecuación. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas corren paralelas, lo que significa que no hay solución ya que nunca se cruzan. Si dos ecuaciones no son independientes, entonces describen la misma línea, lo que significa que cada solución de una ecuación es también una solución de la otra ecuación. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente trazando las ecuaciones y determinando dónde se cruzan. ^[50] Los mismos principios también se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional , y los puntos donde se cruzan todos los planos resuelven el sistema de ecuaciones. ^[51]

Otro enfoque define el álgebra lineal como el estudio de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita . Una aplicación lineal es una función que transforma vectores de un espacio vectorial a otro mientras conserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación escalar . ^[52] Desde esta perspectiva, una matriz es una representación de una aplicación lineal: si uno elige una base particular para describir los vectores que se están transformando, entonces las entradas en la matriz dan los resultados de aplicar la aplicación lineal a los vectores base. ^[53]

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^[54] estudia diferentes tipos de estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender las operaciones sobre objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal funcionan dentro de los confines de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara cómo las estructuras algebraicas se diferencian entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y cuerpos . ^[55] La diferencia clave entre estos tipos de estructuras algebraicas radica en la cantidad de operaciones que utilizan y las leyes que obedecen. ^[56] En educación matemática , el álgebra abstracta se refiere a un curso universitario avanzado que los estudiantes de matemáticas toman después de completar cursos de álgebra lineal. ^[57]

Muchas estructuras algebraicas se basan en operaciones binarias, que toman dos objetos como entrada y los combinan en un solo objeto como salida, como lo hacen la suma y la multiplicación.

En un nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^[f] de objetos matemáticos, llamado el conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^[g] El álgebra abstracta está principalmente interesada en operaciones binarias , ^[h] que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^[61] Por ejemplo, la estructura algebraica tiene los números naturales ( ) como el conjunto subyacente y la adición ( ) como su operación binaria. ^[59] El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de números y las operaciones no están restringidas a operaciones aritméticas regulares. ^[62] Por ejemplo, el conjunto subyacente del grupo de simetría de un objeto geométrico está formado por transformaciones geométricas , como rotaciones , bajo las cuales el objeto permanece inalterado . Su operación binaria es la composición de funciones , que toma dos transformaciones como entrada y tiene la transformación resultante de aplicar la primera transformación seguida de la segunda como su salida. ^[63] ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle +}$

Teoría de grupos

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y del número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento identidad y elementos inversos . Una operación es asociativa si no importa el orden de varias aplicaciones, es decir, si ^[i] es el mismo que para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutro si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si . Una operación tiene elementos inversos si para cualquier elemento existe un elemento recíproco que deshace . Si un elemento opera sobre su inverso entonces el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como . Toda estructura algebraica que cumple estos requisitos es un grupo. ^[65] Por ejemplo, es un grupo formado por el conjunto de los números enteros junto con la operación de adición. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número es . ^[66] Los números naturales con adición, por el contrario, no forman un grupo ya que contienen sólo números enteros positivos y, por tanto, carecen de elementos inversos. ^[67] ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$ ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

La teoría de grupos examina la naturaleza de los grupos, con teoremas básicos como el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos y el teorema de Feit-Thompson . ^[68] Este último fue un paso clave en uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX: el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10.000 páginas de revistas y se publicó principalmente entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación completa de grupos simples finitos . ^[69]

Teoría de anillos y teoría de campos

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación, que funcionan de manera similar a las operaciones aritméticas correspondientes . Es decir, un anillo es un grupo conmutativo bajo la adición, y la multiplicación es asociativa , distributiva con respecto a la adición y tiene un elemento identidad . La multiplicación no necesita ser conmutativa; si es conmutativa, uno tiene un anillo conmutativo . ^[70] El anillo de números enteros es uno de los anillos conmutativos más simples. Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La teoría de anillos es el estudio de los anillos y estructuras asociadas, tales como subanillos , anillos cociente , ideales , con especial énfasis en los anillos no conmutativos , ya que el estudio de los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa , la cual está fuertemente relacionada con la geometría algebraica : desde la prueba de David Hilbert del Nullstellensatz de Hilbert , los desarrollos de estas dos áreas de las matemáticas están fuertemente correlacionados y la mayoría de las pruebas en geometría algebraica se basan en resultados del álgebra conmutativa.

La teoría de campos es el estudio de los campos y sus extensiones de campo , los cierres algebraicos . Incluye una clasificación completa de los campos finitos , que se utiliza en muchas aplicaciones, por ejemplo en criptografía . ^[71] La teoría de Galois establece una relación profunda entre las extensiones de campo y la teoría de grupos ( teorema fundamental de la teoría de Galois ). ^[72]

Teorías de interrelaciones entre estructuras

Diagrama de relaciones entre algunas estructuras algebraicas. Por ejemplo, en su parte superior derecha se observa que un magma se convierte en semigrupo si su operación es asociativa.

Además de los grupos, anillos y cuerpos, existen muchas otras estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra. Entre ellas se incluyen los magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , redes , espacios vectoriales , álgebras sobre un cuerpo y álgebras asociativas y no asociativas . Se diferencian entre sí en lo que respecta a los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchas están relacionadas entre sí en el sentido de que una estructura básica se puede convertir en una estructura más avanzada añadiendo requisitos adicionales. ^[56] Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^[73]

Los homomorfismos son herramientas para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^[74] Un homomorfismo es una función del conjunto subyacente de una estructura algebraica al conjunto subyacente de otra estructura algebraica que conserva ciertas características estructurales. Si las dos estructuras algebraicas utilizan operaciones binarias y tienen la forma y entonces la función es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito: . La existencia de un homomorfismo revela que la operación en la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación en la primera estructura algebraica. ^[75] Los isomorfismos son un tipo especial de homomorfismo que indica un alto grado de similitud entre dos estructuras algebraicas. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo , lo que significa que establece una relación uno a uno entre los elementos de las dos estructuras algebraicas. Esto implica que cada elemento de la primera estructura algebraica se asigna a un elemento único en la segunda estructura sin ningún elemento no asignado en la segunda estructura. ^[76] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Las subálgebras restringen sus operaciones a un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica original.

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^[77] La ​​estructura algebraica y su subálgebra utilizan las mismas operaciones, ^[j] que siguen los mismos axiomas. La única diferencia es que el conjunto subyacente de la subálgebra es un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica. ^[k] Se requiere que todas las operaciones en la subálgebra sean cerradas en su conjunto subyacente, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a este conjunto. ^[77] Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares junto con la adición es una subálgebra del conjunto completo de números enteros junto con la adición. Este es el caso porque la suma de dos números pares es nuevamente un número par. Pero el conjunto de números enteros impares junto con la adición no es una subálgebra porque no es cerrado: sumar dos números impares produce un número par, que no es parte del subconjunto elegido. ^[78]

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Como parte de su perspectiva general, no se ocupa de los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y considera operaciones con más de dos entradas, como las operaciones ternarias . Proporciona un marco para investigar qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^{[80] [l]} Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que es idéntica a para todos los elementos. ^[82] Una variedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades. Por ejemplo, si dos estructuras algebraicas satisfacen la conmutatividad, entonces ambas son parte de la variedad correspondiente. ^{[83] [m] [n]} ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle b\circ a}$

La teoría de categorías examina cómo se relacionan entre sí los objetos matemáticos utilizando el concepto de categorías . Una categoría es una colección de objetos junto con una colección de los llamados morfismos o "flechas" entre esos objetos. Estas dos colecciones deben satisfacer ciertas condiciones. Por ejemplo, los morfismos pueden unirse o componerse : si existe un morfismo de objeto a objeto y otro morfismo de objeto a objeto , entonces también debe existir uno de objeto a objeto . Se requiere que la composición de morfismos sea asociativa y debe haber un "morfismo identidad" para cada objeto. ^[87] Las categorías se utilizan ampliamente en las matemáticas contemporáneas ya que proporcionan un marco unificador para describir y analizar muchos conceptos matemáticos fundamentales. Por ejemplo, los conjuntos pueden describirse con la categoría de conjuntos , y cualquier grupo puede considerarse como los morfismos de una categoría con un solo objeto. ^[88] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

Historia

El Papiro Matemático Rhind del antiguo Egipto , que data aproximadamente del año  1650 a. C. , es uno de los primeros documentos que tratan problemas algebraicos.

El origen del álgebra se encuentra en los intentos de resolver problemas matemáticos que involucraban cálculos aritméticos y cantidades desconocidas. Estos desarrollos ocurrieron en el período antiguo en Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los primeros documentos sobre problemas algebraicos es el Papiro Matemático Rhind del antiguo Egipto, que fue escrito alrededor de 1650 a. C. ^[o] Analiza soluciones a ecuaciones lineales , tal como se expresa en problemas como "Una cantidad; se le suma su cuarto. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?" Las tablillas de arcilla babilónicas de la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método de completar el cuadrado . ^[90]

Muchos de estos conocimientos llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero emplearon métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaban figuras geométricas mientras tomaban sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas a determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de dos cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^[91] En el siglo III d. C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamados Arithmetica . Fue el primero en experimentar con la notación simbólica para expresar polinomios. ^[92] En la antigua China, Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un libro compuesto durante el período que abarca desde el siglo X a. C. hasta el siglo II d. C., ^[93] exploró varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones similares a matrices. ^[94]

No hay unanimidad en cuanto a si estos primeros desarrollos son parte del álgebra o solo precursores. Ofrecieron soluciones a problemas algebraicos pero no los concibieron de una manera abstracta y general, centrándose en cambio en casos y aplicaciones específicas. ^[95] Esto cambió con el matemático persa al-Khwarizmi , ^[p] quien publicó su The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing en 825 CE. Presenta el primer tratamiento detallado de los métodos generales que se pueden utilizar para manipular ecuaciones lineales y cuadráticas mediante "reducción" y "equilibrio" ambos lados. ^[97] Otras contribuciones influyentes al álgebra vinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra también en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^[98]

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d. C. Entre sus innovaciones se encontraba el uso del cero y de números negativos en ecuaciones algebraicas. ^[99] Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII perfeccionaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^[100] En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos polinomios de grados superiores. ^[101]

François Viète (izquierda) y René Descartes inventaron una notación simbólica para expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa.

El matemático italiano Fibonacci trajo las ideas y técnicas de al-Juarizmi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^[102] En 1545, el polímata italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que cubría muchos temas de álgebra, discutía números imaginarios y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^[103] En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, haciendo posible expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^[104] Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^[105]

Garrett Birkhoff desarrolló muchos de los conceptos fundamentales del álgebra universal.

En los siglos XVII y XVIII se hicieron muchos intentos de encontrar soluciones generales a polinomios de grado cinco y superiores. Todos ellos fracasaron. ^[37] A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^[19] A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superiores. ^[37] En respuesta a sus hallazgos y poco después, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como teoría de Galois , que ofrecía un análisis más profundo de las soluciones de los polinomios al tiempo que sentaba las bases de la teoría de grupos . ^[20] Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^[106]

A partir de mediados del siglo XIX, el interés en el álgebra pasó del estudio de polinomios asociados con el álgebra elemental hacia una investigación más general sobre las estructuras algebraicas, lo que marcó el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de operaciones algebraicas arbitrarias. ^[107] La ​​invención de nuevos sistemas algebraicos basados ​​en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra de Boole , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^[108] Los primeros desarrollos influyentes en el álgebra abstracta fueron realizados por los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz y Emmy Noether , así como por el matemático austríaco Emil Artin . Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las categorizaron en función de sus axiomas subyacentes en tipos, como grupos, anillos y cuerpos. ^[109]

La idea del enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898 Tratado sobre álgebra universal . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^[110] La invención del álgebra universal condujo al surgimiento de varias áreas nuevas centradas en la algebrización de las matemáticas, es decir, la aplicación de métodos algebraicos a otras ramas de las matemáticas. El álgebra topológica surgió a principios del siglo XX, estudiando estructuras algebraicas como los grupos topológicos y los grupos de Lie . ^[111] En las décadas de 1940 y 1950, surgió el álgebra homológica , que empleaba técnicas algebraicas para estudiar la homología . ^[112] Casi al mismo tiempo, se desarrolló la teoría de categorías y desde entonces ha desempeñado un papel clave en los fundamentos de las matemáticas . ^[113] Otros desarrollos fueron la formulación de la teoría de modelos y el estudio de las álgebras libres . ^[114]

Aplicaciones

La influencia del álgebra es de amplio alcance, tanto dentro de las matemáticas como en sus aplicaciones a otros campos. ^[115] La algebrización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas , como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . Se produce mediante el empleo de símbolos en forma de variables para expresar conocimientos matemáticos a un nivel más general, lo que permite a los matemáticos desarrollar modelos formales que describen cómo los objetos interactúan y se relacionan entre sí. ^[116]

La ecuación algebraica describe una esfera en el origen con un radio de 1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Una aplicación, encontrada en geometría, es el uso de enunciados algebraicos para describir figuras geométricas. Por ejemplo, la ecuación describe una línea en el espacio bidimensional mientras que la ecuación corresponde a una esfera en el espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^[q] que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^[118] El razonamiento algebraico también puede resolver problemas geométricos. Por ejemplo, uno puede determinar si y dónde la línea descrita por se interseca con el círculo descrito por resolviendo el sistema de ecuaciones compuesto por estas dos ecuaciones. ^[119] La topología estudia las propiedades de las figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar los espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican los espacios topológicos basándose en la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^[120] ${\displaystyle y=3x-7}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=25}$

La teoría de números se ocupa de las propiedades y relaciones entre números enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos y principios algebraicos a este campo de investigación. Algunos ejemplos son el uso de expresiones algebraicas para describir leyes generales, como el último teorema de Fermat , y de estructuras algebraicas para analizar el comportamiento de los números, como el anillo de números enteros . ^[121] El campo relacionado de la combinatoria utiliza técnicas algebraicas para resolver problemas relacionados con el conteo, la disposición y la combinación de objetos discretos. Un ejemplo de la combinatoria algebraica es la aplicación de la teoría de grupos para analizar gráficos y simetrías. ^[122] Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra, por ejemplo, para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel juegan las variables en ellas. ^[123] La lógica algebraica emplea los métodos del álgebra para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico , ^[124] explorando tanto las estructuras matemáticas relevantes como su aplicación a problemas concretos de lógica. ^[125] Incluye el estudio del álgebra de Boole para describir la lógica proposicional ^[126] así como la formulación y análisis de estructuras algebraicas correspondientes a sistemas más complejos de lógica . ^[127]

Las caras de un cubo de Rubik se pueden rotar para cambiar la disposición de los parches de color. Las permutaciones resultantes forman un grupo llamado el grupo del cubo de Rubik . ^[128]

Los métodos algebraicos también se emplean comúnmente en otras áreas, como las ciencias naturales. Por ejemplo, se utilizan para expresar leyes científicas y resolver ecuaciones en física , química y biología . ^[129] Se encuentran aplicaciones similares en campos como la economía , la geografía , la ingeniería (incluida la electrónica y la robótica ) y la informática para expresar relaciones, resolver problemas y modelar sistemas. ^[130] El álgebra lineal juega un papel central en la inteligencia artificial y el aprendizaje automático , por ejemplo, al permitir el procesamiento y análisis eficiente de grandes conjuntos de datos . ^[131] Varios campos se basan en estructuras algebraicas investigadas por el álgebra abstracta. Por ejemplo, las ciencias físicas como la cristalografía y la mecánica cuántica hacen un uso extensivo de la teoría de grupos, ^[132] que también se emplea para estudiar rompecabezas como el Sudoku y los cubos de Rubik , ^[133] y el origami . ^[134] Tanto la teoría de codificación como la criptología se basan en el álgebra abstracta para resolver problemas asociados con la transmisión de datos , como evitar los efectos del ruido y garantizar la seguridad de los datos . ^[135]

Educación

Las balanzas se utilizan en la enseñanza del álgebra para ayudar a los estudiantes a comprender cómo se pueden transformar las ecuaciones para determinar valores desconocidos. ^[136]

La enseñanza del álgebra se centra principalmente en el álgebra elemental, que es una de las razones por las que el álgebra elemental también se denomina álgebra escolar. Por lo general, no se introduce hasta la educación secundaria , ya que requiere el dominio de los fundamentos de la aritmética al tiempo que plantea nuevos desafíos cognitivos asociados con el razonamiento abstracto y la generalización. ^[137] Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el lado formal de las matemáticas ayudándolos a comprender el simbolismo matemático, por ejemplo, cómo se pueden utilizar las variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en el hecho de que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas a menudo son difíciles de resolver directamente. En cambio, los estudiantes necesitan aprender a transformarlas de acuerdo con ciertas leyes, a menudo con el objetivo de determinar una cantidad desconocida. ^[138]

Algunas herramientas para introducir a los estudiantes al lado abstracto del álgebra se basan en modelos concretos y visualizaciones de ecuaciones, incluyendo analogías geométricas, manipuladores que incluyen palos o tazas, y "máquinas de funciones" que representan ecuaciones como diagramas de flujo . Un método utiliza balanzas como un enfoque pictórico para ayudar a los estudiantes a comprender problemas básicos de álgebra. La masa de algunos objetos en la balanza es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a agregar y quitar objetos en ambos lados de tal manera que los lados permanezcan en equilibrio hasta que el único objeto que quede en un lado sea el objeto de masa desconocida. ^[139] Los problemas de palabras son otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes una situación en la que el hermano de Naomi tiene el doble de manzanas que Naomi. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se les pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación ( ) y que determinen cuántas manzanas tiene Naomi ( ). ^[140] ${\displaystyle 2x+x=12}$ ${\displaystyle x=4}$

En el nivel universitario, los estudiantes de matemáticas se enfrentan a temas avanzados de álgebra lineal y abstracta. Los cursos iniciales de álgebra lineal se centran en matrices, espacios vectoriales y mapas lineales. Al finalizarlos, los estudiantes suelen conocer el álgebra abstracta, donde aprenden sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos, así como las relaciones entre ellos. El plan de estudios normalmente también cubre casos específicos de estructuras algebraicas, como los sistemas de números racionales, números reales y polinomios. ^[141]

Véase también

• Álgebra sobre un conjunto
• Azulejo de álgebra
• Combinatoria algebraica
• Teorema de Bézout
• Álgebra C*
• Álgebra de Clifford
• Álgebra conmutativa
• Álgebra de composición
• Álgebra computacional
• Polinomio ciclotómico
• Ecuación diofántica
• Transformada de Fourier discreta
• Grupo discreto
• Espacio dual
• Valores propios y vectores propios
• Clase de equivalencia
• Relación de equivalencia
• Álgebra exterior
• Álgebra F
• F-coálgebra
• Campo finito
• Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados
• Eliminación gaussiana
• Álgebra geométrica
• Base de Gröbner
• Álgebra de Heyting
• Espacio de Hilbert
• El cálculo de ceros de Hilbert
• Teorema de sicigia de Hilbert
• Álgebra de Hopf
• Enrejado (grupo)
• Grupo de mentiras
• Forma lineal
• Subespacio lineal
• Descomposición matricial
• Mapa multilineal
• Álgebra no asociativa
• Esquema del álgebra
• Cuaternio
• Función racional
• Álgebra relacional
• Teoría de la representación
• Raíz de la unidad
• Teoría de esquemas
• Álgebra sigma
• Descomposición en valores singulares
• Teoría espectral
• Álgebra simétrica
• Álgebra T
• Tensor
• Álgebra tensorial
• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

Referencias

Notas

1. Entendida en el sentido más amplio, una operación algebraica es una función de una potencia cartesiana de un conjunto en ese conjunto , expresada formalmente como . La suma de números reales es un ejemplo de una operación algebraica: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma . ^[3] ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$
2. El álgebra está cubierta por la división 512 en la Clasificación Decimal Dewey ^[5] y la subclase QA 150-272.5 en la Clasificación de la Biblioteca del Congreso . ^[6] Abarca varias áreas en la Clasificación de Matemáticas . ^[7]
3. El significado exacto del término al-jabr en la obra de al-Khwarizmi es objeto de controversia. En algunos pasajes, expresa que una cantidad disminuida por sustracción se restaura a su valor original, de manera similar a cómo un huesero restaura los huesos rotos alineándolos correctamente. ^[17]
4. Estos cambios fueron provocados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la prueba del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios ^[19] y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales . ^[20]
5. Las constantes representan números fijos que no cambian durante el estudio de un problema específico. ^[24]
6. Un conjunto es una colección desordenada de elementos distintos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos. ^[58]
7. Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación. ^[59]
8. Algunas de las estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra abstracta incluyen operaciones unarias además de operaciones binarias. Por ejemplo, los espacios vectoriales normados tienen una norma , que es una operación unaria que se utiliza a menudo para asociar un vector con su longitud. ^[60]
9. Los símbolos y se utilizan en este artículo para representar cualquier operación que pueda o no parecerse a operaciones aritméticas. ^[64] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$
10. Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones. ^[78]
11. Esto significa que todos los elementos del primer conjunto son también elementos del segundo conjunto, pero el segundo conjunto puede contener elementos que no se encuentran en el primer conjunto. ^[79]
12. Un enfoque ligeramente diferente entiende el álgebra universal como el estudio de un tipo de estructuras algebraicas conocidas como álgebras universales. Las álgebras universales se definen de manera general para incluir la mayoría de las demás estructuras algebraicas. Por ejemplo, los grupos y los anillos son tipos especiales de álgebras universales. ^[81]
13. No todo tipo de estructura algebraica forma una variedad. Por ejemplo, tanto los grupos como los anillos forman variedades, pero los cuerpos no. ^[84]
14. Además de las identidades, el álgebra universal también se interesa por las características estructurales asociadas con las cuasi-identidades . Una cuasi-identidad es una identidad que solo necesita estar presente bajo ciertas condiciones (que toman la forma de una cláusula de Horn ^[85] ). Es una generalización de la identidad en el sentido de que cada identidad es una cuasi-identidad pero no cada cuasi-identidad es una identidad. Una cuasivariedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas cuasi-identidades. ^[86]
15. La fecha exacta es discutida y algunos historiadores sugieren una fecha posterior, alrededor de 1550 a. C. ^[89]
16. Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra", mientras que otros reservan este título para Diofanto. ^[96]
17. Las variedades algebraicas estudiadas en geometría difieren de las variedades más generales estudiadas en el álgebra universal. ^[117]

Citas

1. • Merzlyakov & Shirshov 2020, sección principal
   • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
2. • Fiche y Hebuterne 2013, pág. 326
   • Merzlyakov y Shirshov 2020, § El objeto de estudio del álgebra, sus principales ramas y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
   • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
3. Baranovich 2023, Sección principal
4. • Pratt 2022, Sección principal, § 1. Álgebra elemental, § 2. Álgebra abstracta, § 3. Álgebra universal
   • Merzlyakov y Shirshov 2020, § El objeto de estudio del álgebra, sus principales ramas y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
5. Higham 2019, pág. 296
6. Biblioteca del Congreso, pág. 3
7. ZbMATH Abierto 2024
8. • Maddocks 2008, pág. 129
   • Burgin 2022, pág. 45
9. • Romanowski 2008, págs. 302-303
   • Personal de HC 2022
   • Personal de MW 2023
   • Bukhshtab y Pechaev 2020
10. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Pratt 2022, Sección principal, § 1. Álgebra elemental
    • Wagner y Kieran 2018, pág. 225
11. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Wagner y Kieran 2018, pág. 225
12. • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Grillet 2007, pág. 559
    • Denecke & Wismath 2018, pág.
    • Cohn 2012, pág. xiii
13. • Cresswell 2010, pág. 11
    • Personal de la OUP
    • Menini y Oystaeyen 2017, pág. 722
14. • Weisstein 2003, pág. 46
    • Vals 2016, Álgebra
15. • Weisstein 2003, pág. 46
    • Brešar 2014, pág. xxxiii
    • Golán 1995, págs. 219–227
16. Personal de EoM 2017
17. • Oaks y Alkhateeb 2007, págs. 45-46, 58
    • Gandz 1926, pág. 437
18. • Cresswell 2010, pág. 11
    • Personal de la OUP
    • Menini y Oystaeyen 2017, pág. 722
    • Hoad 1993, pág. 10
19. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, pág. 308
    • Corry 2024, § El teorema fundamental del álgebra
20. • Kvasz 2006, págs. 314–345
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Teoría de Galois, § Aplicaciones de la teoría de grupos
21. • Tanton 2005, pág. 10
    • Corry 2024, § Álgebra estructural
    • Hazewinkel 1994, págs. 73-74
22. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, pág. 2
    • Benson 2003, págs. 111-112
23. • Maddocks 2008, pág. 129
    • Berggren 2015, sección líder
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § 1. Reseña histórica
24. Sobolev 2015
25. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Young 2010, pág. 999
    • Majewski 2004, pág. 347
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Sorell 2000, pág. 19
26. • Maddocks 2008, págs. 129-130
    • Tsokos y Wooten 2015, pág. 451
    • Mishra 2016, pág. 1.2
27. • Musser, Peterson y Burger 2013, pág. 16
    • Goodman 2001, pág. 5
    • Williams 2022
28. • Maddocks 2008, pág. 130
    • McKeague 1986, págs. 51–54
    • Pratt 2022, § 1. Álgebra elemental
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § 1. Reseña histórica
29. • Tan, Steeb y Hardy 2012, pág. 306
    • Lamagna 2019, pág. 150
30. • Berggren 2015, § Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas
    • McKeague 2014, pág. 386
    • McKeague 1986, pág. 148
31. • Maddocks 2008, págs. 130-131
    • Rohde y otros, 2012, pág. 89
    • Vals 2016, Álgebra
32. • Bracken y Miller 2014, pág. 386–387
    • Kaufmann y Schwitters 2011, pág. 220
    • Markushevich 2015
33. • Sahai y Bist 2002, pág. 21
    • Maddocks 2008, pág. 131
    • Barrera-Mora 2023, págs. ix, 1-2
34. Geddes, Czapor y Labahn 2007, pág. 46
35. • Lucas 2022, págs. 47–49
    • Berggren 2015, § Expresiones algebraicas, § Solución de ecuaciones algebraicas
36. • Berggren 2015, § Resolución de ecuaciones algebraicas
    • Corry 2024, § Álgebra clásica
37. • Tanton 2005, pág. 10
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Corry 2024, § Impasse con métodos radicales
38. Igarashi y col. 2014, pág. 103
39. • Berggren 2015, § Resolución de ecuaciones algebraicas
    • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, pág. 308
    • Corry 2024, § El teorema fundamental del álgebra
40. • Maddocks 2008, pág. 131
    • Barrera-Mora 2023, págs. ix, 1–2,
41. • Antón y Rorres 2013, págs. 2-3
    • Maddocks 2008, pág. 131
    • Voitsekhovski 2011
42. • Maddocks 2008, pág. 131
    • Andrilli y Hecker 2022, págs. 57–58
43. • Saikia 2008, pág. 1
    • Lal 2017, pág. 31
    • Mirakhor y Krichene 2014, pág. 107
44. • Barrera-Mora 2023, págs. ix, 1, 12-13
    • Young 2010, págs. 726–727
    • Antón y Rorres 2013, págs. 32-34
45. • Antón y Rorres 2013, págs. 3–7
    • Mortensen 2013, págs. 73–74
    • Young 2023, págs. 714–715
46. • Maddocks 2008, pág. 131
    • Harrison y Waldron 2011, pág. 464
    • Anton 2013, pág. 255
47. • Young 2010, págs. 697–698
    • Maddocks 2008, pág. 131
    • Sullivan 2010, págs. 53-54
48. • Antón y Rorres 2013, págs. 7–8
    • Sullivan 2010, págs. 55-56
    • Atanasiu y Mikusinski 2019, pág. 75
49. • Maddocks 2008, pág. 131
    • Antón y Rorres 2013, págs. 7–8, 11, 491
50. • Antón y Rorres 2013, págs. 3-5
    • Young 2010, págs. 696-697
    • Sneyd, Fewster y McGillivray 2022, pág. 211
51. • Antón y Rorres 2013, págs. 3-5
    • Young 2010, pág. 713
    • Sneyd, Fewster y McGillivray 2022, pág. 211
52. • Valenza 2012, pág. vii
    • Chahal 2018, § 1.1 ¿Qué es el álgebra lineal?
    • Solomon 2014, págs. 57–58, 61–62
    • Ricardo 2009, pág. 389
53. • Salomón 2014, pág. 57
    • Ricardo 2009, págs. 395–396
54. • Gilbert y Nicholson 2004, pág. 1
    • Dominich 2008, pág. 19
55. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Gilbert y Nicholson 2004, págs. 1–3
    • Dominich 2008, pág. 19
56. • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, El objeto de estudio del álgebra, sus principales ramas y su conexión con otras ramas de las matemáticas.
    • Bourbaki 1998, págs. 428–430, 446
57. Hausberger 2020, Enseñanza y aprendizaje del álgebra abstracta
58. • Tanton 2005, pág. 460
    • Murthy 2012, pág. 1.3
59. Ovchinnikov 2015, pág. 27
60. Grillet 2007, pág. 247
61. • Whitelaw 1995, pág. 61
    • Nicholson 2012, pág. 70
    • Fiche y Hebuterne 2013, pág. 326
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
62. • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
63. • Olver 1999, págs. 55-56
    • Abas y Salman 1994, págs. 58-59
    • Häberle 2009, pág. 640
64. Gilbert y Nicholson 2004, pág. 4
65. • Kargapolov y Merzlyakov 2016, § Definición
    • Khattar y Agrawal 2023, págs. 4-6
    • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Pratt 2022, Sección principal, § 2. Álgebra abstracta
    • Neri 2019, pág. 258
66. • Khattar y Agrawal 2023, págs. 6-7
    • Maddocks 2008, págs. 131-132
    • Adhikari y Adhikari 2013, pág. 72
67. • McWeeny 2002, pág. 6
    • Kramer y Pippich 2017, pág. 49
68. • Tanton 2005, pág. 242
    • Bhattacharya, Jain y Nagpaul 1994, pág. 141
    • Weisstein 2003, pág. 1020
69. • Elwes 2006
    • Wilson 2009, pág. 2
70. Lang 2005.
71. • Waerden, Artin y Noether 2003, págs. 110–114, 231, 246
    • Karpilovsky 1989, pág. 45
    • Kleiner 2007, pág. 63
72. • Lang 2005, págs. 261–262
    • Cox 2012, págs. 161-162
73. Cooper 2011, pág. 60
74. • Rowen 2006, pág. 12
    • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Grätzer 2008, pág. 34
75. • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Rowen 2006, pág. 12
    • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, págs. 27-28
    • Adhikari 2016, págs. 5-6
76. • Neri 2019, págs. 278-279
    • Ivanova y Smirnov 2012
    • Deo 2018, pág. 295
    • Ono 2019, pág. 84
77. • Indurkhya 2013, págs. 217-218
    • Pratt 2022, § 3.3 Teorema de Birkhoff
    • Grätzer 2008, pág. 34
78. Indurkhya 2013, págs. 217-218
79. Efimov 2014
80. • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Cohn 2012, pág. xiii
81. • Smirnov 2020
    • Grätzer 2008, págs. 7-8
    • Bahturin 2013, pág. 346
82. • Pratt 2022, § 3.2 Lógica ecuacional
    • Mal'cev 1973, págs. 210-211
83. • Mal'cev 1973, págs. 210-211
    • Cohn 2012, pág. 162
    • Rosen 2012, pág. 779
    • Hazewinkel 1994, pág. 406
84. Cohn 1995, pág. 8
85. Mal'cev 1973, pág. 211
86. • Mal'cev 1973, págs. 210-211
    • Pratt 2022, § 3. Álgebra universal
    • Artamónov 2003, pág. 873
87. • Weisstein 2003, págs. 347–348
    • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, págs. 6, 165
    • Cheng 2023, pág. 102
88. • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, págs. 6, 165
    • Borceux 1994, pág. 20
    • Laos 1998, pág. 100
    • Cheng 2023, págs. 128–131
89. • Corry 2024, § Resolución de problemas en Egipto y Babilonia
    • Brezinski, Meurant y Redivo-Zaglia 2022, pág. 34
90. • Tanton 2005, pág. 9
    • Kvasz 2006, pág. 290
    • Corry 2024, § Resolución de problemas en Egipto y Babilonia
91. • Tanton 2005, pág. 9
    • Kvasz 2006, pág. 290
    • Corry 2024, § Los pitagóricos y Euclides
92. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
    • Sialaros 2018, pág. 55
    • Corry 2024, § Diofanto
93. Burgin 2022, pág. 10
94. Higgins 2015, pág. 89
95. • Kvasz 2006, págs. 290-291
    • Sialaros 2018, pág. 55
    • Boyer & Merzbach 2011, pág. 161
    • Derbyshire 2006, pág. 31
96. • Boyer & Merzbach 2011, pág. 161
    • Derbyshire 2006, pág. 31
97. • Tanton 2005, pág. 10
    • Kvasz 2006, págs. 291–293
    • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
98. • Waerden 2013, págs. 3, 15–16, 24–25
    • Jenkins 2010, pág. 82
    • Pickover 2009, pág. 90
99. • Tanton 2005, págs. 9-10
    • Corry 2024, § La ecuación en India y China
100. • Seshadri 2010, pág. 156
     • Emch, Sridharan y Srinivas 2005, pág. 20
101. • Smorynski 2007, pág. 137
     • Zwillinger 2002, pág. 812
102. • Waerden 2013, págs. 32–35
     • Tanton 2005, pág. 10
     • Kvasz 2006, pág. 293
103. • Tanton 2005, pág. 10
     • Kvasz 2006, pág. 293
     • Corry 2024, § Cardano y la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas
     • Miyake 2002, pág. 268
104. • Tanton 2005, pág. 10
     • Kvasz 2006, págs. 291–292, 297–298, 302
     • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
     • Corry 2024, § Viète y la ecuación formal, § Geometría analítica
105. • Hazewinkel 1994, pág. 73
     • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
106. • Corry 2024, § Aplicaciones de la teoría de grupos
     • Bueno & French 2018, págs. 73–75
107. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
     • Tanton 2005, pág. 10
     • Corry 2024, § Álgebra estructural
     • Hazewinkel 1994, págs. 73-74
108. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
     • Tanton 2005, pág. 10
     • Corry 2024, § Matrices, § Cuaterniones y vectores
109. • Merzlyakov y Shirshov 2020, § Estudio histórico
     • Corry 2024, § Hilbert y Steinitz, § Noether y Artin
     • Hazewinkel 1994, págs. 73-74
110. • Grätzer 2008, pág. vii
     • Chang y Keisler 1990, pág. 603
     • Knoebel 2011, pág. 5
     • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
111. • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
     • Kleiner 2007, pág. 100
     • Carlson 2024, § Historia de la topología
112. • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
     • Weibel 1995, pág. xi, 4
113. • Krömer 2007, pág. 61
     • Laos 1998, pág. 100
114. • Hazewinkel 1994, págs. 74-75
     • Pratt 2022, § 6. Álgebras libres
115. • Houston 2004, pág. 319
     • Neri 2019, pág. xii
     • Lidl y Pilz 1997, págs. vii-viii
116. • Kleiner 2007, pág. 100
     • Pratt 2022, § 5. Algebrización de las matemáticas
     • Maddocks 2008, pág. 130
     • Pratt 2022, § 5. Algebrización de las matemáticas
     • Mancosu 1999, págs. 84-85
117. • Pratt 2022, § 1.4 Geometría cartesiana, § 3. Álgebra universal
     • Danilov 2006, pág. 174
118. • Pratt 2022, § 5.1 Geometría algebraica
     • Danilov 2006, págs. 172, 174
119. Vince 2007, pág. 133
120. • Pratt 2022, § 5.3 Topología algebraica
     • Rabadan y Blumberg 2019, págs. 49-50
     • Nakahara 2018, pág. 121
     • Weisstein 2003, págs. 52-53
121. • Pratt 2022, § 5.2 Teoría algebraica de números
     • Jarvis 2014, pág. 1
     • Viterbo y Hong 2011, pág. 127
122. • Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, págs. 550, 561
     • Godsil 2017, pág. viii
     • Betten et al. 2013, pág. ix
123. • Kilty y McAllister 2018, págs. x, 347, 589
     • Bressoud 2021, pág. 64
124. • Halmos 1956, pág. 363
     • Burris & Legris 2021, § 1. Introducción
125. Andréka, Németi y Sain 2001, págs. 133-134
126. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Lógica algebraica concreta
     • Pratt 2022, § 5.4 Lógica algebraica
     • Plotkin 2012, págs. 155-156
     • Jansana 2022, sección líder
127. • Andréka, Madarász & Németi 2020, § Lógica algebraica abstracta
     • Jansana 2022, § 4. Álgebras
128. Joyner 2008, pág. 92
129. • Houston 2004, pág. 319
     • Neri 2019, pág. xii
     • Anton & Rorres 2010, pág. 327
130. • Neri 2019, pág. xii
     • Aleskerov, Ersel y Piontkovski 2011, págs. 1 a 9
     • Straffin 1980, pág. 269
     • Menini & Oystaeyen 2017, pág.
     • Lovett 2015, pág. ix
     • Lidl y Pilz 1997, págs. vii-viii
131. • Wheeler 2023, pág. 29, 36–37
     • Gallier & Quaintance 2020, págs. 1-2
132. • Klimov 2014, pág. ix
     • Bengtsson y Życzkowski 2017, págs. 313–353
133. Terras 2019, págs. 63–64, 142
134. Hull 2021, págs. 180
135. • Lidl y Pilz 1997, págs. 183–184, 239–240
     • Carstensen, Fine y Rosenberger 2011, págs. 326–327
136. • Kieran 2006, pág. 15
     • Kaput 2018, pág. 186
     • Gardella y DeLucía 2020, págs. 19-22
137. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, pág. xiii
     • Dekker y Dolk 2011, pág. 69
138. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, págs. 2–5
     • Drijvers, Goddijn y Kindt 2011, págs. 8–10, 16–18
139. • Kieran 2006, pág. 15
     • Kaput 2018, pág. 186
     • Gardella y DeLucía 2020, págs. 19-22
     • Star et al. 2015, págs. 16-17
140. • Arcavi, Drijvers y Stacey 2016, págs. 58–59
     • Drijvers, Goddijn y Kindt 2011, pág. 13
141. Hausberger, Zandieh y Fleischmann 2021, págs. 147-148

Fuentes

• Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). Simetrías de patrones geométricos islámicos. World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4. Recuperado el 12 de marzo de 2024 .
• Adhikari, Mahima Ranjan (2016). Topología algebraica básica y sus aplicaciones. Springer. ISBN 978-81-322-2843-1. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Adhikari, Mahima Ranjan; Adhikari, Avishek (2013). Álgebra moderna básica con aplicaciones. Saltador. ISBN 978-81-322-1599-8. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (2011). Álgebra lineal para economistas. Springer. ISBN 978-3-642-20570-5. Recuperado el 11 de marzo de 2024 .
• Andréka, H.; Madarász, J. X.; Németi, I. (2020). «Lógica algebraica». Enciclopedia de matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Andréka, H.; Németi, I.; Sain, I. (2001). "Lógica algebraica". Manual de lógica filosófica . Springer. doi :10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 24 de enero de 2024 .
• Andrilli, Stephen; Hecker, David (2022). Álgebra lineal elemental. Academic Press. ISBN 978-0-323-98426-3. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Anton, Howard (2013). Álgebra lineal elemental. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-67730-8. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Anton, Howard; Rorres, Chris (2010). Álgebra lineal elemental: versión para aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.
• Anton, Howard; Rorres, Chris (2013). Álgebra lineal elemental: versión para aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-47422-8. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Arcavi, Abraham; Drijvers, Paul; Stacey, Kaye (2016). El aprendizaje y la enseñanza del álgebra: ideas, perspectivas y actividades. Routledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Artamonov, VA (2003). "Cuasivariedades". En Hazewinkel, M. (ed.). Manual de álgebra . Elsevier. ISBN 978-0-08-053297-4. Recuperado el 21 de enero de 2024 .
• Atanasio, Dragu; Mikusinski, Piotr (2019). Un puente hacia el álgebra lineal. Científico mundial. ISBN 978-981-12-0024-3. Recuperado el 12 de marzo de 2024 .
• Bahturin, Y. (2013). Estructuras básicas del álgebra moderna. Springer. ISBN 978-94-017-0839-5. Consultado el 30 de agosto de 2024 .
• Baranovich, TM (2023). «Operación algebraica». Enciclopedia de matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Barrera-Mora, Fernando (2023). Álgebra lineal: un enfoque polinomial mínimo para la teoría propia. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-113591-5. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometría de estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
• Benson, Donald C. (2003). Una piedra más lisa: exploraciones matemáticas. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514436-9. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• Berggren, John L. (2015). «Álgebra elemental». Encyclopædia Britannica . Archivado desde el original el 14 de enero de 2024. Consultado el 14 de enero de 2024 .
• Betten, Antón; Kohnert, Axel; Laue, Reinhard; Wassermann, Alfred, eds. (2013). Combinatoria y aplicaciones algebraicas. Saltador. ISBN 978-3-642-59448-9.
• Bhattacharya, PB; Jain, SK; Nagpaul, SR (1994). Álgebra abstracta básica. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46629-5.
• Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica: teoría básica de categorías. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44178-0.
• Bourbaki, N. (1998). Álgebra I: Capítulos 1-3. Springer. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). Una historia de las matemáticas. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Bracken, Laura J.; Miller, Edward S. (2014). Álgebra elemental . Cengage Learning. ISBN 978-0-618-95134-5.
• Bressoud, David M. (2021). Cálculo reordenado: una historia de las grandes ideas. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-21878-6. Recuperado el 4 de septiembre de 2024 .
• Brezinski, Claude; Meurant, Gerard; Redivo-Zaglia, Michela (2022). Un viaje por la historia del álgebra lineal numérica. SIAM. ISBN 978-1-61197-723-3. Consultado el 12 de agosto de 2024 .
• Brešar, Matej (2014). Introducción al álgebra no conmutativa. Springer. ISBN 978-3-319-08693-4. Recuperado el 14 de junio de 2024 .
• Bueno, Otávio; French, Steven (2018). Aplicación de las matemáticas: inmersión, inferencia e interpretación. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-881504-4. Recuperado el 28 de julio de 2024 .
• Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2020). «Aritmética». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 4 de octubre de 2009 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Burgin, Mark (2022). Trilogía de números y aritmética - Libro 1: Historia de los números y la aritmética: una perspectiva de información. World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3. Recuperado el 13 de enero de 2024 .
• Burris, Stanley; Legris, Javier (2021). «El álgebra de la tradición lógica». The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024. Consultado el 22 de enero de 2024 .
• Carlson, Stephan C. (2024). "Topología - Homología, Cohomología, Variedades". Encyclopædia Britannica . Consultado el 2 de octubre de 2024 .
• Carstensen, Celine; Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2011). Álgebra abstracta: aplicaciones a la teoría de Galois, la geometría algebraica y la criptografía. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025008-4.
• Chahal, JS (2018). Fundamentos del álgebra lineal. CRC Press. ISBN 978-0-429-75810-2. Consultado el 29 de agosto de 2024 .
• Chang, CC; Keisler, HJ (1990). Teoría de modelos. Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Cheng, Eugenia (2023). La alegría de la abstracción . Cambridge University Press. doi :10.1017/978110876938. ISBN 978-1-108-47722-2.
• Cohn, PM (1995). Campos oblicuos: teoría de anillos de división general. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43217-7.
• Cohn, PM (2012). Álgebra universal. Springer. ISBN 978-94-009-8399-1. Recuperado el 14 de junio de 2024 .
• Cooper, Ellis D. (2011). Mecánica matemática: de la partícula al músculo. World Scientific. ISBN 978-981-4289-70-2. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Corry, Leo (2024). «Álgebra». Encyclopædia Britannica . Archivado desde el original el 19 de enero de 2024. Consultado el 25 de enero de 2024 .
• Cox, David A. (2012). Teoría de Galois. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-21842-6.
• Cresswell, Julia (2010). Diccionario Oxford de orígenes de palabras. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954793-7. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Danilov, VI (2006). "II. Variedades y esquemas algebraicos". Geometría algebraica I: curvas algebraicas, variedades algebraicas y esquemas . Springer. ISBN 978-3-540-51995-9. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Dekker, Truus; Dolk, Martín (2011). "3. De la aritmética al álgebra". En Drijvers, Paul (ed.). Educación secundaria de álgebra: revisión de temas y temas y exploración de lo desconocido . Saltador. ISBN 978-94-6091-334-1. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2018). Álgebra universal y aplicaciones en informática teórica. CRC Press. ISBN 978-1-4822-8583-3. Consultado el 30 de agosto de 2024 .
• Deo, Satya (2018). Topología algebraica: una introducción. Springer. ISBN 978-981-10-8734-9. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Derbyshire, John (2006). "2. El padre del álgebra". Cantidad desconocida: Una historia real e imaginaria del álgebra . National Academies Press. ISBN 978-0-309-09657-7. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Dominich, Sándor (2008). El álgebra moderna de recuperación de información. Springer. ISBN 978-3-540-77659-8. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Drijvers, Paul; Goddijn, Aad; Kindt, Martin (2011). "1. Educación en álgebra: exploración de temas y tópicos". En Drijvers, Paul (ed.). Educación en álgebra secundaria: revisión de temas y tópicos y exploración de lo desconocido . Springer. ISBN 978-94-6091-334-1. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Efimov, BA (2014). «Teoría de conjuntos». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2022 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Elwes, Richard (diciembre de 2006). «Un enorme teorema: la clasificación de grupos finitos simples». Plus Magazine . Archivado desde el original el 2 de febrero de 2009. Consultado el 20 de diciembre de 2011 .
• Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, MD (2005). Contribuciones a la historia de las matemáticas indias. Springer. ISBN 978-93-86279-25-5. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Personal de EoM (2017). «Álgebra». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2022 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013). Matemáticas para ingenieros. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62333-6. Recuperado el 13 de enero de 2024 .
• Gallier, Jean H.; Quaintance, Jocelyn (2020). Álgebra lineal y optimización con aplicaciones al aprendizaje automático - Volumen II: Fundamentos de la teoría de optimización con aplicaciones al aprendizaje automático. World Scientific. ISBN 978-981-12-1658-9.
• Gandz, Solomon (1926). "El origen del término 'álgebra'"". Revista Americana de Matemáticas . 33 (9): 437–440. doi :10.2307/2299605. JSTOR  2299605.
• Gardella, Francisco; DeLucía, María (2020). Álgebra para los grados medios. PAI. ISBN 978-1-64113-847-5. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Geddes, Keith O.; Czapor, Stephen R.; Labahn, George (2007). Algoritmos para álgebra computacional. Springer. ISBN 978-0-585-33247-5.
• Gilbert, William J.; Nicholson, W. Keith (2004). Álgebra moderna con aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-46989-6. Recuperado el 13 de enero de 2024 .
• Godsil, Chris (2017). Combinatoria algebraica. Routledge. ISBN 978-1-351-46750-6.
• Golan, Jonathan S. (1995). "Álgebras sobre un campo". Fundamentos del álgebra lineal . Textos de Kluwer en las ciencias matemáticas. Vol. 11. Springer. págs. 219–227. doi :10.1007/978-94-015-8502-6_18. ISBN . 978-94-015-8502-6Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Goodman, AW (2001). Álgebra de la A a la Z. Vol. 1. World Scientific. ISBN 978-981-310-266-8. Recuperado el 11 de marzo de 2024 .
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, eds. (2010). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8.
• Grätzer, George (2008). Álgebra universal (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-77487-9. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Grillet, Pierre Antoine (2007). "Álgebra universal". Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 242. Springer. págs. 559–580. doi :10.1007/978-0-387-71568-1_15. ISBN 978-0-387-71568-1Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Häberle, L. (2009). "Sobre la clasificación de moléculas y especies de anillos de representación". En Fink, Andreas; Lausen, Berthold; Seidel, Wilfried; Ultsch, Alfred (eds.). Avances en análisis de datos, manejo de datos e inteligencia empresarial . Springer. ISBN 978-3-642-01044-6. Recuperado el 12 de marzo de 2024 .
• Halmos, Paul R. (1956). "Los conceptos básicos de la lógica algebraica". The American Mathematical Monthly . 63 (6): 363–387. doi :10.2307/2309396. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309396.
• Harrison, Michael; Waldron, Patrick (2011). Matemáticas para la economía y las finanzas. Routledge. ISBN 978-1-136-81921-6. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Hausberger, Thomas (2020). "Enseñanza y aprendizaje del álgebra abstracta". En Lerman, Stephen (ed.). Enciclopedia de educación matemática (2.ª ed.). Springer. ISBN 9783030157883.
• Hausberger, Thomas; Zandieh, Michelle; Fleischmann, Yael (2021). "Álgebra abstracta y lineal". En Durand-Guerrier, Viviane; Hochmuth, Reinhard; Nardi, Elena; Winsløw, Carl (eds.). Investigación y desarrollo en la educación matemática universitaria: descripción general Producido por la Red internacional para la investigación didáctica en matemáticas universitarias . Routledge. ISBN 978-1-000-36924-3.
• Hazewinkel, Michiel (1994). Enciclopedia de Matemáticas (Conjunto). Saltador. ISBN 978-1-55608-010-4. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Personal de HC (2022). «Aritmética». American Heritage Dictionary . HarperCollins. Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2023 . Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Higgins, Peter M. (2015). Álgebra: una introducción muy breve. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-104746-6. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Higham, Nicholas J. (2019). Manual de redacción para las ciencias matemáticas (3.ª edición). SIAM. ISBN 978-1-61197-610-6. Recuperado el 17 de marzo de 2024 .
• Hoad, TF (1993). Diccionario Oxford conciso de etimología inglesa . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-283098-2.
• Hohn, Franz E. (2013). Álgebra matricial elemental. Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-14372-9.
• Houston, Stephen D. (2004). La primera escritura: la invención de la escritura como historia y proceso. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83861-0.
• Hull, Thomas C. (2021). Origametría: métodos matemáticos en el plegado de papel. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47872-4. Consultado el 7 de agosto de 2024 .
• Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Barbara (2014). Computación: una perspectiva histórica y técnica. CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3. Recuperado el 29 de enero de 2024 .
• Indurkhya, Bipin (2013). "6.5 Álgebras y estructuras". Metáfora y cognición: un enfoque interaccionista . Springer. ISBN 978-94-017-2252-0. Recuperado el 21 de enero de 2024 .
• Irving, Ronald S. (2004). Enteros, polinomios y anillos: un curso de álgebra. Springer. ISBN 978-0-387-40397-7. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Ivanova, OA (2016). "Ring". Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 1 de enero de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Ivanova, OA; Smirnov, DM (2012). «Isomorfismo». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2024 . Consultado el 11 de marzo de 2024 .
• Jansana, Ramon (2022). «Algebraic Propositional Logic». The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2016. Consultado el 22 de enero de 2024 .
• Jarvis, Frazer (2014). Teoría algebraica de números. Springer. ISBN 978-3-319-07545-7. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Jenkins, Everett (2010). La diáspora musulmana (volumen 1, 570-1500): una cronología completa de la expansión del Islam en Asia, África, Europa y las Américas. McFarland. ISBN 978-0-7864-4713-8. Recuperado el 28 de enero de 2024 .
• Joyner, David (2008). Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos (2.ª edición). Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3.
• Kaput, James J. (2018). "Representaciones de vínculos en los sistemas de símbolos del álgebra". En Wagner, Sigrid; Kieran, Carolyn (eds.). Cuestiones de investigación en el aprendizaje y la enseñanza del álgebra: la agenda de investigación para la educación matemática, volumen 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43414-4. Consultado el 8 de agosto de 2024 .
• Kargapolov, MI; Merzlyakov, Yu. I. (2016). "Grupo". Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2022 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Karpilovsky, G. (1989). Temas de teoría de campos. Elsevier. ISBN 978-0-08-087266-7.
• Kaufmann, Jerome E.; Schwitters, Karen L. (2011). Álgebra elemental . Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-4390-4917-4.
• Khattar, Dinesh; Agrawal, Neha (2023). Teoría de grupos. Springer and Ane Books Pvt. Ltd. ISBN 978-3-031-21307-6. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Kieran, Carolyn (2006). "Investigación sobre el aprendizaje y la enseñanza del álgebra". En Gutiérrez, Angel; Boero, Paolo (eds.). Manual de investigación sobre la psicología de la educación matemática: pasado, presente y futuro . Sense Publishers. ISBN 978-90-77874-19-6. Consultado el 8 de agosto de 2024 .
• Kilty, Joel; McAllister, Alex (2018). Modelado matemático y cálculo aplicado. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-255813-8. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Kleiner, Israel (2007). Una historia del álgebra abstracta. Springer. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• Klimov, DM (2014). Métodos de teoría de grupos en mecánica y matemáticas aplicadas. CRC Press. ISBN 978-1-4822-6522-4.
• Kline, Morris (1990). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos: volumen 3. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506137-6.
• Knoebel, Arthur (2011). Haces de álgebras sobre espacios booleanos. Springer. ISBN 978-0-8176-4218-1. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Kramer, Jürg; Pippich, Anna-Maria von (2017). De los números naturales a los cuaterniones. Saltador. ISBN 978-3-319-69429-0. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Krömer, Ralph (2007). Herramienta y objeto: una historia y filosofía de la teoría de categorías. Springer. ISBN 978-3-7643-7524-9.
• Kvasz, L. (2006). "La historia del álgebra y el desarrollo de la forma de su lenguaje". Philosophia Mathematica . 14 (3): 287–317. doi : 10.1093/philmat/nkj017 . ISSN  1744-6406.
• Lal, Ramji (2017). Álgebra 2: Álgebra lineal, teoría de Galois, teoría de la representación, extensiones de grupo y multiplicador de Schur. Springer. ISBN 978-981-10-4256-0.
• Lamagna, Edmund A. (2019). Álgebra computacional: conceptos y técnicas. CRC Press. ISBN 978-1-351-60583-0. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• Lang, Serge (2005). Álgebra. Saltador. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Laos, Nicolas K. (1998). Temas de análisis matemático y geometría diferencial. World Scientific. ISBN 978-981-02-3180-4.
• Biblioteca del Congreso. Clasificación de la Biblioteca del Congreso: Clase Q - Ciencias (PDF) . Biblioteca del Congreso. Archivado (PDF) del original el 5 de abril de 2024 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
• Lidl, Rudolf; Pilz, Gunter (1997). Álgebra abstracta aplicada. Saltador. ISBN 978-0-387-98290-8.
• Lovett, Stephen (2015). Álgebra abstracta: estructuras y aplicaciones. CRC Press. ISBN 978-1-4822-4891-3. Consultado el 27 de julio de 2024 .
• Lukas, Andre (2022). Álgebra lineal de Oxford para científicos. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-258347-5.
• Maddocks, JR (2008). "Álgebra". En Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). La enciclopedia Gale de la ciencia (4.ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Majewski, Miroslaw (2004). Conceptos básicos de informática MuPAD Pro (2 ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-21943-9.
• Mal'cev, AI (1973). "Cuasivariedades". Sistemas algebraicos . Springer. págs. 210–266. doi :10.1007/978-3-642-65374-2_5. ISBN . 978-3-642-65374-2Archivado desde el original el 18 de junio de 2018 . Consultado el 21 de enero de 2024 .
• Mancosu, Paolo (1999). Filosofía de las matemáticas y práctica matemática en el siglo XVII. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Markushevich, AI (2015). «Polinomio». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2024 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Maxwell, EA (2009). Estructura algebraica y matrices, libro 2. Syracuse University Press. ISBN 978-0-521-10905-5. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• McKeague, Charles P. (1986). Álgebra elemental. Academic Press. ISBN 978-1-4832-6384-7.
• McKeague, Charles P. (2014). Álgebra intermedia: un libro de texto y ejercicios. Academic Press. ISBN 978-1-4832-1417-7. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• McWeeny, R. (2002). Simetría: Introducción a la teoría de grupos y sus aplicaciones. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-42182-7. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Álgebra abstracta: un tratamiento integral. CRC Press . ISBN 978-1-4822-5817-2. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, AI (2020). «Álgebra(2)». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 7 de abril de 2023 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
• Mirakhor, Abbas; Krichene, Noureddine (2014). Introducción a las matemáticas y la estadística para las finanzas islámicas. John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-77972-9. Consultado el 7 de agosto de 2024 .
• Mishra, Sanjay (2016). Fundamentos de matemáticas: álgebra . Pearson India. ISBN 978-93-325-5891-5.
• Miyake, Katsuya (2002). "Algunos aspectos sobre las interacciones entre la teoría algebraica de números y la teoría analítica de números". En Kanemitsu, Shigeru; Jia, Chaohua (eds.). Métodos teóricos de números: tendencias futuras . Springer. ISBN 978-1-4419-5239-4. Consultado el 7 de agosto de 2024 .
• Mortensen, CE (2013). Matemáticas inconsistentes. Springer. ISBN 978-94-015-8453-1. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Murthy, Swamy y (2012). Álgebra: abstracta y moderna. Pearson Education India. ISBN 978-93-325-0993-1. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Matemáticas para maestros de primaria: un enfoque contemporáneo. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6. Recuperado el 11 de marzo de 2024 .
• Personal de MW (2023). «Definición de aritmética». Merriam-Webster . Archivado desde el original el 14 de noviembre de 2023. Consultado el 19 de octubre de 2023 .
• Nakahara, Mikio (2018). Geometría, topología y física. Taylor & Francis. ISBN 978-1-4200-5694-5. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Neri, Ferrante (2019). Álgebra lineal para ciencias computacionales e ingeniería. Springer. ISBN 978-3-030-21321-3. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Nicholson, W. Keith (2012). Introducción al álgebra abstracta. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13535-8. Consultado el 30 de agosto de 2024 .
• Oaks, Jeffrey A.; Alkhateeb, Haitham M. (2007). "Simplificación de ecuaciones en álgebra árabe". Historia Mathematica . 34 (1): 45–61. doi :10.1016/j.hm.2006.02.006.
• Olver, Peter J. (1999). Teoría clásica de invariantes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55821-1. Recuperado el 12 de marzo de 2024 .
• Ono, Hiroakira (2019). Teoría de la demostración y álgebra en lógica. Springer. ISBN 978-981-13-7997-0.
• Personal de la OUP. «Álgebra». Lexico . Oxford University Press . Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2013.
• Ovchinnikov, Sergei (2015). Sistemas numéricos. Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-1-4704-2018-5. Recuperado el 20 de enero de 2024 .
• Pickover, Clifford A. (2009). El libro de las matemáticas: desde Pitágoras hasta la dimensión 57, 250 hitos en la historia de las matemáticas. Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9. Recuperado el 28 de enero de 2024 .
• Plotkin, B. (2012). Álgebra universal, lógica algebraica y bases de datos. Springer. ISBN 978-94-011-0820-1. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Pratt, Vaughan (2022). «Álgebra». The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archivado desde el original el 29 de enero de 2024. Consultado el 11 de enero de 2024 .
• Rabadan, Raul; Blumberg, Andrew J. (2019). Análisis de datos topológicos para la genómica y la evolución: topología en biología. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15954-9. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Ricardo, Henry (2009). Una introducción moderna al álgebra lineal. CRC Press. ISBN 978-1-4398-9461-3. Consultado el 29 de agosto de 2024 .
• Rohde, Ulrich L.; Jain, GC; Poddar, Ajay K.; Ghosh, AK (2012). Introducción al cálculo diferencial: estudios sistemáticos con aplicaciones de ingeniería para principiantes. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-13014-8. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• Romanowski, Perry (2008). "Aritmética". En Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). The Gale Encyclopedia of Science (4.ª ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2Archivado desde el original el 1 de noviembre de 2023 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Rosen, Kenneth (2012). Matemática discreta y sus aplicaciones. Edición global 7.ª ed. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-715151-5.
• Rowen, Louis Halle (2006). Álgebra de posgrado: perspectiva conmutativa: perspectiva conmutativa. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0570-1. Recuperado el 14 de junio de 2024 .
• Sahai, Vivek; Bist, Vikas (2002). Álgebra lineal. Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-2426-0.
• Saikia, Promode Kumar (2008). Álgebra lineal. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-4276-1. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Serovajsky, Simon (2020). Arquitectura de las matemáticas. CRC Press. ISBN 978-0-429-89353-7.
• Seshadri, CS (2010). Estudios sobre la historia de las matemáticas indias. Springer. ISBN 978-93-86279-49-1. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Sialaros, Michalis (2018). Revoluciones y continuidad en las matemáticas griegas. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Smirnov, DM (2020). «Álgebra universal». Enciclopedia de matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2024 . Consultado el 30 de agosto de 2024 .
• Smith, Jonathan DH (2015). Introducción al álgebra abstracta. CRC Press. ISBN 978-1-4987-3162-1. Recuperado el 14 de junio de 2024 .
• Smorynski, Craig (2007). Historia de las matemáticas: un suplemento. Springer. ISBN 978-0-387-75481-9. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Sneyd, James; Fewster, Rachel M.; McGillivray, Duncan (2022). Matemáticas y estadísticas para la ciencia. Springer. ISBN 978-3-031-05318-4.
• Sobolev, SK (2015). «Constante». Enciclopedia de Matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 24 de enero de 2024 . Consultado el 23 de octubre de 2023 .
• Solomon, Bruce (2014). Álgebra lineal, geometría y transformación. CRC Press. ISBN 978-1-4822-9930-4. Consultado el 29 de agosto de 2024 .
• Sorell, Tom (2000). Descartes: una introducción muy breve. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4. Recuperado el 11 de marzo de 2024 .
• Star, Jon R.; Foegen, Anne; Larson, Matthew R.; McCallum, William G.; Porath, Jane; Zbiek, Rose Mary (2015). Estrategias de enseñanza para mejorar el conocimiento del álgebra en estudiantes de secundaria y preparatoria . Departamento de Educación de los Estados Unidos / Instituto de Ciencias de la Educación. OCLC  5867417164.
• Straffin, Philip D. (1980). "Álgebra lineal en geografía: vectores propios de redes". Revista de matemáticas . 53 (5): 269–276. doi :10.2307/2689388. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689388.
• Sullivan, Michael (2010). Matemáticas finitas: un enfoque aplicado. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-87639-8. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• Tan, Kiat Shi; Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2012). SymbolicC++: Introducción al álgebra computacional mediante programación orientada a objetos: Introducción al álgebra computacional mediante programación orientada a objetos. Springer. ISBN 978-1-4471-0405-6. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• Tanton, James (2005). Enciclopedia de matemáticas . Datos archivados. ISBN 978-0-8160-5124-3.
• Terras, Audrey (2019). Álgebra abstracta con aplicaciones . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-16407-9.
• Tsokos, Chris P.; Wooten, Rebecca D. (2015). El placer de las matemáticas finitas: el lenguaje y el arte de las matemáticas. Academic Press. ISBN 978-0-12-802985-5.
• Valenza, Robert J. (2012). Álgebra lineal: una introducción a las matemáticas abstractas. Springer. ISBN 978-1-4612-0901-0. Consultado el 29 de agosto de 2024 .
• Vince, John (2007). Análisis vectorial para gráficos por computadora. Springer. ISBN 978-1-84628-803-6. Consultado el 5 de agosto de 2024 .
• Viterbo, Emanuele; Hong, Yi (2011). "3.4 Teoría algebraica de números". En Hlawatsch, Franz; Matz, Gerald (eds.). Comunicaciones inalámbricas a través de canales que varían rápidamente en el tiempo . Academic Press. ISBN 978-0-08-092272-0. Recuperado el 24 de enero de 2024 .
• Voitsekhovskii, MI (2011). «Ecuación lineal». Enciclopedia de matemáticas . Springer. Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2023 . Consultado el 10 de enero de 2024 .
• Waerden, Bartel L. van der (2013). Una historia del álgebra: desde al-Khwārizmī hasta Emmy Noether. Springer. ISBN 978-3-642-51599-6. Recuperado el 27 de enero de 2024 .
• Waerden, Bartel L. van der; Artín, Emil; Noether, Emmy (2003). Álgebra . vol. 1. Saltador. ISBN 0-387-40624-7.
• Wagner, Sigrid; Kieran, Carolyn (2018). Cuestiones de investigación en el aprendizaje y la enseñanza del álgebra: la agenda de investigación para la educación matemática. Vol. 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43421-2. Recuperado el 13 de enero de 2024 .
• Walz, Guido (2016). "Álgebra". Lexikon der Mathematik: Banda 1: A bis Eif [ Enciclopedia de Matemáticas: Volumen 1: A a Eif ] (en alemán). Saltador. ISBN 978-3-662-53498-4Archivado desde el original el 12 de enero de 2024 . Consultado el 13 de enero de 2024 .
• Weibel, Charles A. (1995). Introducción al álgebra homológica. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64307-8.
• Weisstein, Eric W. (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC (2.ª edición). Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-347-0.
• Wheeler, Jeffrey Paul (2023). Introducción a la optimización con aplicaciones en aprendizaje automático y análisis de datos. CRC Press. ISBN 978-1-003-80359-1.
• Whitelaw, TA (1995). Introducción al álgebra abstracta, tercera edición. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0147-9.
• Williams, G. Arnell (2022). Álgebra, la bella: una oda a la materia menos querida de las matemáticas. Basic Books. ISBN 978-1-5416-0070-6. Recuperado el 11 de marzo de 2024 .
• Wilson, Robert A. (2009). Los grupos finitos simples . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 251. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN . 978-1-84800-987-5.Zbl 1203.20012  .
• Young, Cynthia Y. (2010). Precálculo. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2. Recuperado el 16 de enero de 2024 .
• Young, Cynthia Y. (2023). Precálculo. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-86940-5. Recuperado el 18 de enero de 2024 .
• zbMATH Open (2024). «Clasificación». zbMATH Open . Mathematical Reviews y zbMATH Open. Archivado desde el original el 19 de julio de 2020 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
• Zwillinger, Daniel (2002). Tablas y fórmulas matemáticas estándar del CRC. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3534-6. Recuperado el 27 de enero de 2024 .

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