Dicha función, para un gas de Bose está dada por:[3] Cada término en el producto corresponde a una energía particular εi , gi es el número de estados con energía εi y z es la actividad absoluta (o «fugacidad»), la cual puede expresarse también en términos del potencial químico μ definiendo:[4] y β definida como:[5] donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura.Consideraremos a todas las cantidades termodinámicas como funciones de únicamente tres variables z , β (o T ), y V.Es más conveniente trabajar con el gran potencial adimensional, definido como:[6] En el modelo de Thomas-Fermi, se hace la suposición de que la energía promedio es mucho mayor a la diferencia entre los diferentes niveles por lo cual, la suma en la ecuación anterior puede aproximarse como una integral:[7] La degeneración dg puede expresarse en muchas situaciones diferentes con la fórmula general: donde α es una constante,El número total de partículas se encuentra a partir del gran potencial: El término que contiene el polilogaritmo debe ser siempre real y positivo, y el máximo valor posible ocurre a z =1 , que es donde tiene el valor de ζ(α), con ζ la función zeta de Riemann.El problema aquí es que la aproximación de Thomas-Fermi fija la degeneración del estado base en cero, lo cual es incorrecto.No hay un estado base acorde al condensado, y por lo tanto la ecuación deja de ser válida.Resulta, sin embargo, que la ecuación anterior da una estimación bastante precisa del número de partículas en los estados excitados.Entonces, no es mala aproximación simplemente introducir un término para el estado base: donde N0 es el número de partículas del condensado en el estado base: Ahora, esta ecuación puede resolverse para una temperatura de cero absoluto.Conforme el número de partículas se incrementa, las fracciones condensadas y excitadas tienden a una discontinuidad en la temperatura crítica.Por ejemplo, la relación entre energía interna y el producto de la presión y el volumen es la misma que para el gas ideal clásico a toda temperatura: Ocurre una situación similar para el calor específico a volumen constante: La entropía está dada por: Nótse que en el límite para altas temperaturas se tiene que lo cual, para α=3/2, es simplemente una reformulación de la ecuación de Sackur-Tetrode.La energía libre de bulto y los potenciales termodinámicos fueron calculados por Chen Nin Yang.Se han evaluado también funciones de correlación para el caso unidimensional.
Figura 1: Varios parámetros para un gas de Bose como función de la temperatura normalizada
τ
. El valor de α es 3/2. Las líneas sólidas corresponden a
N
= 10.000, las líneas son para
N
= 1000. Las líneas negras son la fracción de partículas excitadas, las azules son la fracción de partículas condensadas. El negativo del
potencial químico
μ
se muestra en rojo, y las líneas verdes son los valores de
z
. Se ha supuesto que
k
=
ε
c
= 1.
