En matemáticas, la función lambda modular λ(t)[nota 1] es una función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo.Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ(2) y genera el campo funcional del cociente correspondiente, es decir, es un módulo principal (Hauptmodul) para la curva modular X(2)., donde la aplicación se define como el cociente por la involución [−1].es la función nombre, viene dada por: Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S3 sobre X(2), y a continuación normalizarla adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completoes la del razón anarmónica, dando los seis valores de razón anarmónica:[3] Es el cuadrado del módulo elíptico,[4] es decir,tenemos[4] Dado que los tres valores de medio período son distintos, esto muestra queno toma el valor 0 o 1.es la integral elíptica completa de primer tipo con parámetro) se puede considerar como una función holomorfa en el semiplano superior, las ecuaciones modulares se pueden usar para dar valores algebraicos de[nota 2] Los valores algebraicos de) da el valor del módulo elíptico, para el cual la integral elíptica completa de primer tipoestán relacionadas mediante la siguiente expresión: Los valores dese pueden calcular de la siguiente manera: Las funcionesestán relacionadas entre sí de la manera siguiente: Cada valor(la integral elíptica completa de segundo tipo) se pueden expresar en forma cerrada en términos de función gamma para cualquier[11][12] La siguiente expresión es válida para todos losAl conocer un valor de, esta fórmula se puede utilizar para calcular valoreses la función elíptica de Jacobi amplitud del seno (sinus amplitudinis) con módulo, los invariantes de clase son números algebraicos.Por ejemplo Las identidades con los invariantes de clase incluyen[14] Los invariantes de clase están muy relacionados con las funciones modulares de WeberEstas son las relaciones entre lambda asterisco y los invariantes de clase: La función lambda se utiliza en la prueba original del teorema de Picard, de que una función entera no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor.Este teorema fue demostrado por Picard en 1879.[15] Supóngase, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1.Según el teorema de monodromía, esta es holomórfica y asigna el plano complejo C al semi plano superior.A partir de esto, es fácil construir una función holomorfa desde C hasta el disco unitario, que según el teorema de Liouville debe ser constante.es la curva modular normalizada para el grupoes el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo monstruo que actúa sobre el álgebra de vértices monstruo.
