Modelo de Debye
El modelo de Debye trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja, en contraste con el modelo de Einstein, que representa a los sólidos como formados por muchos osciladores armónicos cuánticos no interactuantes entre sí.
{\displaystyle E_{n}^{2}=E_{nx}^{2}+E_{ny}^{2}+E_{nz}^{2}=\left({hc_{s} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,.}
Esta es una de las limitaciones del modelo, y corresponde a un fallo de las predicciones para temperaturas intermedias, mientras que tanto para bajas como para altas temperaturas son exactas.
Obsérvese la siguiente ilustración de un fonón propagándose transversalmente.
Este es el límite superior para la triple sumatoria de la energía
Hasta el momento, no ha habido mención alguna a
Su distribución está dada por la famosa fórmula de Bose-Einstein
Dado que un fonón tiene tres estados posibles de polarización (uno longitudinal y dos transversales que prácticamente no afectan a su energía) se ha de multiplicar la fórmula anterior por 3,
Sustituyendo esto en la integral de la energía se llega a:
La facilidad con que se evalúan estas integrales para fotones se debe al hecho de que la frecuencia de la luz, al menos semiclásicamente, es independiente.
Para aproximar esta integral triple, Debye utilizó coordenadas esféricas
suponiendo valientemente que era lícito aproximar el cubo como una octava parte de esfera
Se llega así a la energía interna específica:
Las fórmulas más elementales que se muestran más adelante se corresponden con el comportamiento asintótico en los límites de bajas y altas temperaturas.
para frecuencias bajas, y (ii) corresponde exactamente a la regla de suma
Utilizando la Mecánica de sólidos deformables encontró que el número de estados vibracionales con una frecuencia inferior a un cierto valor tendía asintóticamente a
Combinando esto con la energía esperable de un oscilador armónico a temperatura
(ya empleado anteriormente por Einstein en su modelo del sólido) daría una energía de
tal que el número total de los estados fuese
Debye sabía que este supuesto no era realmente correcto (las frecuencias más altas están más estrechamente espaciadas de lo que él asumió), pero esto garantizaba un buen comportamiento para altas temperaturas (ley de Dulong-Petit).
En el límite de bajas temperaturas, las limitaciones del modelo de Debye mencionadas anteriormente no se observan, y proporciona una relación correcta entre la capacidad calorífica (fonónica), la temperatura, los coeficientes elásticos y el volumen por átomo (las cantidades que están contenidas en la temperatura de Debye).
Para describir la capacidad calorífica del sólido, al hace referencia a un conductor o a un semiconductor, se debería tener en cuenta también la nada desdeñable contribución de los electrones.
¿Cuánto se ajustan realmente los modelos de Debye y Einstein a los hechos experimentales?
Lo cierto es que sorprende mucho, pero Debye gana en la región de bajas temperaturas, pues Einstein no predice con exactitud el comportamiento de los sólidos en estas condiciones.
Uno puede ver que la escala del modelo de Einstein, dada por
Dado que ambos métodos se aproximan al problema desde distintas direcciones y diferentes geometrías, las escalas de Debye y Einstein no son la misma, es decir,
y, para relacionar ambas, se debería buscar la razón:
Esta frecuencia, si de hecho existiese, estaría relacionada con la velocidad del sonido en el sólido.
Para metales, la contribución al calor específico de los electrones es proporcional a
La siguiente tabla muestra las temperaturas de Debye para varias sustancias:[2]
