En relatividad general, específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein, se dice que un espacio-tiempo es estacionario si admite un vector de Killing que es asintóticamente temporal.
[1] En un espacio-tiempo estacionario, las componentes del tensor métrico,
, pueden elegirse de forma que todas sean independientes de la coordenada temporal.
son las tres coordenadas espaciales y
es el tensor métrico del espacio tridimensional.
es un escalar positivo que representa la norma del vector de Killing, es decir,
es un vector de tres componentes, llamado vector de torsión, que desaparece cuando el vector de Killing es hipersuperficialmente ortogonal.
Este último surge como las componentes espaciales del cuadrivector de torsión
(véase, por ejemplo,[2] p. 163) que es ortogonal al vector de Killing
El vector de torsión mide el grado en que el vector de Killing no es ortogonal a una familia de hipersuperficies tridimensionales.
Una torsión distinta de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo.
La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interesante interpretación geométrica.
Identificando los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita) se obtiene un espacio tridimensional (el colector de trayectorias de Killing)
Esta identificación, llamada proyección canónica,
es una aplicación que envía cada trayectoria dentro de
y, en consecuencia, son independientes del tiempo.
Así, la geometría de un espacio-tiempo estacionario no cambia en el tiempo.
se dice que el espacio-tiempo es estático.
Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo contrario no es generalmente cierto, ya que la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo.
En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein en el vacío
y, por tanto, coincide localmente con el gradiente de un escalar
es más conveniente utilizar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y momento angular,
En relatividad general el potencial de masa
desempeña el papel del potencial gravitatorio newtoniano.
Un potencial de momento angular no trivial
surge para las fuentes en rotación debido a la energía cinética rotacional que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitatorio.
La situación es análoga a la de un campo electromagnético estático en el que se tienen dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético.
En relatividad general, las fuentes giratorias producen un campo gravitomagnético que no tiene un análogo newtoniano.
{\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}
Estas ecuaciones constituyen el punto de partida para investigar las métricas estacionarias exactas del vacío.