Ecuación de Schrödinger no lineal

[2]​ Al contrario que la ecuación de Schrödinger lineal, la ecuación NLS nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico.

La ecuación NLS unidimensional es un ejemplo de modelo integrable.

En mecánica cuántica, la ecuación NLS unidimensional es un caso especial del campo de Schrödinger no lineal clásico, que a su vez es un límite clásico de un campo de Schrödinger cuántico.

Análogamente, cuando el campo de Schrödinger clásico se cuantiza canónicamente, se convierte en una teoría cuántica de campos (que resulta lineal, a pesar de denominarse «ecuación de Schrödinger no lineal cuántica») que describe partículas puntuales bosónicas con interacciones modeladas por una función delta (es decir, las partículas se repelen o atraen únicamente cuando están en el mismo punto).

Tanto la ecuación de Schrödinger no lineal unidimensional clásica como la cuántica son integrables.

La versión multidimensional reemplaza la segunda derivada espacial con el laplaciano.

[7]​ La ecuación de Schrödinger no lineal es una ecuación en derivadas parciales no lineal, con aplicaciones en mecánica clásica y cuántica.

La ecuación de campo clásica (en forma adimensional) es:[8]​

La ecuación se deriva del hamiltoniano[8]​ con los corchetes de Poisson Al contrario que su análogo lineal, nunca describe la evolución de un estado cuántico.

El caso con κ se conoce como caso de enfoque (en inglés focusing) y admite soluciones de solitón brillante (en inglés bright soliton, localizadas en el espacio y con atenuación espacial hacia el infinito), así como soluciones de breather.

Se pueden obtener soluciones exactas empleando la transformada de dispersión inversa, como probaron Zakharov y Shabat (1972).

El otro caso, con κ positiva, se conoce como caso de desenfoque (en inglés defocusing) y admite soluciones de solitón oscuro (con amplitud constante en el infinito, y una depresión local en la amplitud).

[9]​ Para obtener la versión cuantizada, simplemente se necesita sustituir los corchetes de Poisson por los conmutadores y tomar el orden normal del hamiltoniano La versión cuántica fue resuelta por Lieb y Liniger usando el ansatz de Bethe.

Por su parte, Korepin evaluó las funciones cuánticas de correlación en 1993.

[10]​ La ecuación de Schrödinger no lineal es integrable en 1 dimensión.

Zakharov y Shabat (1972) la resolvieron usando la transformada de dispersión inversa.

Una aproximación alternativa usa el sistema de Zajárov-Shabat directamente y emplea la siguiente transformación de Darboux: que deja el sistema invariante.

En esta ecuación, φ es otra solución matricial invertible (diferente de ϕ) del sistema de Zajárov-Shabat con parámetro espectral Ω: Comenzando desde una solución U = 0 e iterando se obtiene la solución con n solitones.

Normalmente no se puede obtener analíticamente su solución y en su lugar se emplean los mismos métodos numéricos que con la ecuación de Gross-Pitáyevski, como el método de Crank-Nicolson[11]​ o el método espectral de Fourier.

[12]​ Existen diferentes programas en Fortran y C para obtener estas soluciones.

La función ψ representa una onda y la ecuación describe su propagación a través de un medio no lineal.

La ecuación modeliza muchos efectos no lineales en una fibra, incluyendo pero no limitado a automodulación de fase, mezcla de cuatro ondas, generación de segundo armónico, efecto Raman estimulado, solitones ópticos, pulsos ultracortos, etc.

Para aguas profundas, donde la profundidad del agua es grande comparada con la longitud de onda de las olas, к es negativa y pueden aparecer solitones envolventes.

Se cree que la ecuación de Schrödinger no lineal es importante para explicar la formación de olas gigantes.

[17]​ El campo complejo ψ que aparece en la ecuación de Schrödinger no lineal está relacionado con la amplitud y la fase de las olas.

Considérese una onda portadora con elevación sobre la superficie del agua η de la forma: donde a(x0, t0) y θ(x0, t0) son la amplitud y la fase lentamente moduladas.

Entonces, Así, el módulo |ψ| es la amplitud a, y su argumento arg(ψ) es la fase θ.

La relación entre las coordenadas físicas (x0, t0) y las coordenadas (x, t) usadas en la ecuación de Schrödinger no lineal viene dada por Así, (x, t) es un sistema de coordenadas transformado que se mueve con la velocidad de grupo Ω'(k0) de las ondas portadoras.

En las coordenadas originales (x0, t0) la ecuación de Schrödinger no lineal toma la forma[18]​ con

Más tarde, Salman (2013) usó esta correspondencia para demostrar que también pueden surgir soluciones de breather en un filamento de vórtice.