Aproximación de onda rotatoria

Model used in atom optics and magnetic resonance

La aproximación de onda rotatoria es una aproximación utilizada en óptica atómica y resonancia magnética . En esta aproximación, se ignoran los términos en un hamiltoniano que oscilan rápidamente. Esta es una aproximación válida cuando la radiación electromagnética aplicada está cerca de la resonancia con una transición atómica y la intensidad es baja. ^[1] Explícitamente, se ignoran los términos en los hamiltonianos que oscilan con frecuencias , mientras que se mantienen los términos que oscilan con frecuencias , donde es la frecuencia de la luz y es una frecuencia de transición. ${\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

El nombre de la aproximación se deriva de la forma del hamiltoniano en la imagen de interacción , como se muestra a continuación. Al cambiar a esta imagen, la evolución de un átomo debido al hamiltoniano atómico correspondiente se absorbe en el sistema ket , dejando solo la evolución debido a la interacción del átomo con el campo de luz a considerar. Es en esta imagen que los términos de oscilación rápida mencionados anteriormente pueden ignorarse. Dado que en cierto sentido la imagen de interacción puede considerarse como rotando con el sistema ket, solo se mantiene esa parte de la onda electromagnética que gira aproximadamente en conjunto; el componente que gira en sentido contrario se descarta.

La aproximación de onda rotatoria está estrechamente relacionada con la aproximación secular , pero es diferente de ella . ^[2]

Formulación matemática

Para simplificar, considere un sistema atómico de dos niveles con estados fundamental y excitado y , respectivamente (usando la notación de corchetes de Dirac ). Sea la diferencia de energía entre los estados de manera que sea la frecuencia de transición del sistema. Entonces, el hamiltoniano no perturbado del átomo se puede escribir como ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

Supongamos que el átomo experimenta un campo eléctrico clásico externo de frecuencia , dada por ; por ejemplo, una onda plana que se propaga en el espacio. Entonces, bajo la aproximación dipolar, el hamiltoniano de interacción entre el átomo y el campo eléctrico se puede expresar como ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$,

donde es el operador del momento dipolar del átomo. El hamiltoniano total para el sistema átomo-luz es por lo tanto El átomo no tiene un momento dipolar cuando está en un estado propio de energía , por lo que Esto significa que la definición permite escribir el operador dipolar como ${\displaystyle {\vec {d}}}$ ${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ ${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$ ${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

(con la denotación del complejo conjugado ). Se puede demostrar entonces que el hamiltoniano de interacción es ${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

donde es la frecuencia de Rabi y es la frecuencia de contrarrotación. Para ver por qué los términos se llaman contrarrotantes, considere una transformación unitaria a la interacción o imagen de Dirac donde el hamiltoniano transformado está dado por ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

¿Dónde está la desafinación entre el campo de luz y el átomo? ${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$

Haciendo la aproximación

Sistema de dos niveles en resonancia con un campo de conducción con (azul) y sin (verde) aplicación de la aproximación de onda rotatoria.

Este es el punto en el que se realiza la aproximación de onda rotatoria. Se ha asumido la aproximación dipolar y, para que siga siendo válida, el campo eléctrico debe estar cerca de la resonancia con la transición atómica. Esto significa que y las exponenciales complejas que se multiplican y pueden considerarse como oscilantes rápidas. Por lo tanto, en cualquier escala de tiempo apreciable, las oscilaciones promediarán rápidamente a 0. La aproximación de onda rotatoria es, por lo tanto, la afirmación de que estos términos pueden ignorarse y, por lo tanto, el hamiltoniano puede escribirse en la imagen de interacción como ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Finalmente, transformando nuevamente a la imagen de Schrödinger , el hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Otro criterio para la aproximación de ondas rotatorias es la condición de acoplamiento débil, es decir, la frecuencia de Rabi debe ser mucho menor que la frecuencia de transición. ^[1]

En este punto, la aproximación de onda rotatoria está completa. Un primer paso común después de esto es eliminar la dependencia temporal restante en el hamiltoniano mediante otra transformación unitaria.

Derivación

Dadas las definiciones anteriores, el hamiltoniano de interacción es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

como se indicó. El siguiente paso es encontrar el hamiltoniano en la imagen de interacción , . La transformación unitaria requerida es ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$,

donde el tercer paso se puede demostrar utilizando una expansión en serie de Taylor y utilizando la ortogonalidad de los estados y . Nótese que una multiplicación por una fase general de en un operador unitario no afecta la física subyacente, por lo que en los usos posteriores de la ignoraremos. La aplicación da: ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

Ahora aplicamos el RWA eliminando los términos contrarrotativos como se explicó en la sección anterior:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

Finalmente, transformamos el hamiltoniano aproximado en la imagen de Schrödinger: ${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

El hamiltoniano atómico no se vio afectado por la aproximación, por lo que el hamiltoniano total en la imagen de Schrödinger bajo la aproximación de onda rotatoria es

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Referencias

1. Wu, Ying; Yang, Xiaoxue (2007). "Teoría de acoplamiento fuerte de sistemas de dos niveles impulsados ​​periódicamente". Physical Review Letters . 98 (1): 013601. Bibcode :2007PhRvL..98a3601W. doi :10.1103/PhysRevLett.98.013601. ISSN  0031-9007. PMID  17358474.
2. Mäkelä, H.; Möttönen, M. (13 de noviembre de 2013). "Efectos de las aproximaciones de onda rotatoria y secular sobre la no-Markovianidad". Physical Review A . 88 (5): 052111. arXiv : 1306.6301 . doi :10.1103/PhysRevA.88.052111.