La acción de Einstein–Hilbert (también conocida como acción de Hilbert) en relatividad general es la acción que proporcionan las ecuaciones del campo de Einstein a través del principio de mínima acción.
Con la signatura (− + + +), la parte gravitacional de la acción está dada por[1] donde
es el determinante de la matriz del tensor métrico,
La integral se calcula sobre el espacio-tiempo entero si converge.
no está bien definida, pero una definición modificada donde se integra en dominios arbitrariamente grandes y relativamente compactos, todavía proporciona la ecuación de Einstein empleando la ecuación de Euler–Lagrange con la acción de Einstein–Hilbert.
La acción fue propuesta por primera vez por David Hilbert en 1915.
En el proceso, se identifica un candidato natural para el término de fuente que acopla la métrica con los campos de materia.
Además, la acción permite la identificación fácil de cantidades conservadas a través del teorema de Noether estudiando las simetrías de la acción.
La formulación de Palatini de la relatividad general supone la métrica y la conexión independientes, y la acción se varía con respecto a ambos independientemente, lo cual lo hace posible incluir campos fermiónicos de materia con espín no entero.
Se supone que la acción completa de la teoría está dada por la acción de Einstein–Hilbert plazo más un término
El principio de acción establece que la variación de esta acción con respecto al inverso de la métrica es cero, resultando Como esta ecuación tiene que ser válida para cualquier variación
, implica que es la ecuación de movimiento para el campo métrico.
, se puede calcular la variación del tensor de Riemann como Ahora bien, como
está dado por En la segunda línea utilizamos el resultado anteriormente obtenido para la variación del tensor de Ricci y la compatibilidad métrica de la derivada covariante,
pasa a ser una derivada exacta, ya que y así por el teorema de Stokes solamente produce un término de frontera al integrar.
se anula en el infinito, este término no contribuye a la variación de la acción.
Y así obtenemos, Aplicando la fórmula de Jacobi para derivar un determinante resulta: equivalentemente se podría transformar a un sistema de coordenadas donde
sea diagonal y allí aplicar la regla de producto para derivar el producto de factores en la diagonal principal.
Utilizando este conseguimos En la última igualdad utilizamos el hecho que que se sigue de la regla para derivar el inverso de una matriz Por ello concluimos que Ahora que tenemos todas las variaciones necesarias calculadas, podemos insertarlas en la ecuación de movimiento para el campo métrico para obtener, que es la ecuación de campo de Einstein, y se ha escogido para recuperar la ley de la gravedad newtoniana en el límite no relativista.
al lagrangiano, la acción[4] produce las ecuaciones de campo: