De hecho, en la teoría relatividad general no existe una única definición de la noción de masa, sino que existen varias definiciones diferentes que extienden el concepto newtoniano y que sólo son aplicables en circunstancias especiales.
Así, las definiciones rigurosas de la masa en la relatividad general no son locales, como en la mecánica clásica o en la relatividad especial, sino que hacen referencia a la naturaleza asintótica del espaciotiempo.
Sin embargo, estas definiciones deben utilizarse con precaución en casos más complicados.
En la relatividad especial, la masa en reposo de una partícula puede definirse inequívocamente en términos de su energía y su momento, tal y como se describe en el artículo sobre masa en la relatividad especial.
La razón principal es que el propio campo gravitatorio contribuye a la energía y al momento lineal.
Resulta que, al menos para los espacios-tiempo que son asintóticamente plano (en términos generales, que representan algún sistema gravitatorio aislado en un espacio infinito, por lo demás vacío y sin gravedad), el ADM 3+1 conduce a una solución: al igual que en el formalismo hamiltoniano habitual, la dirección del tiempo utilizada en esa división tiene una energía asociada, que puede integrarse para dar lugar a una cantidad global conocida como masa ADM (o, equivalentemente, energía ADM).
[3] Alternativamente, existe la posibilidad de definir la masa para un espacio-tiempo estacionario, es decir, uno que tiene un campo vectorial de Killing similar al tiempo (que, como campo generador del tiempo, es canónicamente conjugado con la energía); el resultado es la llamada masa de Komar[4][5] Aunque se define de una manera totalmente diferente, se puede demostrar que es equivalente a la masa ADM para los espacios-tiempo estacionarios.
Con el tiempo, se espera utilizar una masa cuasi-local definida adecuadamente para dar una formulación más precisa de la conjetura del aro, demostrar la llamada desigualdad de Penrose para los agujeros negros (que relaciona la masa del agujero negro con el área del horizonte) y encontrar una versión cuasi-local de las leyes dinámicas para agujeros negros.
Por definición, un espaciotiempo estacionario presenta simetría de traslación temporal.
Dado que un sistema estacionario también tiene un marco de reposo bien definido en el que su momento puede considerarse nulo, la definición de la energía del sistema también define su masa.
La masa de Komar sólo puede definirse para sistemas estacionarios.
Esto es similar a la forma en que la ley de Gauss define la carga encerrada por una superficie como la fuerza eléctrica normal multiplicada por el área.
En términos del teorema de Noether, la energía, el momento lineal y la masa ADM se definen por las simetrías asintóticas en el infinito espacial, y la energía, el momento y la masa de Bondi se definen por las simetrías asintóticas en el infinito nulo.
Nótese que la masa se calcula como la longitud del cuadrivector de energía-momento, que puede considerarse como la energía y el momento del sistema "en el infinito".
Las desviaciones asintóticas de la métrica lejos del espacio plano pueden ser parametrizadas por donde
Se puede obtener alguna intuición para la fórmula anterior de la siguiente manera.
, como una superficie esférica de modo que la normal apunta radialmente hacia fuera.
El área de la esfera a gran radio también crece precisamente como
En el límite newtoniano, para sistemas cuasiestáticos en espacio-tiempos casi planos, se puede aproximar la energía total del sistema sumando los componentes no gravitacionales de la energía del sistema y luego restando la energía de enlace gravitacional "newtoniana".
Traduciendo la afirmación anterior al lenguaje de la relatividad general, decimos que un sistema en el espacio-tiempo casi plano tiene una energía total no gravitacional E y un momento P dado por: Cuando las componentes del vector de momento del sistema son cero, es decir, Pi = 0, la masa aproximada del sistema es justa (E+Ebinding)/c2, Ebinding siendo un número negativo que representa la energía de enlace gravitatoria newtoniana.
Se puede ver que las fórmulas para la energía total y el momento surgen naturalmente en este límite de la siguiente manera.
Pero usando las ecuaciones de movimiento, uno también puede escribir esto como donde la suma sobre j corre sólo sobre las direcciones espaciales y la segunda igualdad utiliza el hecho de que
que coincide precisamente con la fórmula para el momento total dada anteriormente.
El teorema de Noether ha sido extremadamente influyente en inspirar y unificar varias ideas de masa, energía del sistema y momento del sistema en la Relatividad General.
El teorema de Noether demuestra que tales espacios-tiempo estacionarios deben tener una energía conservada asociada.
Esta reformulación hizo mucho para aclarar la teoría, incluyendo la explicación de por qué el momento ADM y la energía ADM se transforman como un 4-vector (Held, 1980).
Tenga en cuenta que el grupo SPI es en realidad de dimensión infinita.
Los pseudotensores no son invariantes de gauge debido a esto, solo dan respuestas consistentes independientes del gauge para la energía total cuando se cumplen restricciones adicionales (como la planitud asintótica).
Debido a las peculiaridades de la relatividad general y su tratamiento del campo gravitatorio no existe una manera unívoca de construir una magnitud que represente la energía total conjunta de la materia y el espacio-tiempo que se conserve.
Por otro lado, aún en la teoría de la relatividad general para cierto tipo de sistemas muy especiales, puede construirse una magnitud asimilable a la energía total del sistema.