Rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones

Grupo ortogonal especial

En matemáticas , el grupo de rotaciones en torno a un punto fijo en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones se denomina SO(4) . El nombre proviene del hecho de que se trata del grupo ortogonal especial de orden 4.

En este artículo, rotación significa desplazamiento rotacional . Por razones de unicidad, se supone que los ángulos de rotación están en el segmento [0, π], excepto cuando se mencione o se deduzca claramente lo contrario en el contexto.

Un "plano fijo" es un plano en el que todos los vectores del plano permanecen invariables después de la rotación. Un "plano invariante" es un plano en el que todos los vectores del plano, aunque puedan verse afectados por la rotación, permanecen en el plano después de la rotación.

Geometría de rotaciones 4D

Las rotaciones de cuatro dimensiones son de dos tipos: rotaciones simples y rotaciones dobles.

Rotaciones simples

Una rotación simple R alrededor de un centro de rotación O deja fijo todo un plano A a través de O (eje-plano). Todo plano B que es completamente ortogonal a A interseca a A en un cierto punto P . Para cada uno de estos puntos, P es el centro de la rotación 2D inducida por R en B . Todas estas rotaciones 2D tienen el mismo ángulo de rotación α .

Las semirrectas desde O en el plano-eje A no están desplazadas; las semirrectas desde O ortogonales a A están desplazadas a través de α ; todas las demás semirrectas están desplazadas a través de un ángulo menor que α .

Rotaciones dobles

Tesseract , en proyección estereográfica , en doble rotación

Un toro de Clifford 4D proyectado estereográficamente en 3D parece un toro , y una rotación doble puede verse como una trayectoria helicoidal en ese toro. Para una rotación cuyos dos ángulos de rotación tienen una relación racional, las trayectorias eventualmente se reconectarán; mientras que para una relación irracional no lo harán. Una rotación isoclínica formará un círculo de Villarceau en el toro, mientras que una rotación simple formará un círculo paralelo o perpendicular al eje central. ^[1]

Para cada rotación R del 4-espacio (que fija el origen), hay al menos un par de 2-planos ortogonales A y B, cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa A ⊕ B es todo el 4-espacio. Por lo tanto, R que opera en cualquiera de estos planos produce una rotación ordinaria de ese plano. Para casi todos los R (todo el conjunto de rotaciones de 6 dimensiones excepto un subconjunto tridimensional), los ángulos de rotación α en el plano A y β en el plano B (ambos asumidos como distintos de cero) son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales α y β que satisfacen −π < α , β < π están casi ^[a] determinados de forma única por R . Suponiendo que el 4-espacio está orientado, entonces las orientaciones de los 2-planos A y B se pueden elegir de forma coherente con esta orientación de dos maneras. Si los ángulos de rotación son desiguales ( α ≠ β ), a veces se denomina a R "rotación doble".

En ese caso de doble rotación, A y B son el único par de planos invariantes, y las semirrectas desde el origen en A , B se desplazan a través de α y β respectivamente, y las semirrectas desde el origen no en A o B se desplazan a través de ángulos estrictamente entre α y β .

Rotaciones isoclínicas

Si los ángulos de rotación de una rotación doble son iguales, entonces hay infinitos planos invariantes en lugar de solo dos, y todas las semirrectas desde O están desplazadas a través del mismo ángulo. Tales rotaciones se denominan rotaciones isoclínicas o equiangulares , o desplazamientos de Clifford . Atención: no todos los planos que pasan por O son invariantes bajo rotaciones isoclínicas; solo los planos que están abarcados por una semirrecta y las semirrectas desplazadas correspondientes son invariantes. ^[2]

Suponiendo que se ha elegido una orientación fija para el espacio de 4 dimensiones, las rotaciones isoclínicas de 4 dimensiones se pueden clasificar en dos categorías. Para ver esto, considere una rotación isoclínica R y tome un conjunto ordenado consistente en orientación OU , OX , OY , OZ de semirrectas mutuamente perpendiculares en O (denotadas como OUXYZ ) tales que OU y OX abarcan un plano invariante y, por lo tanto, OY y OZ también abarcan un plano invariante. Ahora suponga que solo se especifica el ángulo de rotación α . Entonces, en general, hay cuatro rotaciones isoclínicas en los planos OUX y OYZ con un ángulo de rotación α , dependiendo de los sentidos de rotación en OUX y OYZ .

Convenimos que los sentidos de rotación de OU a OX y de OY a OZ se consideran positivos. Entonces tenemos las cuatro rotaciones R ₁ = (+ α , + α ) , R ₂ = (− α , − α ) , R ₃ = (+ α , − α ) y R ₄ = (− α , + α ) . R ₁ y R ₂ son inversas entre sí ; también lo son R ₃ y R ₄ . Mientras α se encuentre entre 0 y π , estas cuatro rotaciones serán distintas.

Las rotaciones isoclínicas con signos iguales se denominan isoclínicas izquierdas y aquellas con signos opuestos, isoclínicas derechas . Las rotaciones isoclínicas izquierdas y derechas se representan respectivamente mediante la multiplicación por izquierda y derecha de cuaterniones unitarios; véase el párrafo "Relación con los cuaterniones" a continuación.

Las cuatro rotaciones son diferentes por pares, excepto si α = 0 o α = π . El ángulo α = 0 corresponde a la rotación identidad; α = π corresponde a la inversión central , dada por el negativo de la matriz identidad. Estos dos elementos de SO(4) son los únicos que son simultáneamente isoclínicos izquierdo y derecho.

Las isoclinas izquierda y derecha definidas como se ha indicado anteriormente parecen depender de la rotación isoclínica específica seleccionada. Sin embargo, cuando se selecciona otra rotación isoclínica R′ con sus propios ejes OU′ , OX′ , OY′ , OZ′ , entonces siempre se puede elegir el orden de U′ , X′ , Y′ , Z′ de modo que OUXYZ pueda transformarse en OU′X′Y′Z′ mediante una rotación en lugar de mediante una rotación-reflexión (es decir, de modo que la base ordenada OU′ , OX′ , OY′ , OZ′ también sea coherente con la misma elección fija de orientación que OU , OX , OY , OZ ). Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema de ejes OUXYZ que se denota universalmente como dextrógiro), se puede determinar el carácter izquierdo o derecho de una rotación isoclínica específica.

Estructura del grupo SO(4)

SO(4) es un grupo de Lie hexadimensional compacto no conmutativo .

Cada plano que pasa por el centro de rotación O es el plano-eje de un subgrupo conmutativo isomorfo a SO(2). Todos estos subgrupos son mutuamente conjugados en SO(4).

Cada par de planos completamente ortogonales que pasan por O es el par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2) .

Estos grupos son toros máximos de SO(4), que son todos mutuamente conjugados en SO(4). Véase también toro de Clifford .

Todas las rotaciones isoclínicas hacia la izquierda forman un subgrupo no conmutativo S ³ _L de SO(4), que es isomorfo al grupo multiplicativo S ³ de cuaterniones unitarios . Todas las rotaciones isoclínicas hacia la derecha forman asimismo un subgrupo S ³ _R de SO(4) isomorfo a S ³ . Tanto S ³ _L como S ³ _R son subgrupos maximales de SO(4).

Cada rotación isoclínica izquierda conmuta con cada rotación isoclínica derecha. Esto implica que existe un producto directo S ³ _L × S ³ _R con subgrupos normales S ³ _L y S ³ _R ; ambos grupos de factores correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a S ³ . (Esto no es SO(4) ni un subgrupo de este, porque S ³ _L y S ³ _R no son disjuntos: la identidad I y la inversión central − I pertenecen tanto a S ³ _L como a S ³ _R .)

Cada rotación 4D A es, en dos sentidos, el producto de las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha A _L y A _R . A _L y A _R se determinan juntas hasta la inversión central, es decir, cuando tanto A _L como A _R se multiplican por la inversión central, su producto es nuevamente A.

Esto implica que S ³ _L × S ³ _R es el grupo de recubrimiento universal de SO(4) —su único recubrimiento doble— y que S ³ _L y S ³ _R son subgrupos normales de SO(4). La rotación identidad I y la inversión central − I forman un grupo C ₂ de orden 2, que es el centro de SO(4) y tanto de S ³ _L como de S ³ _R . El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo factorial de C ₂ en SO(4) es isomorfo a SO(3) × SO(3). Los grupos factoriales de S ³ _L por C ₂ y de S ³ _R por C ₂ son cada uno isomorfos a SO(3). De manera similar, los grupos factoriales de SO(4) por S ³ _L y de SO(4) por S ³ _R son cada uno isomorfos a SO(3).

La topología de SO(4) es la misma que la del grupo de Lie SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , es decir, el espacio donde es el espacio proyectivo real de dimensión 3 y es la 3-esfera . Sin embargo, cabe destacar que, como grupo de Lie, SO(4) no es un producto directo de grupos de Lie y, por lo tanto, no es isomorfo a SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Propiedad especial de SO(4) entre los grupos de rotación en general

Los grupos de rotación de dimensión impar no contienen la inversión central y son grupos simples .

Los grupos de rotación de dimensión par contienen la inversión central − I y tienen como centro el grupo C ₂ = { I , − I } . Para n par ≥ 6, SO(n) es casi simple en el sentido de que el grupo factorial SO(n)/C ₂ de SO(n) por su centro es un grupo simple.

SO(4) es diferente: no hay conjugación por ningún elemento de SO(4) que transforme rotaciones isoclínicas izquierda y derecha entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica izquierda en una isoclínica derecha por conjugación, y viceversa. Esto implica que bajo el grupo O(4) de todas las isometrías con punto fijo O los subgrupos distintos S ³ _L y S ³ _R son conjugados entre sí, y por lo tanto no pueden ser subgrupos normales de O(4). El grupo de rotación 5D SO(5) y todos los grupos de rotación superiores contienen subgrupos isomorfos a O(4). Al igual que SO(4), todos los grupos de rotación de dimensión par contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO(4), en SO(6) y todos los grupos de rotación de dimensión par superiores, dos rotaciones isoclínicas cualesquiera a través del mismo ángulo son conjugadas. El conjunto de todas las rotaciones isoclínicas ni siquiera es un subgrupo de SO(2 N ), y mucho menos un subgrupo normal.

Álgebra de rotaciones 4D

SO(4) se identifica comúnmente con el grupo de aplicaciones lineales isométricas que preservan la orientación de un espacio vectorial 4D con producto interno sobre los números reales sobre sí mismo.

Con respecto a una base ortonormal en dicho espacio SO(4) se representa como el grupo de matrices ortogonales reales de cuarto orden con determinante +1. ^[3]

Descomposición isoclínica

Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica izquierda y una rotación isoclínica derecha ^[4] de la siguiente manera:

Dejar

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

sea ​​su matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria.

Calcular a partir de esto la llamada matriz asociada

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M tiene rango uno y es de norma euclidiana unitaria como un vector 16D si y solo si A es de hecho una matriz de rotación 4D. En este caso existen números reales a , b , c , d y p , q , r , s tales que

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.}$

Hay exactamente dos conjuntos de a , b , c , d y p , q , r , s tales que a ² + b ² + c ² + d ² = 1 y p ² + q ² + r ² + s ² = 1. Son opuestos entre sí.

La matriz de rotación entonces es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor de esta descomposición representa una rotación isoclínica hacia la izquierda, el segundo factor una rotación isoclínica hacia la derecha. Los factores se determinan hasta la matriz identidad de cuarto orden negativa , es decir, la inversión central.

Relación con los cuaterniones

Un punto en el espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas ( u , x , y , z ) puede representarse mediante un cuaternión P = u + xi + yj + zk .

Una rotación isoclínica izquierda se representa mediante la multiplicación por la izquierda por un cuaternión unitario Q _L = a + bi + cj + dk . En lenguaje de matriz-vector esto es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

De la misma manera, una rotación isoclínica derecha se representa mediante la multiplicación por la derecha por un cuaternión unitario Q _R = p + qi + rj + sk , que está en forma de matriz-vector.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.}$

En la sección anterior (#Descomposición isoclínica) se muestra cómo una rotación general 4D se divide en factores isoclínicos izquierdo y derecho.

En lenguaje cuaternionario la fórmula de Van Elfrinkhof se lee

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

o, en forma simbólica,

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,}$

Según el matemático alemán Felix Klein, esta fórmula ya era conocida por Cayley en 1854. ^[5]

La multiplicación de cuaterniones es asociativa . Por lo tanto,

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,}$

lo que demuestra que las rotaciones isoclínicas izquierda e isoclínicas derechas conmutan.

Los valores propios de las matrices de rotación 4D

Los cuatro valores propios de una matriz de rotación 4D generalmente ocurren como dos pares conjugados de números complejos de magnitud unitaria. Si un valor propio es real, debe ser ±1, ya que una rotación deja la magnitud de un vector sin cambios. El conjugado de ese valor propio también es la unidad, lo que produce un par de vectores propios que definen un plano fijo, y por lo tanto la rotación es simple. En la notación de cuaterniones, una rotación propia (es decir, no inversora) en SO(4) es una rotación propia simple si y solo si las partes reales de los cuaterniones unitarios Q _L y Q _R son iguales en magnitud y tienen el mismo signo. ^[b] Si ambos son cero, todos los valores propios de la rotación son la unidad y la rotación es la rotación nula. Si las partes reales de Q _L y Q _R no son iguales, entonces todos los valores propios son complejos y la rotación es una rotación doble.

La fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D

Nuestro espacio 3D ordinario se trata convenientemente como el subespacio con sistema de coordenadas 0XYZ del espacio 4D con sistema de coordenadas UXYZ. Su grupo de rotación SO(3) se identifica con el subgrupo de SO(4) que consiste en las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

En la fórmula de Van Elfrinkhof de la subsección anterior, esta restricción a tres dimensiones conduce a p = a , q = − b , r = − c , s = − d , o en representación de cuaternión: Q _R = Q _L ′ = Q _L ⁻¹ . La matriz de rotación 3D se convierte entonces en la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

que es la representación de la rotación 3D por sus parámetros de Euler-Rodrigues : a , b , c , d .

La fórmula del cuaternión correspondiente P′ = QPQ ⁻¹ , donde Q = Q _L , o, en forma expandida:

${\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

se conoce como la fórmula de Hamilton - Cayley .

Coordenadas de Hopf

Las rotaciones en el espacio 3D se vuelven matemáticamente mucho más manejables mediante el uso de coordenadas esféricas . Cualquier rotación en 3D se puede caracterizar por un eje fijo de rotación y un plano invariante perpendicular a ese eje. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar el plano xy como el plano invariante y el eje z como el eje fijo. Dado que las distancias radiales no se ven afectadas por la rotación, podemos caracterizar una rotación por su efecto sobre la esfera unitaria (2-esfera) mediante coordenadas esféricas referidas al eje fijo y al plano invariante:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Como x ² + y ² + z ² = 1 , los puntos ( x , y , z ) se encuentran en la unidad 2-esfera. Un punto con ángulos { θ ₀ , φ ₀ } , rotado por un ángulo φ sobre el eje z , se convierte en el punto con ángulos { θ ₀ , φ ₀ + φ } . Si bien las coordenadas hiperesféricas también son útiles para tratar con rotaciones 4D, un sistema de coordenadas aún más útil para 4D es proporcionado por las coordenadas de Hopf { ξ ₁ , η , ξ ₂ } , ^[6] que son un conjunto de tres coordenadas angulares que especifican una posición en la 3-esfera. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

Como u ² + x ² + y ² + z ² = 1 , los puntos se encuentran en la 3-esfera.

En el espacio 4D, cada rotación alrededor del origen tiene dos planos invariantes que son completamente ortogonales entre sí y se intersecan en el origen, y están rotados por dos ángulos independientes ξ ₁ y ξ ₂ . Sin pérdida de generalidad, podemos elegir, respectivamente, los planos uz y xy como estos planos invariantes. Una rotación en 4D de un punto { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } a través de los ángulos ξ ₁ y ξ ₂ se expresa entonces simplemente en coordenadas de Hopf como { ξ ₁₀ + ξ ₁ , η ₀ , ξ ₂₀ + ξ ₂ } .

Visualización de rotaciones 4D

Trayectorias de un punto en el Toro de Clifford:
Fig.1: rotaciones simples (negro) y rotaciones isoclínicas izquierda y derecha (rojo y azul)
Fig.2: una rotación general con desplazamientos angulares en una proporción de 1:5
Fig.3: una rotación general con desplazamientos angulares en una proporción de 5:1
Todas las imágenes son proyecciones estereográficas .

Toda rotación en el espacio 3D tiene un eje fijo que no cambia con la rotación. La rotación se especifica completamente especificando el eje de rotación y el ángulo de rotación sobre ese eje. Sin pérdida de generalidad, este eje puede elegirse como el eje z de un sistema de coordenadas cartesianas, lo que permite una visualización más sencilla de la rotación.

En el espacio 3D, las coordenadas esféricas { θ , φ } pueden verse como una expresión paramétrica de la 2-esfera. Para θ fijo , describen círculos en la 2-esfera que son perpendiculares al eje z y estos círculos pueden verse como trayectorias de un punto en la esfera. Un punto { θ ₀ , φ ₀ } en la esfera, bajo una rotación alrededor del eje z , seguirá una trayectoria { θ ₀ , φ ₀ + φ } a medida que el ángulo φ varía. La trayectoria puede verse como una rotación paramétrica en el tiempo, donde el ángulo de rotación es lineal en el tiempo: φ = ωt , donde ω es una "velocidad angular".

De manera análoga al caso 3D, cada rotación en el espacio 4D tiene al menos dos planos de eje invariantes que se mantienen invariables por la rotación y son completamente ortogonales (es decir, se intersecan en un punto). La rotación se especifica completamente especificando los planos de eje y los ángulos de rotación en torno a ellos. Sin pérdida de generalidad, estos planos de eje pueden elegirse como los planos uz y xy de un sistema de coordenadas cartesianas, lo que permite una visualización más simple de la rotación.

En el espacio 4D, los ángulos de Hopf { ξ ₁ , η , ξ ₂ } parametrizan la 3-esfera. Para η fijo describen un toro parametrizado por ξ ₁ y ξ ₂ , con η = ⁠π/4⁠ siendo el caso especial del toro de Clifford en los planos xy y uz . Estos toros no son los toros habituales que se encuentran en el espacio 3D. Si bien siguen siendo superficies 2D, están incrustados en la 3-esfera. La 3-esfera se puede proyectar estereográficamente sobre todo el espacio 3D euclidiano, y estos toros se ven entonces como los toros de revolución habituales. Se puede ver que un punto especificado por { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } que experimenta una rotación con los planos uz y xy invariantes permanecerá en el toro especificado por η ₀ . ^[7] La ​​trayectoria de un punto puede escribirse como una función del tiempo como { ξ ₁₀ + ω ₁ t , η ₀ , ξ ₂₀ + ω ₂ t } y proyectarse estereográficamente sobre su toro asociado, como en las figuras siguientes. ^[8] En estas figuras, el punto inicial se toma como {0, ⁠π/4⁠ , 0} , es decir, en el toro de Clifford. En la Fig. 1, se muestran dos trayectorias de rotación simples en negro, mientras que una trayectoria isoclínica izquierda y otra derecha se muestran en rojo y azul respectivamente. En la Fig. 2, se muestra una rotación general en la que ω ₁ = 1 y ω ₂ = 5 , mientras que en la Fig. 3, se muestra una rotación general en la que ω ₁ = 5 y ω ₂ = 1 .

A continuación, se visualiza un sistema de cinco celdas giratorio con la cuarta dimensión comprimida y mostrada en color. El toro de Clifford descrito anteriormente se representa en su forma rectangular (envolvente).

• Rotaciones 4D animadas de 5 celdas en proyección ortográfica
• Simplemente girando en el plano XY
• Simplemente girando en el plano ZW
• Doble rotación en los planos XY y ZW con velocidades angulares en una relación 4:3
• Rotación isoclínica izquierda
• Rotación isoclínica derecha

Generación de matrices de rotación 4D

Las rotaciones de cuatro dimensiones se pueden derivar de la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. Sea A una matriz antisimétrica de 4 × 4. La matriz antisimétrica A se puede descomponer de forma única como

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

en dos matrices antisimétricas A ₁ y A ₂ que satisfacen las propiedades A ₁ A ₂ = 0 , A ₁ ³ = − A ₁ y A ₂ ³ = − A ₂ , donde ∓ θ ₁ i y ∓ θ ₂ i son los valores propios de A . Luego, las matrices de rotación 4D se pueden obtener a partir de las matrices antisimétricas A ₁ y A ₂ mediante la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. ^[9]

Sea A una matriz antisimétrica distinta de cero de 4 × 4 con el conjunto de valores propios

${\displaystyle \left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.}$

Entonces A se puede descomponer como

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

donde A ₁ y A ₂ son matrices antisimétricas que satisfacen las propiedades

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

Además, las matrices antisimétricas A ₁ y A ₂ se obtienen de forma única como

${\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}}$

y

${\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.}$

Entonces,

${\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}}$

es una matriz de rotación en E ⁴ , que se genera mediante la fórmula de rotación de Rodrigues, con el conjunto de valores propios

${\displaystyle \left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.}$

También,

${\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}}$

es una matriz de rotación en E ⁴ , que se genera mediante la fórmula de rotación de Cayley, de modo que el conjunto de valores propios de R es,

${\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.}$

La matriz de rotación generadora se puede clasificar con respecto a los valores θ ₁ y θ ₂ de la siguiente manera:

1. Si θ ₁ = 0 y θ ₂ ≠ 0 o viceversa, entonces las fórmulas generan rotaciones simples;
2. Si θ ₁ y θ ₂ son distintos de cero y θ ₁ ≠ θ ₂ , entonces las fórmulas generan rotaciones dobles;
3. Si θ ₁ y θ ₂ son distintos de cero y θ ₁ = θ ₂ , entonces las fórmulas generan rotaciones isoclínicas.

Véase también

• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• Grupo de Lorentz
• Grupo ortogonal
• Matriz ortogonal
• Plano de rotación
• Grupo de Poincaré
• Cuaterniones y rotación espacial

Notas

1. Suponiendo que el espacio 4 está orientado, entonces se puede elegir una orientación para cada uno de los planos 2 A y B que sea consistente con esta orientación del espacio 4 de dos maneras igualmente válidas. Si los ángulos de una de esas opciones de orientación de A y B son { α , β } , entonces los ángulos de la otra opción son {− α , − β } . (Para medir un ángulo de rotación en un plano 2, es necesario especificar una orientación en ese plano 2. Un ángulo de rotación de − π es el mismo que uno de + π . Si se invierte la orientación del espacio 4, los ángulos resultantes serían { α , − β } o {− α , β } . Por lo tanto, los valores absolutos de los ángulos están bien definidos de forma completamente independiente de cualquier opción).
2. Ejemplo de signos opuestos: la inversión central; en la representación del cuaternión las partes reales son +1 y −1, y la inversión central no se puede lograr mediante una única rotación simple.

Referencias

1. Dorst 2019, págs. 14−16, 6.2. Rotaciones isoclínicas en 4D.
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