Marco de referencia giratorio

Concepto en mecánica clásica.

Un sistema de referencia giratorio es un caso especial de un sistema de referencia no inercial que gira con respecto a un sistema de referencia inercial . Un ejemplo cotidiano de sistema de referencia giratorio es la superficie de la Tierra . (Este artículo considera solo marcos que giran alrededor de un eje fijo. Para rotaciones más generales, consulte Ángulos de Euler ).

En el sistema de referencia inercial (parte superior de la imagen), la bola negra se mueve en línea recta. Sin embargo, el observador (punto rojo) que está parado en el marco de referencia giratorio/no inercial (parte inferior de la imagen) ve que el objeto sigue una trayectoria curva debido a las fuerzas de Coriolis y centrífugas presentes en este marco.

Fuerzas ficticias

Todos los sistemas de referencia no inerciales exhiben fuerzas ficticias ; Los marcos de referencia giratorios se caracterizan por tres: ^[1]

• la fuerza centrífuga ,
• la fuerza de Coriolis ,

y, para sistemas de referencia que giran de manera no uniforme,

• la fuerza de Euler .

Los científicos en una caja giratoria pueden medir la velocidad de rotación y el eje de rotación midiendo estas fuerzas ficticias. Por ejemplo, Léon Foucault pudo mostrar la fuerza de Coriolis que resulta de la rotación de la Tierra utilizando el péndulo de Foucault . Si la Tierra girara muchas veces más rápido, los humanos podrían sentir estas fuerzas ficticias, como lo hacen cuando están en un carrusel giratorio .

Fuerza centrífuga

En la mecánica clásica , la fuerza centrífuga es una fuerza hacia afuera asociada con la rotación . La fuerza centrífuga es una de las llamadas pseudofuerzas (también conocidas como fuerzas de inercia ), llamadas así porque, a diferencia de las fuerzas reales , no se originan en interacciones con otros cuerpos situados en el entorno de la partícula sobre la que actúan. En cambio, la fuerza centrífuga se origina en la rotación del marco de referencia dentro del cual se realizan las observaciones. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

fuerza Coriolis

La expresión matemática de la fuerza de Coriolis apareció en un artículo de 1835 del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis en relación con la hidrodinámica , y también en las ecuaciones de mareas de Pierre-Simon Laplace en 1778. A principios del siglo XX, comenzó el término fuerza de Coriolis. para ser utilizado en relación con la meteorología .

Quizás el sistema de referencia giratorio más común sea la Tierra . Los objetos en movimiento sobre la superficie de la Tierra experimentan una fuerza de Coriolis y parecen desviarse hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur . Los movimientos del aire en la atmósfera y del agua en el océano son ejemplos notables de este comportamiento: en lugar de fluir directamente desde áreas de alta presión a áreas de baja presión, como lo harían en un planeta que no gira, los vientos y las corrientes tienden a fluir hacia la derecha. de esta dirección al norte del ecuador , y a la izquierda de esta dirección al sur del ecuador. Este efecto es responsable de la rotación de los grandes ciclones (ver Efectos Coriolis en meteorología ).

fuerza de euler

En mecánica clásica , la aceleración de Euler (llamada así por Leonhard Euler ), también conocida como aceleración azimutal ^[8] o aceleración transversal ^[9] es una aceleración que aparece cuando se utiliza un sistema de referencia que gira de manera no uniforme para el análisis del movimiento y hay variación en la velocidad angular del eje del sistema de referencia . Este artículo está restringido a un marco de referencia que gira alrededor de un eje fijo.

La fuerza de Euler es una fuerza ficticia sobre un cuerpo que está relacionada con la aceleración de Euler por F  =  ma , donde a es la aceleración de Euler y m es la masa del cuerpo. ^{[10] [11]}

Relacionar marcos giratorios con marcos estacionarios

La siguiente es una derivación de las fórmulas para aceleraciones y fuerzas ficticias en un sistema giratorio. Comienza con la relación entre las coordenadas de una partícula en un sistema giratorio y sus coordenadas en un sistema inercial (estacionario). Luego, al tomar derivadas del tiempo, se derivan fórmulas que relacionan la velocidad de la partícula como se ve en los dos fotogramas y la aceleración relativa a cada fotograma. Utilizando estas aceleraciones, las fuerzas ficticias se identifican comparando la segunda ley de Newton formulada en los dos marcos diferentes.

Relación entre posiciones en los dos marcos.

Para derivar estas fuerzas ficticias, es útil poder convertir entre las coordenadas del sistema de referencia giratorio y las coordenadas de un sistema de referencia inercial con el mismo origen. ^{[nota 1]} Si la rotación es alrededor del eje con una velocidad angular constante (entonces y lo que implica para alguna constante donde denota el ángulo en el plano formado en el tiempo por y el eje), y si los dos sistemas de referencia coinciden en tiempo (es decir , cuando se toma o algún otro múltiplo entero de ), la transformación de coordenadas giratorias a coordenadas inerciales se puede escribir ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z'=z}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$ ${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$

$${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$

$${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$

$${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

Este resultado se puede obtener a partir de una matriz de rotación .

Introduzca los vectores unitarios que representan los vectores básicos unitarios estándar en el marco giratorio. A continuación se encuentran las derivadas temporales de estos vectores unitarios. Supongamos que los marcos están alineados y el eje es el eje de rotación. Luego, para una rotación en sentido antihorario a través del ángulo : ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega t}$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$

${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

Por tanto, la derivada temporal de estos vectores, que giran sin cambiar de magnitud, es

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$

producto vectorial vectorial ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

Derivadas del tiempo en los dos fotogramas.

Introduzca vectores unitarios , que ahora representan vectores básicos unitarios estándar en el marco giratorio general. A medida que giran, permanecerán normalizados y perpendiculares entre sí. Si giran a una velocidad alrededor de un eje a lo largo del vector de rotación, entonces cada vector unitario del sistema de coordenadas giratorio (como o ) se rige por la siguiente ecuación: ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$

${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

Si es una función vectorial que se escribe como ^{[nota 2]} ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$

regla^{[12] [13]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Este resultado también se conoce como teorema de transporte en dinámica analítica y a veces también se lo denomina ecuación cinemática básica . ^[14]

Relación entre velocidades en los dos marcos.

La velocidad de un objeto es la derivada del tiempo de la posición del objeto, por lo que

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

La derivada temporal de una posición en un sistema de referencia giratorio tiene dos componentes, uno de la dependencia explícita del tiempo debido al movimiento del propio objeto en el sistema de referencia giratorio y otro de la propia rotación del marco. Aplicando el resultado del inciso anterior al desplazamiento las velocidades en los dos sistemas de referencia están relacionadas por la ecuación ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

donde subíndice significa el marco de referencia inercial y significa el marco de referencia giratorio. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$

Relación entre aceleraciones en los dos fotogramas.

La aceleración es la segunda derivada de la posición o la primera derivada de la velocidad.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

donde subíndice significa el marco de referencia inercial, el marco de referencia giratorio, y donde la expresión, nuevamente, en la expresión entre corchetes de la izquierda debe interpretarse como un operador que trabaja en la expresión entre corchetes de la derecha. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

Como , las primeras derivadas de dentro de cada marco, cuando se expresan con respecto a la base de, por ejemplo, el marco inercial, coinciden. Al realizar las diferenciaciones y reorganizar algunos términos se obtiene la aceleración relativa al sistema de referencia giratorio, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

donde es la aceleración aparente en el sistema de referencia giratorio, el término representa la aceleración centrífuga y el término es la aceleración de Coriolis . El último término, , es la aceleración de Euler y es cero en sistemas que giran uniformemente. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

Segunda ley de Newton en los dos marcos.

Cuando la expresión de la aceleración se multiplica por la masa de la partícula, los tres términos adicionales en el lado derecho dan como resultado fuerzas ficticias en el sistema de referencia giratorio, es decir, fuerzas aparentes que resultan de estar en un sistema de referencia no inercial. , en lugar de cualquier interacción física entre cuerpos.

Usando la segunda ley del movimiento de Newton obtenemos: ^{[1] [12] [13] [15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• la fuerza de coriolis
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• la fuerza centrífuga
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• y la fuerza de Euler
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

¿Dónde está la masa del objeto sobre el que actúan estas fuerzas ficticias ? Observe que las tres fuerzas desaparecen cuando el marco no gira, es decir, cuando ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Para completar, la aceleración inercial debida a fuerzas externas impresas se puede determinar a partir de la fuerza física total en el marco inercial (no giratorio) (por ejemplo, la fuerza de interacciones físicas como las fuerzas electromagnéticas ) utilizando la segunda ley de Newton en el marco inercial: ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

En otras palabras, para manejar las leyes del movimiento en un sistema de referencia giratorio: ^{[16] [17] [18]}

Trate las fuerzas ficticias como fuerzas reales y pretenda que está en un marco inercial.

—  Louis N. Hand, Janet D. Finch Mecánica analítica , pág. 267

Obviamente, un sistema de referencia giratorio es un caso de sistema no inercial. Por lo tanto, sobre la partícula, además de la fuerza real, actúa una fuerza ficticia... La partícula se moverá de acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton si la fuerza total que actúa sobre ella se toma como la suma de las fuerzas reales y ficticias.

—  HS Hans y SP Pui: Mecánica ; pag. 341

Esta ecuación tiene exactamente la forma de la segunda ley de Newton, excepto que además de F , la suma de todas las fuerzas identificadas en el marco inercial, hay un término adicional a la derecha... Esto significa que podemos continuar usando la segunda ley de Newton. en el marco no inercial siempre que estemos de acuerdo en que en el marco no inercial debemos agregar un término adicional similar a una fuerza, a menudo llamado fuerza de inercia .

—  John R. Taylor: Mecánica clásica ; pag. 328

Uso en resonancia magnética

Es conveniente considerar la resonancia magnética en un marco que gira a la frecuencia de Larmor de los espines. Esto se ilustra en la siguiente animación. También se puede utilizar la aproximación de onda giratoria .

Animación que muestra el marco giratorio. La flecha roja es un espín en la esfera de Bloch que precede en el marco del laboratorio debido a un campo magnético estático. En el marco giratorio, el giro permanece quieto hasta que un campo magnético que oscila resonantemente impulsa la resonancia magnética.

Ver también

• rotación absoluta
• Fuerza centrífuga (marco de referencia giratorio) Fuerza centrífuga vista desde sistemas que giran alrededor de un eje fijo
• Mecánica del movimiento de partículas planas Fuerzas ficticias exhibidas por una partícula en movimiento plano tal como las ven la propia partícula y los observadores en un marco de referencia co-rotativo.
• Fuerza de Coriolis El efecto de la fuerza de Coriolis sobre la Tierra y otros sistemas giratorios.
• Marco de referencia inercial
• Marco no inercial
• Fuerza ficticia Un tratamiento más general del tema de este artículo.

Referencias

1. Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Saltador. pag. 130.ISBN _ 978-0-387-96890-2.
2. Robert Resnick y David Halliday (1966). Física . Wiley. pag. 121.ISBN _ 0-471-34524-5.
3. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos. Saltador. pag. 251.ISBN _ 0-387-98643-X.
4. John Robert Taylor (2005). Mecanica clasica. Libros de ciencias universitarias. pag. 343.ISBN _ 1-891389-22-X.
5. Stephen T. Thornton y Jerry B. Marion (2004). "Capítulo 10". Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.). Belmont CA: Brook/Cole. ISBN 0-534-40896-6. OCLC  52806908.
6. David McNaughton. "Efectos centrífugos y Coriolis" . Consultado el 18 de mayo de 2008 .
7. David P. popa. «Marcos de referencia: La fuerza centrífuga» . Consultado el 26 de octubre de 2008 .
8. David Morín (2008). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 469.ISBN _ 978-0-521-87622-3. aceleración azimutal de Morin.
9. Grant R. Fowles y George L. Cassiday (1999). Mecánica analítica (6ª ed.). Editores de Harcourt College. pag. 178.
10. Richard H Battin (1999). Una introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica. Reston, VA: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . pag. 102.ISBN _ 1-56347-342-9.
11. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos. Saltador. pag. 251.ISBN _ 0-387-98643-X.
12. Cornelius Lanczos (1986). Los principios variacionales de la mecánica (reimpresión de la cuarta edición de 1970 ed.). Publicaciones de Dover . Capítulo 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
13. John R Taylor (2005). Mecanica clasica. Libros de ciencias universitarias. pag. 342.ISBN _ 1-891389-22-X.
14. Corless, Martín. «Cinemática» (PDF) . Apuntes del Curso de Aeromecánica I. Universidad de Purdue . pag. 213. Archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2012 . Consultado el 18 de julio de 2011 .
15. LD Landau y LM Lifshitz (1976). Mecánica (Tercera ed.). Butterworth-Heinemann. pag. 128.ISBN _ 978-0-7506-2896-9.
16. Louis N. Mano; Janet D. Finch (1998). Mecánica Analítica. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 267.ISBN _ 0-521-57572-9.
17. HS Hans y SP Pui (2003). Mecánica. Tata McGraw-Hill. pag. 341.ISBN _ 0-07-047360-9.
18. John R. Taylor (2005). Mecanica clasica. Libros de ciencias universitarias. pag. 328.ISBN _ 1-891389-22-X.

1. Entonces lo son funciones de y el tiempo De manera similar son funciones de y Que estos marcos de referencia tengan el mismo origen significa que para todos si y solo si ${\displaystyle x',y',z'}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x',y',z',}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0).}$
2. También lo son las coordenadas de con respecto al vector de base giratoria ( no se utilizan las coordenadas de con respecto al marco inercial). En consecuencia, en cualquier instante dado, la tasa de cambio de con respecto a estas coordenadas giratorias es . Por ejemplo, si y son constantes, entonces es solo uno de los vectores base giratorios y (como se esperaba) su tasa de cambio temporal con respecto a estas coordenadas de rotación son idénticas (por lo que la fórmula que se proporciona a continuación implica que la derivada en el momento de este vector de base de rotación es ); sin embargo, su tasa de cambio con respecto al marco inercial no giratorio no será constante excepto (por supuesto) en el caso en que no se mueva en el marco inercial (esto sucede, por ejemplo, cuando el eje de rotación está fijo como el eje - (asumiendo coordenadas estándar) en el marco inercial y también o ). ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.}$ ${\displaystyle f_{1}\equiv 1}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{3}\equiv 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)}$

enlaces externos

• Clip de animación que muestra escenas vistas desde un marco inercial y un marco de referencia giratorio, visualizando las fuerzas de Coriolis y centrífugas.