en el que cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera: Si
es un cuerpo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que
El teorema se llama así en honor a Emil Artin y Otto Schreier, quienes lo demostraron en 1926.
es un cuerpo (no se asume ningún orden compatible con las operaciones de cuerpo, ni se asume que
Por ejemplo, el cierre real del cuerpo
, su cierre real es de nuevo el cuerpo
El lenguaje formal de cuerpos cerrados reales
, así como la igualdad, si esta no se considera un símbolo lógico.
, consiste en lo siguiente: Todos los axiomas anteriores pueden expresarse en lógica de primer orden (es decir, cuantificación rangos solo sobre elementos del cuerpo).
-sentence, se puede probar verdadero o falso a partir de los axiomas anteriores.
es decidible, lo que significa que hay un algoritmo para decidir la verdad o falsedad de cualquier proposición de este tipo.
Es decir, hay un algoritmo que, dado cualquier
-fórmula, que puede contener variables libres, da lugar a una fórmula libre de cuantificadores equivalente con las mismas variables libres (donde equivalente significa que las dos fórmulas son verdaderas para exactamente los mismos valores de las variables).
El teorema de Tarski-Seidenberg es una extensión del teorema de decidibilidad, ya que se puede comprobar fácilmente si una fórmula libre de cuantificador sin variables libres es "verdadera" o "falsa".
Si R es un cuerpo cerrado real, una fórmula con ’’n’’ variables libres define un subconjunto de Rn, el conjunto de los puntos que satisfacen la fórmula.
Tal subconjunto se llama conjunto semialgebraico.
El teorema de proyección afirma que una proyección de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico, y que existe un algoritmo que, dada una fórmula libre de cuantificador que define un conjunto semialgebraico, produce una fórmula libre de cuantificador para su proyección.
La descomposición algebraica cilíndrica, introducida por George E. Collins, proporciona un algoritmo de complejidad mucho más practicable.
donde n es el número total de variables (libres y no-libres), d es el producto de los grados de los polinomios que ocurren en la fórmula, y O(n) es la notación O grande.
Esto muestra que tanto la complejidad temporal como la complejidad espacial de la eliminación del cuantificador son intrínsecamente doble exponencial.
Para el problema de decisión, Ben-Or, Kozen, y Reif (1986) afirmó haber demostrado que la teoría de los cuerpos cerrados reales es decidible en espacio exponencial, y por lo tanto en el doble tiempo exponencial, pero su argumento (en el caso de más de una variable) generalmente se considera defectuoso; véase Renegar (1992) para una discusión.
Una afirmación equivalente es que para cualquier número real, hay enteros tanto mayores como menores.
Por ejemplo, cualquier cuerpo de número hiperreals es real cerrado y no arquimediano.
es la cardinalidad del conjunto cofinal más pequeño, es decir, el tamaño de la cardinalidad más pequeña que da una secuencia ilimitada.
Por lo tanto, tenemos los siguientes invariantes que definen la naturaleza de un cuerpo cerrado real
: A esto podemos añadir Estos tres números cardinales nos dicen mucho sobre las propiedades de orden de cualquier cuerpo cerrado real, aunque puede ser difícil descubrir cuáles son, especialmente si no estamos dispuestos a invocar la hipótesis del continuo generalizado.
También hay propiedades particulares que pueden o no tenerse: Las características de los cuerpos cerrados reales se vuelven mucho más simples si estamos dispuestos a asumir la hipótesis del continuo|hipótesis generalizada del continuo].
Si la hipótesis del continuo se mantiene, todos los cuerpos cerrados reales con cardinalidad del continuo y que tienen la propiedad η1 son isomorfos de orden.
Este cuerpo único Ϝ se puede definir por medio de un ultraproducto, como
Este es el cuerpo de número hiperreal | número hiperreal más utilizado en el análisis no estándar, y su unicidad es equivalente a la hipótesis del continuo.