Base estándar

Vectores cuyos componentes son todos 0 excepto uno que es 1

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores base estándar i , j y k .

En matemáticas , la base estándar (también llamada base natural o base canónica ) de un espacio vectorial de coordenadas (como o ) es el conjunto de vectores, cada uno de cuyos componentes son todos cero, excepto uno que es igual a 1. ^[1] Por ejemplo, en el caso del plano euclidiano formado por los pares ( x , y ) de números reales , la base estándar está formada por los vectores. De manera similar, la base estándar para el espacio tridimensional está formada por los vectores. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$$

Aquí el vector e _x apunta en la _dirección x , el vector ey apunta en la dirección y , y el vector e _z apunta en la dirección z . Existen varias notaciones comunes para _los vectores de base estándar, incluyendo { e _x ,  ey ,  _ez }, { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k }, y { x ,  y ,  z }. Estos vectores a veces se escriben con un sombrero para enfatizar su estado como vectores unitarios ( vectores unitarios estándar ).

Estos vectores son una base en el sentido de que cualquier otro vector puede expresarse únicamente como una combinación lineal de estos. ^[2] Por ejemplo, cada vector v en el espacio tridimensional puede escribirse únicamente como los escalares ,  ,  que son los componentes escalares del vector v . $${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

En el espacio euclidiano de n dimensiones , la base estándar consta de n vectores distintos , donde e _i denota el vector con un 1 en la coordenada i y 0 en el resto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$

Las bases estándar se pueden definir para otros espacios vectoriales , cuya definición involucra coeficientes , como polinomios y matrices . En ambos casos, la base estándar consiste en los elementos del espacio tales que todos los coeficientes excepto uno son 0 y el distinto de cero es 1. Para los polinomios, la base estándar consiste en los monomios y se denomina comúnmente base monomial . Para las matrices , la base estándar consiste en las m × n -matrices con exactamente una entrada distinta de cero, que es 1. Por ejemplo, la base estándar para matrices 2 × 2 está formada por las 4 matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Propiedades

Por definición, la base estándar es una sucesión de vectores unitarios ortogonales . En otras palabras, es una base ordenada y ortonormal .

Sin embargo, una base ortonormal ordenada no es necesariamente una base estándar. Por ejemplo, los dos vectores que representan una rotación de 30° de la base estándar 2D descrita anteriormente, es decir, también son vectores unitarios ortogonales, pero no están alineados con los ejes del sistema de coordenadas cartesianas , por lo que la base con estos vectores no cumple con la definición de base estándar. $${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,}$$ $${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,}$$

Generalizaciones

Existe también una base estándar para el anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo , es decir, los monomios .

Todos los anteriores son casos especiales de la familia indexada donde es un conjunto cualquiera y es el delta de Kronecker , igual a cero siempre que i ≠ j e igual a 1 si i = j . Esta familia es la base canónica del módulo R ( módulo libre ) de todas las familias desde I hasta un anillo R , que son cero excepto para un número finito de índices , si interpretamos 1 como 1 _R , la unidad en R. ^[3 ] $${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle R^{(I)}}$$ $${\displaystyle f=(f_{i})}$$

Otros usos

La existencia de otras bases "estándar" se ha convertido en un tema de interés en la geometría algebraica , comenzando con el trabajo de Hodge de 1943 sobre los Grassmannianos . Ahora es una parte de la teoría de la representación llamada teoría monomial estándar . La idea de base estándar en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie está establecida por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

Las bases de Gröbner a veces también se denominan bases estándar.

En física , los vectores base estándar para un espacio euclidiano dado a veces se denominan versores de los ejes del sistema de coordenadas cartesianas correspondiente.

Véase también

• Unidades canónicas
• Ejemplos de espacios vectoriales § Espacio de coordenadas generalizado

Citas

1. Romano 2008, pág. 47, cap. 1.
2. Axler (2015) pág. 39-40, §2.29
3. Romano 2008, pág. 131, cap. 5.

Referencias

• Axler, Sheldon (2015) [18 de diciembre de 2014]. Álgebra lineal bien hecha . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer Publishing . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.(pagina 47)
• Ryan, Patrick J. (2000). Geometría euclidiana y no euclidiana: un enfoque analítico . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7.(pagina 198)
• Schneider, Philip J.; Eberly, David H. (2003). Herramientas geométricas para gráficos por computadora . Ámsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0.(pagina 112)