Teselado pentagonal
Los recubrimientos a base de piezas pentagonales convexas del mismo tamaño (los denominados teselados pentagonales monoedrales convexos) se convirtieron en objeto de investigación geométrica a comienzos del siglo XX.
En este período, se han ido descubriendo quince tipos de teselados pentagonales monoedrales convexos distintos, estando pendiente a finales del año 2017 la confirmación definitiva de la demostración formulada por el matemático francés Michaël Rao, de que no es posible que exista ningún otro tipo más.
A pesar de ello, los pentágonos regulares pueden recubrir tanto una superficie hiperbólica como una esfera.
[1] El más reciente se descubrió en 2015.Rao (2017) ha demostrado que la lista está completa (aunque el resultado está siendo sometido a revisión por pares).Bagina (2011) demostró que solo hay ocho tipos de teselas convexas del tipo borde-a-borde, un resultado también obtenido independientemente por Sugimoto (2012).
[6] En diciembre de 2017, la prueba todavía no había sido plenamente revisada.
Cada familia enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo.
En el límite, los bordes pueden tener longitudes que se aproximan a cero o ángulos casi de 180°.
Los tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 13 permiten posibilidades paramétricas con prototeselas no convexas (es decir, con algún ángulo interno negativo).
Esta nomenclatura es utilizada en los esquemas siguientes, donde las teselas son también coloreadas por sus posiciones k-isoedrales dentro de la simetría.
Una celda unidad es una sección del teselado que genera el recubrimiento entero utilizando únicamente traslaciones, y es tan pequeña como sea posible.
Quince de los otros dieciocho teselados son casos especiales del tipo 1.
Existen numerosas topologías de teselas que contienen pentágonos del tipo 1.
Si las prototeselas imagen especular de otras (amarillas y verdes) se consideran distintas, la simetría es p2 (2222).
Kershner (1968) encontró tres tipos más de teselas pentagonales, llevando el total a ocho.
La simetría pgg queda reducida a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
La simetría pgg queda reducida a p2 cuando los pares quirales se consideran distintos.
La simetría pgg queda reducida a p2 cuando los pares quirales son considerados distintos.
Su simetría es pgg (22×), y p2 (2222) si se consideran distintos los pares quirales.
Por ejemplo, estos teselados 2, 3, 4, y 5-uniformes duales son todos pentagonales:[24][25] Los pentágonos tienen una relación peculiar con los hexágonos.
Como se puede ver gráficamente en lls ejemplos siguientes, algunos tipos de hexágonos pueden ser subdividos en pentágonos.
Por ejemplo: Teselación del plano mediante una única prototesela pentagonal (tipo 1) que rellena un hexágono regular (cada uno comprende 2 pentágonos).
Teselación del plano mediante una única prototesela pentagonal (tipo 3) que rellena un hexágono regular (cada uno comprende 3 pentágonos).
Teselación del plano mediante una única prototesela pentagonal (tipo 4) que rellena un hexágono regular (cada uno comprende 4 pentágonos).
Teselación del plano mediante una única prototesela pentagonal (tipo 3) que rellena dos tamaños de hexágonos regulares (cada uno comprende 3 y 9 pentágonos respectivamente).
Es posible dividir un triángulo equilátero en tres pentágonos no convexos congruentes, coincidentes en el centro del triángulo, capaz de recubrir el plano con la celda unidad resultante compuesta por tres pentágonos.
[27] Un método similar consiste en subdividir cuadrados en cuatro pentágonos no convexos congruentes, o hexágonos regulares en seis pentágonos no convexos congruentes, y entonces recubrir el plano con la unidad resultante.
El orden más alto de teselado regular {5,n} puede ser construido en el plano hiperbólico, acabando en {5,∞}.
Existe un número infinito de teselados uniformes en el plano hiperbólico con caras pentagonales isogonales irregulares.
