Formalismo ADM
El formalismo ADM, nombrado por sus autores Richard Arnowitt, Stanley Deser y Charles W. Misner, es una formulación hamiltoniana de la relatividad general que juega un papel importante en la gravedad cuántica y en la relatividad numérica.
[2] La revisión completa del formalismo que los autores publicaron en 1962[3] fue reeditada en la revista General Relativity and Gravitation,[4] mientras que los artículos originales se pueden encontrar en los archivos de Physical Review.
[2][5][6][7][8][9][10][11][12] El formalismo supone que el espacio-tiempo está foliado en una familia de superficies tipo espacio
Estos describen cómo están unidas cada una de las "hojas"
Las ecuaciones del movimiento para estas variables puede se pueden especificar libremente; esta libertad corresponde a la libertad para especificar la elección del sistema de coordenada en espacial y tiempo.
En esta sección, un superíndice (4) se antepone a las cantidades que típicamente tienen versiones tanto tridimensionales como cuadridimensionales, como el tensor métrico para las secciones tridimensionales
Este texto utiliza la notación de Einstein en la que se asume sumación en los índices repetidos.
El punto de partida para el ADM la formulación es el lagrangiano que es un producto de la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico cuadri-dimensional del espacio-tiempo completo y su escalar de Ricci.
La métrica de las secciones tridimensionales serán las coordenadas generalizadas para la formulación hamiltoniana.
Los momentos conjugados se calculan como utilizando definiciones y técnicas estándares.
son los símbolos de Christoffel asociados con la métrica del espacio-tiempo cuadridimensional completo.
El lapso y el vector desplazamiento son los elementos restantes del tensor métrico cuadri-dimensional.
Habiendo identificado las cantidades para la formulación, el próximo paso es reescribir el lagrangiano en términos de estas variables.
La expresión nueva para el lagrangiano se ha escrito oportunamente en términos de las dos cantidades nuevas y que son conocidos como la ligadura del hamiltoniano y la ligadura del momento respectivamente.
Notar también que el lapso y el desplazamiento aparecen en el lagrangiano como multiplicadores de Lagrange.
A pesar de que las variables en el lagrangiano representan el tensor métrico en espacios tridimensionales embebidos en el espacio-tiempo cuadridimensional, es posible y deseable utilizar los procedimientos habituales de mecánica lagrangiana para derivar "ecuaciones de movimiento" que describan la evolución temporal de la métrica
El resultado y es un conjunto no lineal de ecuaciones diferenciales parciales.
y las funciones métricas espaciales por operadores diferenciales funcionales lineales Más precisamente, la sustitución de las variables clásicas por operadoras está dictada por las relaciones de conmutación.
Para encontrar otras soluciones, hay un campo activo de estudio conocida como relatividad numérica, en la que se emplean supercomputadores para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones.
Los enfoques más comunes empiezan con un problema de valores iniciales basado en el formalismo ADM.
Naturalmente, esto es muy útil para la física numérica, porque la reducción del orden de ecuaciones diferenciales es necesaria al preparar las ecuaciones para un ordenador.
La energía ADM es una manera especial de definir la energía en relatividad general que solo es aplicable a algunas geometrías especiales del espacio-tiempo que tienden asintóticamente a un tensor métrico bien definido en el infinito — por ejemplo un espacio-tiempo que se aproxime asintóticamente al espacio de Minkowski.
La energía ADM en estos casos está definida como una función de la desviación del tensor métrico respecto de su forma asintótica.
En otras palabras, la energía ADM se calcula como la intensidad del campo gravitacional en el infinito.
Si la forma asintótica requerida es independiente del tiempo (como el espaciotiempo de Minkowski), entonces respeta la simetría bajo traslaciones temporales.
El teorema de Noether implica que la energía ADM se conserva.
Según la relatividad general, la ley de conservación para la energía total no es válida en espacio-tiempos más generales, dependientes del tiempo – por ejemplo, se viola completamente en la cosmología física.
