Modelo de electrón libre
Dada su simplicidad, es sorprendente su éxito en explicar muchos fenómenos experimentales, especialmente: En el modelo de electrones libres se tienen en cuenta cuatro supuestos principales: [Ashcroft & Mermin 1] El nombre del modelo proviene de los dos primeros supuestos, ya que cada electrón puede tratarse como una partícula libre con una respectiva relación cuadrática entre energía y momento.
La red cristalina no se tiene en cuenta explícitamente en el modelo del electrón libre, pero un año después (1928) el teorema de Bloch dio una justificación mecánica cuántica: un electrón libre se mueve en un potencial periódico como un electrón libre en el vacío, excepto la masa del electrón m e se convierte en una masa efectiva m* que puede desviarse considerablemente de m e (incluso se puede usar una masa efectiva negativa para describir la conducción por los huecos de los electrones).
Muchas propiedades físicas se derivan directamente del modelo Drude, ya que algunas ecuaciones no dependen de la distribución estadística de las partículas.
Otras cantidades que permanecen iguales bajo el modelo del electrón libre que bajo el de Drude son la susceptibilidad AC, la frecuencia del plasma, la magnetorresistencia y el coeficiente Hall relacionado con el efecto Hall.
[Ashcroft & Mermin 4] Muchas propiedades del modelo de electrones libres se derivan directamente de ecuaciones relacionadas con el gas de Fermi, ya que la aproximación del electrón independiente conduce a un conjunto de electrones que no interactúan.
) también se puede calcular integrando sobre el espacio de fases del sistema, obtenemos [Ashcroft & Mermin 7]
Termodinámicamente, esta energía del gas de electrones corresponde a una presión de temperatura cero dada por [Ashcroft & Mermin 8]
es la energía total, la derivada realizada a temperatura y potencial químico constantes.
Esta presión define la compresibilidad o módulo de volumen del metal [Ashcroft & Mermin 9]
Esta expresión da el orden de magnitud correcto para el módulo volumétrico de metales alcalinos y metales nobles, lo que muestra que esta presión es tan importante como otros efectos dentro del metal.
Para otros metales hay que tener en cuenta la estructura cristalina.
Según el teorema de Bohr-Van Leeuwen, un sistema clásico en equilibrio termodinámico no puede tener una respuesta magnética.
Esta última contribución es tres veces mayor en valor absoluto que la contribución diamagnética y proviene del espín del electrón, un grado de libertad cuántico intrínseco que puede tomar dos valores discretos y está asociado al momento magnético del electrón.
En el caso de los metales que son buenos conductores, se esperaba que los electrones contribuyeran también a la capacidad calorífica.
El cálculo clásico utilizando el modelo de Drude, basado en un gas ideal, proporciona una capacidad calorífica volumétrica dada por
Sin embargo, nunca se midió una contribución adicional tan grande a la capacidad calorífica de los metales, lo que generó sospechas sobre el argumento anterior.
Con la adición de este último, la capacidad calorífica volumétrica de un metal a bajas temperaturas se puede escribir con mayor precisión en la forma [Ashcroft & Mermin 11]
El término lineal proviene de la contribución electrónica mientras que el término cúbico proviene del modelo de Debye.
A alta temperatura, esta expresión ya no es correcta, la capacidad calorífica electrónica puede despreciarse y la capacidad calorífica total del metal tiende a una constante dada por la ley de Dulong-petit.
[Ashcroft & Mermin 12] El camino libre medio no es entonces el resultado de colisiones electrón-ion, sino que está relacionado con imperfecciones en el material, ya sea debido a defectos e impurezas en el metal, o debido a fluctuaciones térmicas.
para partículas libres, que es proporcional a la capacidad calorífica y al camino libre medio que dependen del modelo (
[Ashcroft & Mermin 13] Esto implica que la relación entre la conductividad térmica y eléctrica viene dada por la ley de Wiedemann-Franz,
V 2 /K 2 mientras que la predicción de Drude está equivocada en aproximadamente la mitad del valor, lo cual no es una gran diferencia.
[Ashcroft & Mermin 15] Mientras que estos últimos obtienen un coeficiente que es lineal en temperatura y proporciona valores absolutos mucho más precisos, del orden de unas pocas decenas de µV/K a temperatura ambiente.
[Ashcroft & Mermin 16] [Ashcroft & Mermin 15] Sin embargo, este modelo no logra predecir el cambio de signo [Ashcroft & Mermin 17] de la termoenergía en el litio y metales nobles como el oro y la plata.
[3] El modelo de electrones libres presenta varias deficiencias que la observación experimental contradice.
A continuación, enumeramos algunas imprecisiones: [Ashcroft & Mermin 18] Otras deficiencias están presentes en la ley de Wiedemann-Franz a temperaturas intermedias y en la dependencia de la frecuencia de los metales en el espectro óptico.
[Ashcroft & Mermin 20] La interacción de intercambio está totalmente excluida de este modelo y su inclusión puede dar lugar a otras respuestas magnéticas como el ferromagnetismo.
[Ashcroft & Mermin 21] Agregar interacciones repulsivas entre electrones no cambia mucho la imagen presentada aquí.
Lev Landau demostró que un gas de Fermi, sometido a interacciones repulsivas, puede verse como un gas de cuasipartículas equivalentes que modifican ligeramente las propiedades del metal.
