Teorema de transporte

El teorema de transporte (o ecuación de transporte , teorema de transporte de tasa de cambio o ecuación cinemática básica o fórmula de Bour, nombrada así por: Edmond Bour ) es una ecuación vectorial que relaciona la derivada temporal de un vector euclidiano evaluado en un sistema de coordenadas no rotatorio con su derivada temporal en un marco de referencia rotatorio . Tiene importantes aplicaciones en mecánica clásica y dinámica analítica y diversos campos de la ingeniería. Un vector euclidiano representa una cierta magnitud y dirección en el espacio que es independiente del sistema de coordenadas en el que se mide. Sin embargo, al tomar una derivada temporal de dicho vector, en realidad se toma la diferencia entre dos vectores medidos en dos tiempos diferentes t y t+dt . En un sistema de coordenadas rotatorio, los ejes de coordenadas pueden tener direcciones diferentes en estos dos tiempos, de modo que incluso un vector constante puede tener una derivada temporal distinta de cero. Como consecuencia, la derivada temporal de un vector medido en un sistema de coordenadas rotatorio puede ser diferente de la derivada temporal del mismo vector en un sistema de referencia no rotatorio. Por ejemplo, el vector de velocidad de un avión evaluado utilizando un sistema de coordenadas que está fijo a la tierra (un sistema de referencia rotatorio) es diferente de su velocidad evaluada utilizando un sistema de coordenadas que está fijo en el espacio. El teorema de transporte proporciona una manera de relacionar las derivadas temporales de los vectores entre un sistema de coordenadas rotatorio y uno no rotatorio; se deriva y explica con más detalle en el marco de referencia rotatorio y se puede escribir como: ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Aquí f es el vector cuya derivada respecto del tiempo se evalúa tanto en el sistema de coordenadas giratorio como en el no giratorio. El subíndice r designa su derivada respecto del tiempo en el sistema de coordenadas giratorio y el vector Ω es la velocidad angular del sistema de coordenadas giratorio.

El teorema de transporte es particularmente útil para relacionar velocidades y vectores de aceleración entre sistemas de coordenadas rotatorios y no rotatorios. ^[4]

La referencia ^[2] afirma: "A pesar de su importancia en la mecánica clásica y su aplicación ubicua en ingeniería, no existe un nombre universalmente aceptado para la fórmula de transformación de la derivada de Euler [...] Se utilizan varios términos: teorema cinemático, teorema de transporte y ecuación de transporte. Estos términos, aunque terminológicamente correctos, son más frecuentes en el tema de la mecánica de fluidos para referirse a conceptos de física completamente diferentes". Un ejemplo de un concepto de física tan diferente es el teorema de transporte de Reynolds .

Derivación

Sean los vectores base de , como se ven desde el marco de referencia , y denotemos los componentes de un vector en por simplemente . Sea ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}:=T_{B}^{E}{\boldsymbol {e}}_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle G:=T'\cdot T^{-1}}$

de modo que esta transformación de coordenadas se genera , en el tiempo, según . Una ecuación diferencial generadora de este tipo es importante para las trayectorias en la teoría de grupos de Lie . Aplicando la regla del producto con la convención de suma implícita , ${\displaystyle T'=G\cdot T}$

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}'=(f_{i}{\boldsymbol {b}}_{i})'=(f_{i}T)'{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'T+f_{i}G\cdot T)\,{\boldsymbol {e}}_{i}=(f_{i}'+f_{i}G)\,{\boldsymbol {b}}_{i}=\left(\left({\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{B}+G\right){\boldsymbol {f}}}$

Para los grupos de rotación , se tiene . En tres dimensiones, , el generador es entonces igual a la operación del producto vectorial desde la izquierda, una función lineal antisimétrica para cualquier vector . Como matriz, también está relacionada con el vector visto desde ${\displaystyle {\mathrm {SO} }(n)}$ ${\displaystyle T_{E}^{B}:=(T_{B}^{E})^{-1}=(T_{B}^{E})^{T}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }{\boldsymbol {g}}:={\boldsymbol {\Omega }}_{E}\times {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {\Omega }}_{E}]_{\times }=[T_{B}^{E}{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }=T_{B}^{E}\cdot [{\boldsymbol {\Omega }}_{B}]_{\times }\cdot T_{E}^{B}}$

Referencias

1. Rao, Anil Vithala (2006). Dinámica de partículas y cuerpos rígidos: un enfoque sistemático . Nueva York: Cambridge University Press . Págs. 47, ec. (2–128). ISBN . 978-0-511-34840-2.
2. Harithuddin, ASM (2014). Cinemática derivada en sistemas de coordenadas de rotación relativa: investigación sobre la aceleración de Razi. Universidad RMIT. pág. 22.
3. Baruh, H. (1999). Dinámica analítica . McGraw Hill .
4. "Apuntes del curso MIT" (PDF) .