Versor

Cuaternión de norma 1 (cuaternión unidad)

En matemáticas , un versor es un cuaternión de norma uno ( cuaternión unidad ). Cada versor tiene la forma

${\displaystyle q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],}$

donde la condición r ^{2 = −1 significa que} r es un cuaternión vectorial de longitud unitaria (o que el primer componente de r es cero, y los últimos tres componentes de r son un vector unitario en 3 dimensiones). La rotación tridimensional correspondiente tiene el ángulo 2 a alrededor del eje r en la representación eje-ángulo . En caso de que a = π/2 (un ángulo recto ), entonces , y el vector unitario resultante se denomina versor recto . ${\displaystyle q=\mathbf {r} }$

La colección de versores con multiplicación de cuaterniones forma un grupo , y el conjunto de versores es una 3-esfera en el álgebra de cuaterniones de 4 dimensiones.

Presentación sobre 3 y 2 esferas

arco AB + arco BC = arco AC

Hamilton denotó el versor de un cuaternión q con el símbolo U q . Luego pudo mostrar el cuaternión general en forma de coordenadas polares

q = T q U q ,

donde T q es la norma de q . La norma de un versor siempre es igual a uno; por lo tanto, ocupan la 3-esfera unidad en ℍ . Ejemplos de versores incluyen los ocho elementos del grupo de cuaterniones . De particular importancia son los versores derechos , que tienen un ángulo π/2 . Estos versores tienen parte escalar cero, y por lo tanto son vectores de longitud uno (vectores unitarios). Los versores derechos forman una esfera de raíces cuadradas de −1 en el álgebra de cuaterniones. Los generadores i , j y k son ejemplos de versores derechos, así como sus inversos aditivos . Otros versores incluyen los veinticuatro cuaterniones de Hurwitz que tienen la norma 1 y forman vértices de un policoron de 24 celdas .

Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos vectores. Un versor puede definirse como el cociente de dos vectores unitarios. Para cualquier plano fijo Π el cociente de dos vectores unitarios que se encuentran en Π depende solo del ángulo (dirigido) entre ellos, el mismo que en la representación del vector unitario-ángulo de un versor explicada anteriormente. Es por eso que puede ser natural entender los versores correspondientes como arcos dirigidos que conectan pares de vectores unitarios y se encuentran en un círculo máximo formado por la intersección de Π con la esfera unitaria , donde el plano Π pasa por el origen. Los arcos de la misma dirección y longitud (o, el mismo ángulo subtendido en radianes ) son equipolentes y corresponden al mismo versor. ^[1]

Un arco de este tipo, aunque se encuentra en el espacio tridimensional , no representa una trayectoria de un punto que gira como se describe con el producto intercalado con el versor. De hecho, representa la acción de multiplicación por la izquierda del versor sobre los cuaterniones que preserva el plano Π y el círculo máximo correspondiente de 3-vectores. La rotación tridimensional definida por el versor tiene el ángulo dos veces el ángulo subtendido del arco y preserva el mismo plano. Es una rotación alrededor del vector correspondiente r , que es perpendicular a Π .

Sobre tres vectores unitarios, Hamilton escribe ^[2]

${\displaystyle q=\beta :\alpha =OB:OA\quad }$y

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB\quad }$implicar

${\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA~.}$

La multiplicación de cuaterniones de norma uno corresponde a la "suma" (no conmutativa) de arcos de círculo máximo en la esfera unitaria. Cualquier par de círculos máximos es el mismo círculo o tiene dos puntos de intersección . Por lo tanto, siempre se puede mover el punto B y el vector correspondiente a uno de estos puntos de modo que el comienzo del segundo arco sea el mismo que el final del primero.

Una ecuación

${\displaystyle \exp(c\ \mathbf {r} )\ \exp(a\ \mathbf {s} )=\exp(b\ \mathbf {t} )\ }$

especifica implícitamente la representación del vector unitario-ángulo para el producto de dos versores. Su solución es una instancia de la fórmula general de Campbell-Baker-Hausdorff en la teoría de grupos de Lie . Como la 3-esfera representada por versores en es un grupo de Lie de 3 parámetros, la práctica con composiciones de versores es un paso hacia la teoría de Lie . Evidentemente, los versores son la imagen de la función exponencial aplicada a una bola de radio π en el subespacio cuaterniónico de vectores. ${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$

Los versores se componen como los arcos vectoriales antes mencionados, y Hamilton se refirió a esta operación de grupo como "la suma de arcos", pero como cuaterniones simplemente se multiplican.

La geometría del espacio elíptico ha sido descrita como el espacio de los versores. ^[3]

Representación de SO(3)

El grupo ortogonal en tres dimensiones, grupo de rotación SO(3) , se interpreta frecuentemente con versores a través del automorfismo interno donde u es un versor. De hecho, si ${\displaystyle \ q\mapsto u^{-1}q\ u\ }$

${\displaystyle \ u=\exp(a\ \mathbf {r} )}$y el vector s es perpendicular a r ,

entonces

${\displaystyle u^{-1}\mathbf {s} \ u=\mathbf {s} \ \cos(2a)+\mathbf {s} \ \mathbf {r} \ \sin(2a)\ }$

por cálculo. ^[4] El plano es isomorfo a y el automorfismo interno, por conmutatividad, se reduce a la aplicación identidad allí. Dado que los cuaterniones pueden interpretarse como un álgebra de dos dimensiones complejas, la acción de rotación también puede verse a través del grupo unitario especial SU(2) . ${\displaystyle \ \{\ x+y\ \mathbf {r} \ :\ (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$

Para un r fijo , los versores de la forma donde forman un subgrupo isomorfo al grupo de círculos . Las órbitas de la acción de multiplicación izquierda de este subgrupo son fibras de un haz de fibras sobre la 2-esfera, conocido como fibración de Hopf en el caso r = i  ; otros vectores dan fibraciones isomorfas, pero no idénticas. Lyons (2003) da una introducción elemental a los cuaterniones para dilucidar la fibración de Hopf como una aplicación sobre cuaterniones unitarios. Escribe "las fibras de la aplicación de Hopf son círculos en S ³  ". ^[5] ${\displaystyle \ \exp(a\ \mathbf {r} )\ }$ ${\displaystyle \ a\in \left(-\pi ,\pi \ \right]\ ,}$

Se han utilizado versores para representar rotaciones de la esfera de Bloch con multiplicación de cuaterniones. ^[6]

Espacio elíptico

La función de los versores ilustra la geometría elíptica , en particular el espacio elíptico , un reino tridimensional de rotaciones. Los versores son los puntos de este espacio elíptico, aunque se refieren a rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones . Dados dos versores fijos u y v , la aplicación es un movimiento elíptico . Si uno de los versores fijos es 1, entonces el movimiento es una traslación de Clifford del espacio elíptico, llamada así por William Kingdon Clifford, quien fue un defensor del espacio. Una línea elíptica que pasa por el versor u es El paralelismo en el espacio se expresa mediante paralelos de Clifford . Uno de los métodos para ver el espacio elíptico utiliza la transformada de Cayley para asignar los versores a ${\displaystyle \ q\mapsto u\ q\ v\ }$ ${\displaystyle \ \{\ u\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ 0\leq a<\pi \ \}~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}~.}$

Subgrupos

El conjunto de todos los versores, con su multiplicación como cuaterniones, forma un grupo continuo G . Para un par fijo de versores rectos, es un subgrupo de un parámetro que es isomorfo al grupo del círculo . ${\displaystyle \ \{-\mathbf {r} ,+\mathbf {r} \ \}\ }$ ${\displaystyle \ G_{1}=\{\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ a\in \mathbb {R} \ \}\ }$

Consideremos a continuación los subgrupos finitos, más allá del grupo de cuaterniones Q ₈ : ^{[7] [8]}

Como señaló Hurwitz , los 16 cuaterniones tienen norma uno, por lo que están en G. Junto con Q8 _, estos cuaterniones Hurwitz unitarios forman un grupo G2 de orden 24 llamado grupo tetraédrico binario . Los elementos _del grupo, tomados como puntos en S3 ^, forman un grupo de 24 celdas . ${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\pm \mathbf {1} \pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} \right)\ }$

Mediante un proceso de bitruncación de las 24 celdas, se obtienen las 48 celdas en G , y estos versores se multiplican como el grupo octaédrico binario .

Otro subgrupo está formado por 120  icosianos que se multiplican a la manera del grupo icosaédrico binario .

Versor hiperbólico

Un versor hiperbólico es una generalización de los versores cuaterniónicos a grupos ortogonales indefinidos , como el grupo de Lorentz . Se define como una cantidad de la forma

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a~~}$dónde ${\displaystyle ~~\mathbf {r} ^{2}=+1~.}$

Tales elementos surgen en álgebras divididas , por ejemplo, números complejos divididos o cuaterniones divididos . Fue el álgebra de tessarinas descubierta por James Cockle en 1848 la que proporcionó por primera vez versores hiperbólicos. De hecho, Cockle escribió la ecuación anterior (con j en lugar de r ) cuando descubrió que las tessarinas incluían el nuevo tipo de elemento imaginario.

Este versor fue utilizado por Homersham Cox (1882/1883) en relación con la multiplicación de cuaterniones. ^{[9] [10]} El principal exponente de los versores hiperbólicos fue Alexander Macfarlane , ya que trabajó para dar forma a la teoría de cuaterniones para servir a la ciencia física. ^[11] Vio el poder de modelado de los versores hiperbólicos que operan en el plano de números complejos divididos, y en 1891 introdujo los cuaterniones hiperbólicos para extender el concepto al espacio de 4. Los problemas en esa álgebra llevaron al uso de biquaterniones después de 1900. En una revisión ampliamente vista, Macfarlane escribió:

... la raíz de una ecuación cuadrática puede ser versor por naturaleza o escalar por naturaleza. Si es versor por naturaleza, entonces la parte afectada por el radical involucra el eje perpendicular al plano de referencia, y esto es así, ya sea que el radical involucre la raíz cuadrada de menos uno o no. En el primer caso el versor es circular, en el segundo hiperbólico. ^{[12] [ cita completa requerida ]}

Hoy en día, el concepto de grupo de un parámetro subsume los conceptos de versor y versor hiperbólico, ya que la terminología de Sophus Lie ha reemplazado a la de Hamilton y Macfarlane. En particular, para cada r tal que rr = +1 o rr = −1 , la aplicación lleva la línea real a un grupo de versores hiperbólicos u ordinarios. En el caso ordinario, cuando r y − r son antípodas en una esfera, los grupos de un parámetro tienen los mismos puntos pero están dirigidos de manera opuesta. En física, este aspecto de la simetría rotacional se denomina doblete . ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$

Robb (1911) definió el parámetro rapidez , que especifica un cambio en el marco de referencia . Este parámetro de rapidez corresponde a la variable real en un grupo de versores hiperbólicos de un parámetro. Con el desarrollo posterior de la relatividad especial, la acción de un versor hiperbólico pasó a denominarse impulso de Lorentz . ^[13]

Teoría de la mentira

Sophus Lie tenía menos de un año cuando Hamilton describió por primera vez los cuaterniones, pero el nombre de Lie se ha asociado con todos los grupos generados por exponenciación. El conjunto de versores con su multiplicación ha sido denotado Sl(1,q) por Gilmore (1974). ^[14] Sl(1,q) es el grupo lineal especial de una dimensión sobre cuaterniones, el "especial" indica que todos los elementos son de norma uno. El grupo es isomorfo a SU(2,c), un grupo unitario especial , una designación utilizada con frecuencia ya que los cuaterniones y los versores a veces se consideran arcaicos para la teoría de grupos. El grupo ortogonal especial SO(3,r) de rotaciones en tres dimensiones está estrechamente relacionado: es una imagen homomórfica 2:1 de SU(2,c).

El subespacio se denomina álgebra de Lie del grupo de versores. El producto del conmutador es simplemente el doble del producto vectorial de dos vectores, que forma la operación de multiplicación en el álgebra de Lie. La estrecha relación con SU(1,c) y SO(3,r) es evidente en el isomorfismo de sus álgebras de Lie. ^[14] ${\displaystyle \ \{\ xi+yj+zk\ :\ x,y,z\in \mathbb {R} \ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

Los grupos de Lie que contienen versores hiperbólicos incluyen el grupo de la hipérbola unitaria y el grupo unitario especial SU(1,1) .

Etimología

La palabra deriva del latín versari = "girar" con el sufijo -or formando un sustantivo a partir del verbo (es decir, versor = "el que gira"). Fue introducida por William Rowan Hamilton en la década de 1840 en el contexto de su teoría de los cuaterniones .

Versores en álgebra geométrica

El término "versor" se generaliza en álgebra geométrica para indicar un miembro del álgebra que puede expresarse como el producto de vectores invertibles, . ^{[15] [16]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$

Así como un versor de cuaternión se puede utilizar para representar una rotación de un cuaternión , mapping , un versor en Álgebra Geométrica se puede utilizar para representar el resultado de reflexiones sobre un miembro del álgebra, mapping . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}}$

Una rotación puede considerarse el resultado de dos reflexiones, por lo que resulta que un versor de cuaternión puede identificarse como un 2-versor en el álgebra geométrica de tres dimensiones reales . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

En una desviación de la definición de Hamilton, no se requiere que los versores multivectoriales tengan una norma unitaria, solo que sean invertibles. Sin embargo, la normalización puede seguir siendo útil, por lo que es conveniente designar a los versores como versores unitarios en un álgebra geométrica si , donde la tilde denota la reversión del versor. ${\displaystyle R{\tilde {R}}=\pm 1}$

Véase también

• cis (matemáticas) ( cis( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• Cuaterniones y rotación espacial
• Rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones
• Giro (geometría)

Referencias

1. Mukunda, N. ; Simon, R. ; Sudarshan, G. (1989). "La teoría de tornillos: Una nueva representación geométrica para el grupo SU(1,1)". Revista de Física Matemática . 30 (5): 1000–1006. Código Bibliográfico :1989JMP....30.1000S. doi :10.1063/1.528365. Señor 0992568
2. Hamilton (1899), vol. 1, pág. 146.
3. Coxeter, HSM (1950). "Revisión de los cuaterniones y el espacio elíptico de Georges Lemaître ". Mathematical Reviews . MR 0031739 (requiere suscripción)
4. "Cuaterniones: representación de rotación". Álgebra de composición asociativa – vía wikibooks.org.
5. Lyons, David W. (abril de 2003). "Una introducción elemental a la fibración de Hopf" (PDF) . Mathematics Magazine (reseña de libro). 76 (2): 87–98, cita pág. 95. arXiv : 2212.01642 . CiteSeerX 10.1.1.583.3499 . doi :10.2307/3219300. ISSN  0025-570X. JSTOR  3219300. 
6. Wharton, KB; Koch, D. (2015). "Cuaterniones unitarios y la esfera de Bloch". Journal of Physics A . 48 (23). arXiv : 1411.4999 . Código Bibliográfico :2015JPhA...48w5302W. doi :10.1088/1751-8113/48/23/235302. Señor 3355237
7. Stringham, I. (1881). "Determinación de los grupos de cuaterniones finitos". American Journal of Mathematics . 4 (1–4): 345–357. doi :10.2307/2369172. JSTOR  2369172.
8. Conway, JH ; Smith, Derek A. (2003). "§ 3.5 Los grupos finitos de cuaterniones". Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters . p. 33. ISBN 1-56881-134-9.
9. Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de los cuaterniones y la Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 13 : 69–143.
10. Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de los cuaterniones y la Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 4 : 194–196.
11. Macfarlane, A. (1894). Documentos sobre análisis espacial. Nueva York, NY: B. Westerman – vía archive.org .– Tenga en cuenta especialmente los documentos n.º 2, 3 y 5.
12. Macfarlane, A. (1899). " [sin título citado] ". Science . 9 : 326.
13. Robb, A. (1911). Geometría óptica del movimiento .
14. Gilmore, Robert (1974). "Capítulo 5: Algunos ejemplos sencillos". Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones . Wiley . pp. 120–135. ISBN 0-471-30179-5.— Este texto denota las álgebras de división real, compleja y de cuaterniones por r , c y q , respectivamente, en lugar de los estándares actuales ℝ , ℂ y ℍ .
15. Hestenes y Sobczyk (1984), pág. 103.
16. Dorst, Fontijne y Mann (2007), pág. 204.

Fuentes

• Dorst, Leo; Fontijne, Daniel; Mann, Stephen (2007). Álgebra geométrica para la informática: un enfoque orientado a objetos para la geometría. Elsevier. ISBN 978-0-12-369465-2. OCLC  132691969 – vía geometryalgebra.net.
• Hamilton, WR (1844–1850). "Sobre los cuaterniones o un nuevo sistema de imaginarios en álgebra". Philosophical Magazine – vía la colección de David R. Wilkins, Trinity College, Dublín .
• Hamilton, WR (1899). Joly, Charles Jasper (ed.). Elementos de cuaterniones (2.ª ed.). Longmans Green & Company. págs. 135–147.
• Hardy, AS (1887). "Representación de versores mediante arcos esféricos". Elementos de cuaterniones . págs. 71–72.

Hardy, AS (1887). "Aplicaciones a la trigonometría esférica". Elementos de cuaterniones . págs. 112–118.

• Hathaway, AS (1896). "Capítulo 2: Giros, rotaciones, pasos de arco" (PDF) . Una introducción a los cuaterniones – vía Proyecto Gutenberg .
• Hestenes, David ; Sobczyk, Garret (1984). Álgebra de Clifford para cálculo geométrico, un lenguaje unificado para matemáticas y física . Springer Países Bajos. ISBN 978-90-277-1673-6.
• Molenbroeck, Pieter (1891). "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel [ Representación de versores mediante arcos sobre la esfera unitaria  ]". Theorie der Quaternionen [ Teoría de los cuaterniones ] (en alemán). Leiden, Países Bajos: Genial. pag. 48.
• Silva, Cibelle Celestino; de Andrade Martins, Roberto (2002). "Vectores polares y axiales versus cuaterniones". American Journal of Physics . 70 (9): 958. Bibcode :2002AmJPh..70..958S. doi :10.1119/1.1475326.

Sección IV: Versores y vectores unitarios en el sistema de cuaterniones.

Sección V: Versor y vectores unitarios en álgebra vectorial.

Enlaces externos

• Versor en Enciclopedia de Matemáticas .
• Tutorial de cuaterniones de Luis Ibáñez Archivado el 4 de febrero de 2012 en Wayback Machine desde Biblioteca Nacional de Medicina