Coordenadas curvilíneas

Sistema de coordenadas cuyas direcciones varían en el espacio.

Coordenadas curvilíneas (arriba), afines (derecha) y cartesianas (izquierda) en un espacio bidimensional

En geometría , las coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas para el espacio euclidiano en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas se pueden derivar de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de una transformación que es localmente invertible (un mapa uno a uno) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesiano a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas , acuñado por el matemático francés Lamé , deriva de que las superficies de coordenadas de los sistemas curvilíneos son curvas.

Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclidiano tridimensional ( R ³ ) son las coordenadas cilíndricas y esféricas . Una superficie de coordenadas cartesianas en este espacio es un plano de coordenadas ; por ejemplo z = 0 define el plano x - y . En el mismo espacio, la superficie de coordenadas r = 1 en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria , que es curva. El formalismo de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción general y unificada de los sistemas de coordenadas estándar.

Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares , vectores o tensores . Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y el análisis de tensores (como el gradiente , la divergencia , la curvatura y el laplaciano ) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.

Un sistema de coordenadas curvilíneo puede ser más sencillo de utilizar que el sistema de coordenadas cartesiano para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de fuerzas centrales suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas; Esto es cierto para muchos problemas físicos con simetría esférica definidos en R ³ . Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneo particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento en una esfera con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra , cartografía , mecánica cuántica , relatividad e ingeniería .

Coordenadas curvilíneas ortogonales en 3 dimensiones.

Coordenadas, bases y vectores.

Fig. 1 - Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas curvilíneas generales.

Fig. 2 - Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas esféricas. Superficies: r - esferas, θ - conos, φ - semiplanos; Líneas: r - vigas rectas, θ - semicírculos verticales, φ - círculos horizontales; Ejes: r - vigas rectas, θ - tangentes a semicírculos verticales, φ - tangentes a círculos horizontales

Por ahora, consideremos el espacio tridimensional . Un punto P en el espacio tridimensional (o su vector de posición r ) se puede definir usando coordenadas cartesianas ( x , y , z ) [escrito de manera equivalente ( x ¹ , x ² , x ³ )], por , donde e _x , e _y , e _z son los vectores de base estándar . ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$

También puede definirse por sus coordenadas curvilíneas ( q ¹ , q ² , q ³ ) si este triplete de números define un solo punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación reversibles:

${\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}$

${\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)}$

Las superficies q ¹ = constante, q ² = constante, q ³ = constante se llaman superficies de coordenadas ; y las curvas espaciales formadas por su intersección de pares se llaman curvas de coordenadas . Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como ocurre con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores base estándar se pueden derivar de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local.

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P se definen los vectores de base natural:

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.}$

Una base de este tipo, cuyos vectores cambian su dirección y/o magnitud de un punto a otro, se denomina base local . Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores base que son iguales en todos los puntos son bases globales y sólo pueden asociarse con sistemas de coordenadas lineales o afines .

Para este artículo, e está reservada para la base estándar (cartesiana) y h o b es para la base curvilínea.

Es posible que no tengan una unidad de longitud y que tampoco sean ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas estén bien definidas, definimos los coeficientes de Lamé(después de Gabriel Lamé ) por

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

y los vectores de base ortonormal curvilínea por

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

Estos vectores de base bien pueden depender de la posición de P ; por lo tanto, es necesario que no se suponga que son constantes en una región. (Técnicamente forman una base para el paquete tangente de en P y, por lo tanto, son locales a P ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de base natural h no _sean todos mutuamente perpendiculares entre sí y no es necesario que tengan una longitud unitaria: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. El uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más sencillas que las no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería , particularmente la mecánica de fluidos y la mecánica continua , requieren bases no ortogonales para describir las deformaciones y el transporte de fluidos para dar cuenta de las complicadas dependencias direccionales de las cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

Cálculo vectorial

Elementos diferenciales

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

entonces los factores de escala son ${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

En coordenadas no ortogonales, la longitud de es la raíz cuadrada positiva de (según la convención de suma de Einstein ). Los seis productos escalares independientes g _ij = h _i . h _j de los vectores de base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve g _ij son los componentes del tensor métrico , que tiene sólo tres componentes distintos de cero en coordenadas ortogonales: g ₁₁ = h ₁ h ₁ , g ₂₂ = h ₂ h ₂ , g ₃₃ = h ₃ h ₃ . ${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$

Bases covariantes y contravariantes

Un vector v ( rojo ) representado por • una base vectorial ( amarillo , izquierda: e ₁ , e ₂ , e ₃ ), vectores tangentes a curvas de coordenadas ( negro ) y • una base covector o cobasis ( azul , derecha: e ¹ , e ² , e ³ ), vectores normales para coordinar superficies ( grises ) en coordenadas curvilíneas generales (no necesariamente ortogonales ) ( q ¹ , q ² , q ³ ). La base y la cobasis no coinciden a menos que el sistema de coordenadas sea ortogonal. ^[1]

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas del tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores base:

1. vectores de base que son localmente tangentes a su línea de ruta de coordenadas asociada:
   $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$$
   son vectores contravariantes (indicados por índices reducidos), y
2. vectores de base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas:
   $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}$$
   son vectores covariantes (denotados por índices elevados), ∇ es el operador del .

Tenga en cuenta que, debido a la convención de suma de Einstein, la posición de los índices de los vectores es opuesta a la de las coordenadas.

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneo general tiene dos conjuntos de vectores base para cada punto: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } es la base contravariante y { b ¹ , b ² , b ³ } es la covariante (también conocida como recíproca) base. Los tipos de vectores de base covariantes y contravariantes tienen direcciones idénticas para los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero como es habitual tienen unidades invertidas entre sí.

Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante:

$${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$$

delta de Kronecker generalizado ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Prueba

En el sistema de coordenadas cartesiano , podemos escribir el producto escalar como: ${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$

Considere un desplazamiento infinitesimal . Sean dq ₁ , dq ₂ y dq ₃ los cambios infinitesimales correspondientes en las coordenadas curvilíneas q ₁ , q ₂ y q ₃ respectivamente. ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$

Por la regla de la cadena, dq ₁ se puede expresar como:

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)}$

Si el desplazamiento d r es tal que dq ₂ = dq ₃ = 0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q ₂ =const y q ₃ =const, entonces:

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$

Dividiendo por dq ₁ y tomando el límite dq ₁ → 0:

${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

o equivalente:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$

Ahora bien, si el desplazamiento d r es tal que dq ₁ = dq ₃ =0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal a lo largo del eje de coordenadas q ₁ =const y q ₃ =const, entonces:

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$

Dividiendo por dq ₂ y tomando el límite dq ₂ → 0:

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

o equivalente:

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$

Y así sucesivamente con los demás productos punto.

Prueba alternativa:

${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}$

y la convención de suma de Einstein está implícita.

Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

Usando la convención de suma de Einstein, los vectores base se relacionan con los componentes por ^{[2] : 30–32}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

y

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

donde g es el tensor métrico (ver más abajo).

Un vector se puede especificar con coordenadas covariantes (índices reducidos, escrito v _k ) o coordenadas contravariantes (índices elevados, escrito v ^k ). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores de base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores de base contravariantes.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores base es la invariancia en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores base que se transforman de manera contravariante (o manera covariante).

Integración

Construyendo una base covariante en una dimensión.

Fig. 3 – Transformación de base covariante local en el caso de coordenadas curvilíneas generales

Considere la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P , tomado como origen , x es una de las coordenadas cartesianas y q ¹ es una de las coordenadas curvilíneas. El vector de base local (no unitario) es b ₁ (anotado h ₁ arriba, con b reservado para vectores unitarios) y está construido sobre el eje q ¹ que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q ¹ y por tanto el vector b ₁ forman un ángulo con el eje cartesiano x y el vector de base cartesiana e ₁ . ${\displaystyle \alpha }$

Se puede ver en el triángulo PAB que

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }$

donde | mi ₁ |, | segundo ₁ | son las magnitudes de los dos vectores base, es decir, el escalar intercepta a PB y PA . PA es también la proyección de b ₁ sobre el eje x .

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de base utilizando cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

1. Al aumentar la distancia desde P , el ángulo entre la línea curva q ¹ y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de . ${\displaystyle \alpha }$
2. A la distancia PB el ángulo verdadero es el que forma la tangente en el punto C con el eje x y este último ángulo es claramente diferente de . ${\displaystyle \alpha }$

Los ángulos que forman la línea q ¹ y ese eje con el eje x se vuelven más cercanos en valor cuanto más nos acercamos al punto P y se vuelven exactamente iguales en P.

Supongamos que el punto E esté ubicado muy cerca de P , tan cerca que la distancia PE sea infinitamente pequeña. Entonces PE medido en el eje q ¹ casi coincide con PE medido en la línea q ¹ . Al mismo tiempo, la relación PD/PE ( siendo PD la proyección de PE en el eje x ) se vuelve casi exactamente igual a . ${\displaystyle \cos \alpha }$

Dejemos que las intersecciones infinitamente pequeñas PD y PE se etiqueten, respectivamente, como dx y d q ¹ . Entonces

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$.

Por lo tanto, los cosenos direccionales se pueden sustituir en transformaciones con relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitamente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b ₁ en el eje x es

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}$.

Si q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y x _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las razones de transformación se pueden escribir como y . Es decir, esas razones son derivadas parciales de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a coordenadas que pertenecen al otro sistema. ${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$

Construyendo una base covariante en tres dimensiones.

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b ₁ se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

Se aplican ecuaciones similares para b ₂ y b ₃ , de modo que la base estándar { e ₁ , e ₂ , e ₃ } se transforma en una base local (ordenada y normalizada ) { b ₁ , b ₂ , b ₃ } mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de base local a base estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

Jacobiano de la transformación

Los sistemas de ecuaciones lineales anteriores se pueden escribir en forma matricial utilizando la convención de suma de Einstein como

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$.

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores de base curvilínea. Para cualquier ubicación específica solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y sólo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución (no trivial) sólo si el determinante de la matriz de su sistema es distinto de cero:

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

lo que muestra el fundamento del requisito anterior relativo al determinante jacobiano inverso.

Generalización a n dimensiones

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

Considere el espacio euclidiano real de n dimensiones, es decir R ⁿ = R × R × ... × R ( n veces) donde R es el conjunto de números reales y × denota el producto cartesiano , que es un espacio vectorial .

Las coordenadas de este espacio se pueden denotar por: x = ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n ). Como se trata de un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

donde e ¹ = (1,0,0...,0), e ² = (0,1,0...,0), e ³ = (0,0,1...,0),. .., e ⁿ = (0,0,0...,1) es el conjunto básico estándar de vectores para el espacio R ⁿ , e i = 1, 2,... n es un índice que etiqueta los componentes. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente ortogonales ( perpendiculares ) y normalizados (tienen magnitud unitaria ).

De manera más general, podemos definir los vectores base b _i de modo que dependan de q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ), es decir, cambien de un punto a otro: b _i = b _i ( q ). En cuyo caso definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base v _i también dependen necesariamente de x también, es decir v _i = v _i ( x ). Entonces, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector base e _i por un número v _i – multiplicación escalar ):

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma misma sigue siendo la misma.

Transformación de coordenadas

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneo es simplemente un parche de coordenadas en la variedad diferenciable En ( espacio euclidiano ⁿ -dimensional ) que es difeomorfo al parche de coordenadas cartesianas en la variedad. ^[3] No es necesario que dos parches de coordenadas difeomorfas en una variedad diferencial se superpongan de manera diferenciable. Con esta simple definición de un sistema de coordenadas curvilíneo, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial .

Las funciones de transformación son tales que existe una relación uno a uno entre los puntos en las coordenadas "antiguas" y "nuevas", es decir, esas funciones son biyecciones y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios :

1. Son funciones suaves : q ⁱ = q ⁱ ( x )
2. El determinante jacobiano inverso

   ${\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0}$

   no es cero; lo que significa que la transformación es invertible : x _i ( q ).

   según el teorema de la función inversa . La condición de que el determinante jacobiano no sea cero refleja el hecho de que tres superficies de diferentes familias se cruzan en un solo punto y, por lo tanto, determinan la posición de este punto de una manera única. ^[4]

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua sobre mecánica y física y puede ser indispensable para comprender trabajos de principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. ^[5] En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, ^[6] Naghdi, ^[7] Simmonds, ^[2] Green y Zerna, ^[5] Basar y Weichert, ^[8] y Ciarlet. ^[9]

Tensores en coordenadas curvilíneas

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

donde denota el producto tensorial . Los componentes Si ^ij se denominan componentes contravariantes , Si ^j los componentes covariantes derechos mixtos , Si _j los ^componentes covariantes izquierdos mixtos y S _ij los _componentes covariantes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales.

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento lineal d x , por lo que el cuadrado de la longitud del elemento lineal es el producto escalar d x • d x y se llama métrica del espacio , dada por:

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$.

La siguiente parte de la ecuación anterior

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

es un tensor simétrico llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Los índices se pueden subir y bajar según la métrica:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

Relación con los coeficientes de Lamé

Definiendo los factores de escala h _i por

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

donde h _ij son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también tenemos:

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

Ejemplo: coordenadas polares

Si consideramos las coordenadas polares para R ² ,

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ) es r .

Los vectores de base ortogonales son b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (−r sin θ, r cos θ). Los factores de escala son h _r = 1 y h _θ = r . El tensor fundamental es g ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ =0.

El tensor alterno

En una base ortonormal para diestros, el tensor alterno de tercer orden se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

En una base curvilínea general, el mismo tensor se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

También se puede demostrar que

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

Símbolos de Christoffel

Símbolos de Christoffel del primer tipo. ${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

donde la coma denota una derivada parcial (ver Cálculo de Ricci ). Para expresar Γ _kij en términos de g _ij ,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

Desde

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

usarlos para reorganizar las relaciones anteriores da

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Símbolos de Christoffel del segundo tipo. ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

Esto implica que

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$desde . ${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$

Otras relaciones que siguen son

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Operaciones vectoriales

1. Producto escalar :

   El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es ^{[2] : 32}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

2. Producto cruzado :

   El producto cruzado de dos vectores viene dado por ^{[2] : 32–34}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

   donde es el símbolo de permutación y es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

   ¿ Dónde está el tensor alterno de tercer orden? ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales.

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de integrales de línea , superficie y volumen . Para simplificar, lo siguiente se limita a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a espacios de n dimensiones. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds, ^[2] en su libro sobre análisis de tensores , cita a Albert Einstein diciendo ^[10]

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que la haya comprendido verdaderamente; representa un triunfo genuino del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en la relatividad general , ^[11] en la mecánica de capas curvas , ^[9] al examinar las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell, que ha sido de interés en metamateriales ^{[12] [13]} y en muchos otros campos.

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, ^[14] Simmonds, ^[2] Green y Zerna, ^[5] Basar y Weichert, ^[8] y Ciarlet. ^[9]

Sea φ = φ( x ) un campo escalar bien definido y v = v ( x ) un campo vectorial bien definido, y λ ₁ , λ ₂ ... sean parámetros de las coordenadas

Elementos geométricos

1. Vector tangente : Si x ( λ ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}}$

   es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando la regla de la cadena ). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y que para la métrica g _ij = 0 cuando i ≠ j , la magnitud es:

   ${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}}$

2. Elemento plano tangente : Si x ( λ ₁ , λ ₂ ) parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, entonces el siguiente producto cruzado de vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud de un elemento plano infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Usando el resultado anterior,

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}}$

   ¿ Dónde está el símbolo de permutación ? En forma determinante: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}}$

Integración

Diferenciación

Las expresiones para gradiente, divergencia y laplaciano se pueden extender directamente a n dimensiones; sin embargo, el rizo solo se define en 3D.

El campo vectorial b _i es tangente a la curva de coordenadas q ⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se analizó al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante . También podemos definir una base recíproca , o base curvilínea contravariante , b ⁱ . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de base, como se analiza en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y su recíproco en cada punto x .

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales.

Por definición, si una partícula sobre la que no actúan fuerzas tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inercial, ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  t ), entonces allí no tendrá aceleración (d ² x _j /d t ²  = 0). ^[15] En este contexto, un sistema de coordenadas puede no ser "inercial" ya sea debido a ejes de tiempo no rectos o ejes espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambas cosas. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en la mecánica clásica), pero también podemos optar por seguir considerando d ² x _j /d t ² como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos adicionales. como si fueran fuerzas, en cuyo caso se les llama fuerzas ficticias. ^[16] La componente de cualquier fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de curvatura de la trayectoria se denomina fuerza centrífuga . ^[17]

Este contexto más general deja clara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en sistemas de coordenadas giratorios y en sistemas de coordenadas curvilíneos estacionarios. (Ambos conceptos aparecen con frecuencia en la literatura. ^{[18] [19] [20]} ) Para un ejemplo simple, considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w en relación con un sistema de coordenadas polares. girando con velocidad angular W. La ecuación radial de movimiento es mr ” =  F _r  +  mr ( w  +  W ) ² . Por tanto, la fuerza centrífuga es mr multiplicado por el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A  =  w  +  W de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W  =  A y w  = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA ² , mientras que si elegimos un sistema de coordenadas estacionario tenemos W  = 0 y w  =  A , en cuyo caso la fuerza centrífuga vuelve a ser mrA ² . La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula cambian en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son en realidad dos formas diferentes de describir exactamente la misma cosa, una descripción en términos de coordenadas giratorias y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, las cuales son no inerciales según el significado más abstracto de ese término. .

Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en centrífugo y Coriolis Los componentes cambian constantemente. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas estacionarias o giratorias.

Ver también

• Covarianza y contravarianza
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Casos especiales:
  • Coordenadas ortogonales
  • Coordenadas sesgadas
• Tensores en coordenadas curvilíneas
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Derivada covariante
• Derivada tensorial (mecánica continua)
• Perspectiva curvilínea
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas

Referencias

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. Simmonds, JG (1994). Un resumen sobre el análisis de tensores . Saltador. ISBN 0-387-90639-8.
3. Boothby, WM (2002). Introducción a las variedades diferenciales y la geometría de Riemann (edición revisada). Nueva York, Nueva York: Academic Press.
4. McConnell, AJ (1957). Aplicación del Análisis Tensorial . Nueva York, NY: Dover Publications, Inc. Cap. 9, seg. 1.ISBN _ 0-486-60373-3.
5. Verde, AE; Zerna, W. (1968). Elasticidad Teórica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853486-8.
6. Ogden, RW (2000). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.
7. Naghdi, primer ministro (1972). "Teoría de conchas y placas". En S. Flügge (ed.). Manual de Física . vol. VIa/2. págs. 425–640.
8. Basar, Y.; Weichert, D. (2000). Mecánica numérica del continuo de sólidos: conceptos y perspectivas fundamentales . Saltador.
9. Ciarlet, PG (2000). Teoría de las Conchas . vol. 1. Ciencia de Elsevier.
10. Einstein, A. (1915). "Contribución a la Teoría de la Relatividad General". En Laczos, C. (ed.). La década de Einstein . pag. 213.ISBN _ 0-521-38105-3.
11. Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1973). Gravitación . WH Freeman y compañía ISBN 0-7167-0344-0.
12. Hoja verde, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). "Conductividades anisotrópicas que no pueden ser detectadas por EIT". Medición fisiológica . 24 (2): 413–419. doi :10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID  12812426.
13. Leonhardt, U.; Philbin, TG (2006). "Relatividad general en ingeniería eléctrica". Nueva Revista de Física . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . doi :10.1088/1367-2630/8/10/247.
14. Ogden
15. Friedman, Michael (1989). Los fundamentos de las teorías del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-07239-6.
16. Stommel, Henry M.; Moore, Dennis W. (1989). Introducción a la fuerza Coriolis . Prensa de la Universidad de Columbia. ISBN 0-231-06636-8.
17. Cerveza; Johnston (1972). Estática y Dinámica (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 485.ISBN _ 0-07-736650-6.
18. Hildebrand, Francisco B. (1992). Métodos de Matemática Aplicada. Dover. pag. 156.ISBN _ 0-13-579201-0.
19. McQuarrie, Donald Allan (2000). Mecánica estadística . Libros de ciencias universitarias. ISBN 0-06-044366-9.
20. Weber, Hans-Jurgen; Arfken, George Brown (2004). Métodos matemáticos esenciales para físicos . Prensa académica. pag. 843.ISBN _ 0-12-059877-9.

Otras lecturas

• Spiegel, señor (1959). Análisis vectorial . Nueva York: Serie de esquemas de Schaum. ISBN 0-07-084378-3.
• Arfken, George (1995). Métodos matemáticos para físicos . Prensa académica. ISBN 0-12-059877-9.

enlaces externos

• Planetmath.org Derivación de vectores unitarios en coordenadas curvilíneas
• Página de MathWorld sobre coordenadas curvilíneas
• Libro electrónico del Prof. R. Brannon sobre coordenadas curvilíneas
• Wikiversidad: Introducción a la Elasticidad/Tensores#La divergencia de un campo tensorial – Wikiversidad , Introducción a la Elasticidad/Tensores.