Un gas de Fermi es en un modelo físico, un sistema ideal de fermiones libres, es decir, que no interactúan entre sí, a diferencia de un líquido de Fermi,[1] en el que sí existen interacciones..
Puesto que protones, neutrones y electrones están descritos por la estadística de Fermi, se pueden describir en una primera aproximación con este modelo de gas de Fermi los nucleones en el interior del núcleo atómico, los neutrones en una estrella de neutrones o los electrones de conducción de un metal o semiconductor.
[2] Por lo tanto la energía total del gas de Fermi en el cero absoluto es mayor que la suma de las energías de los estados fundamentales de las partículas aisladas, debido a que el principio de Pauli actúa como una especie de interacción/presión que mantiene a los fermiones separados y en movimiento.
Sólo cuando una estrella es suficientemente masiva para superar la presión de degeneración puede colapsar en una singularidad.. Es posible definir una temperatura de Fermi, por debajo del cual el gas se puede considerar degenerado (la presión se deriva casi exclusivamente del principio de Pauli).
Dado que las interacciones entre partículas no existen por definición, el problema del tratamiento de las propiedades de equilibrio y el comportamiento dinámico de un gas de Fermi se reduce al estudio del comportamiento de las partículas individuales independientes.
donde N es el número total de partículas del gas.
A partir de aquí se puede determinar el potencial termodinámico.
expresada en términos de autovalores (es decir los valores de energía accesibles al sistema):
Teniendo en cuenta la degeneración de espín
y por tanto se tiene para la distribución de Fermi: (5)
Más precisamente integrando la ecuación anterior (5) en
se obtiene la distribución del impulso: (6)
, se deduce fácilmente la distribución de energía: (7)
El número total de partículas se obtiene integrando la expresión (7): (8)
mientras que a partir de la (6) se obtiene la energía: (9)
Se puede obtener el potencial termodinámico a partir de la (7): (10)
que coincide con la energía excepto en un factor: (11)
que es una relación del todo general que vale para todos los sistemas o distribuciones, sean de Bose, de Fermi o de Boltzmann.
), por ejemplo, electrones, a una temperatura absoluta
; los electrones a tal temperatura tratan de ponerse en los estados de menor energía de modo que la energía total alcance el valor más bajo posible, partiendo del estado de energía nula, hasta un cierto valor.
El número de estados cuánticos de un electrón en un volumen V, con impulso comprendido en el intervalo
Los electrones ocupan todos los estados con impulso igual a cero (nótese que
El número total de electrones en estos estados viene dado por: (13)
Esto se puede ver también en los números de ocupación medios (1).
es decir los números de ocupación medios se convierten en una función a intervalos haciendo pensar en el hecho de que para
los electrones se disponen a partir del nivel
no hay más electrones que ordenar.
La energía total del gas de Fermi completamente degenerado se obtiene de la integración: (17)
Al fin, usando la relación general (11), se obtiene:
es decir: la presión es proporcional a la densidad según la potencia 5/3.