En matemáticas, específicamente en teoría del orden y en análisis funcional, un retículo vectorial localmente convexo es un retículo vectorial topológico que también es un espacio localmente convexo.
[1] Estos retículos son importantes en la teoría de los retículos vectoriales topológicos.
El funcional de Minkowski de un conjunto convexo, absorbente y sólido se denomina 'seminorma del retículo.
De manera equivalente, es una seminorma
La topología de un retículo vectorial localmente convexo es generada por la familia de todas las seminormas de retículos continuos.
[1] Cada retículo vectorial localmente convexo posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados, sólidos y absorbentes.
[1] El dual fuerte de un retículo vectorial localmente convexo
es un retículo vectorial localmente convexo de orden completo (bajo su orden canónico) y es un subespacio sólido del orden dual de
es una banda en el orden dual de
y el dual fuerte de
es un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo y completo.
[1] Si un retículo vectorial localmente convexo es barrilado, entonces su espacio dual fuerte está completo (esto no es necesariamente cierto si el espacio es simplemente un espacio barrilado localmente convexo, pero no un retículo vectorial localmente convexo).
[1] Si un retículo vectorial localmente convexo
es semirreflexivo, entonces tiene el orden completo y
Además, si todo funcional lineal positivo en
es igual a la topología de Mackey
[1] Cada retículo vectorial localmente convexo reflexivo posee orden completo y un EVT localmente convexo completo cuyo dual fuerte es un EVT localmente convexo reflexivo barrilado que se puede identificar en la aplicación de evaluación canónica con el bidual fuerte (es decir, el dual fuerte del dual fuerte).
[1] Si un retículo vectorial localmente convexo
es un EVT infrabarrilado, entonces se puede identificar en la aplicación de evaluación con un subretículo vectorial topológico de su bidual fuerte, que es una retículo vectorial localmente convexo de orden completo según su orden canónico.
es un espacio vectorial topológico ordenado localmente convexo, metrizable y separable cuyo cono positivo
es un subconjunto completo y total de
es un retículo vectorial localmente convexo con orden completo con topología
) y orden canónico (bajo el cual se convierte en un retículo vectorial de orden completo localmente convexo).
Los siguientes enunciados son equivalentes: Corolario[1]Sea
Los siguientes enunciados son equivalentes: Además, si
es la topología localmente convexa más fina en
para la cual converge cada filtro de orden convergente.
es un retículo vectorial localmente convexo que es bornológico y secuencialmente completo, entonces existe una familia de espacios compactos
es la topología localmente convexa más fina en