Toro de Clifford

Objeto geométrico en el espacio de cuatro dimensiones

Una proyección estereográfica de un toro de Clifford realizando una rotación simple

Topológicamente, un rectángulo es el polígono fundamental de un toro, con bordes opuestos cosidos entre sí.

En topología geométrica , el toro de Clifford es la incrustación plana más simple y simétrica del producto cartesiano de dos círculos S¹
_uny S^1b
_​(en el mismo sentido en que la superficie de un cilindro es "plana"). Recibe su nombre de William Kingdon Clifford . Se encuentra en R ⁴ , en lugar de en R ³ . Para ver por qué es necesario R ⁴ , observe que si S¹
_uny S^1b
_​cada uno existe en su propio espacio de incrustación independiente R²
_uny R^2b
_​, el espacio de producto resultante será R ⁴ en lugar de R ³ . La visión históricamente popular de que el producto cartesiano de dos círculos es un toro R ^{3 ,} en contraste, requiere la aplicación altamente asimétrica de un operador de rotación al segundo círculo, ya que ese círculo solo tendrá un eje independiente z disponible después de que el primer círculo consuma x e  y .

Dicho de otra manera, un toro incrustado en R ³ es una proyección asimétrica de dimensión reducida del toro de Clifford de máxima simetría incrustado en R ⁴ . La relación es similar a la de proyectar las aristas de un cubo sobre una hoja de papel. Dicha proyección crea una imagen de menor dimensión que captura con precisión la conectividad de las aristas del cubo, pero también requiere la selección y eliminación arbitrarias de uno de los tres ejes completamente simétricos e intercambiables del cubo.

Si S¹
_uny S^1b
_​cada uno tiene un radio de ⁠1/√ 2⁠ , su producto toro de Clifford encajará perfectamente dentro de la 3-esfera unitaria S ³ , que es una subvariedad tridimensional de R ⁴ . Cuando sea matemáticamente conveniente, el toro de Clifford puede considerarse como si residiera dentro del espacio de coordenadas complejo C ² , ya que C ² es topológicamente equivalente a R ⁴ .

El toro de Clifford es un ejemplo de un toro cuadrado , porque es isométrico a un cuadrado con lados opuestos identificados. (Algunos videojuegos , incluido Asteroids , se juegan en un toro cuadrado; cualquier cosa que se mueva fuera de un borde de la pantalla reaparece en el borde opuesto con la misma orientación). También se lo conoce como un 2-toro euclidiano (el "2" es su dimensión topológica); las figuras dibujadas en él obedecen a la geometría euclidiana ^{[ aclaración necesaria ]} como si fuera plano, mientras que la superficie de un toro común en forma de " rosquilla " está curvada positivamente en el borde exterior y negativamente en el interior. Aunque tiene una geometría diferente a la incrustación estándar de un toro en el espacio euclidiano tridimensional, el toro cuadrado también se puede incrustar en el espacio tridimensional, por el teorema de incrustación de Nash ; una posible incrustación modifica el toro estándar mediante un conjunto fractal de ondulaciones que corren en dos direcciones perpendiculares a lo largo de la superficie. ^[1]

Definición formal

El círculo unitario S ¹ en R ² se puede parametrizar mediante una coordenada angular:

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \theta ,\sin \theta )\,{\big |}\,0\leq \theta <2\pi {\bigr \}}.}$

En otra copia de R ² , tome otra copia del círculo unitario

${\displaystyle S^{1}={\bigl \{}(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,{\big |}\,0\leq \varphi <2\pi {\bigr \}}.}$

Entonces el toro de Clifford es

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Dado que cada copia de S ¹ es una subvariedad incrustada de R ² , el toro de Clifford es un toro incrustado en R ² × R ² = R ⁴ .

Si R ⁴ está dado por las coordenadas ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) , entonces el toro de Clifford está dado por

${\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

Esto demuestra que en R ⁴ el toro de Clifford es una subvariedad de la 3-esfera unitaria S ³ .

Es fácil verificar que el toro de Clifford es una superficie mínima en S ³ .

Derivación alternativa utilizando números complejos

También es común considerar el toro de Clifford como un toro incrustado en C ² . En dos copias de C , tenemos los siguientes círculos unitarios (aún parametrizados por una coordenada angular):

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\theta }\,\right|\,0\leq \theta <2\pi \right\}}$

y

${\displaystyle S^{1}=\left\{\left.e^{i\varphi }\,\right|\,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Ahora el toro de Clifford aparece como

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta },e^{i\varphi }\right)\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.}$

Como antes, se trata de una subvariedad incrustada, en la esfera unitaria S ³ en C ² .

Si C ² está dado por las coordenadas ( z ₁ , z ₂ ) , entonces el toro de Clifford está dado por

${\displaystyle \left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$

En el toro de Clifford definido anteriormente, la distancia de cualquier punto del toro de Clifford al origen de C ² es

${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.}$

El conjunto de todos los puntos a una distancia de 1 desde el origen de C ² es la 3-esfera unitaria, y por lo tanto el toro de Clifford se encuentra dentro de esta 3-esfera. De hecho, el toro de Clifford divide esta 3-esfera en dos toros sólidos congruentes (véase la división de Heegaard ^[2] ).

Como O(4) actúa sobre R ⁴ mediante transformaciones ortogonales , podemos mover el toro de Clifford "estándar" definido anteriormente a otros toros equivalentes mediante rotaciones rígidas. Todos ellos se denominan "toros de Clifford". El grupo de seis dimensiones O(4) actúa de forma transitiva sobre el espacio de todos los toros de Clifford que se encuentran dentro de la 3-esfera. Sin embargo, esta acción tiene un estabilizador bidimensional (véase la acción del grupo ) ya que la rotación en las direcciones meridional y longitudinal de un toro preserva el toro (en contraposición a moverlo a un toro diferente). Por lo tanto, en realidad hay un espacio de cuatro dimensiones de toros de Clifford. ^[2] De hecho, existe una correspondencia bidimensional entre los toros de Clifford en la 3-esfera unitaria y pares de círculos polares máximos (es decir, círculos máximos que están separados al máximo). Dado un toro de Clifford, los círculos polares máximos asociados son los círculos centrales de cada una de las dos regiones complementarias. Por el contrario, dado cualquier par de grandes círculos polares, el toro de Clifford asociado es el lugar geométrico de los puntos de la 3-esfera que son equidistantes de los dos círculos.

Definición más general de los toros de Clifford

Los toros planos de la esfera unitaria S ³ que son el producto de círculos de radio r en un plano bidimensional R ² y de radio √ 1 − r ² en otro plano bidimensional R ² a veces también se denominan "toros de Clifford".

Se puede pensar que los mismos círculos tienen radios que son cos θ y sen θ para algún ángulo θ en el rango 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ (donde incluimos los casos degenerados θ = 0 y θ = ⁠π/2⁠ ).

La unión para 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ de todos estos toros de forma

${\displaystyle T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )}$

(donde S ( r ) denota el círculo en el plano R ² definido por tener centro (0, 0) y radio r ) es la 3-esfera S ³ . Nótese que debemos incluir los dos casos degenerados θ = 0 y θ = ⁠π/2⁠ , cada uno de los cuales corresponde a un gran círculo de S ³ , y que juntos constituyen un par de grandes círculos polares.

Se ve fácilmente que este toro T _θ tiene área

${\displaystyle \operatorname {area} \left(T_{\theta }\right)=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,}$

_{Así que} sólo el toro T_π/4⁠ tiene el área máxima posible de2 π ² . Este toro T _⁠π/4⁠ es el toro T _θ que comúnmente se llama "toro de Clifford" y también es el único de los T _θ que es una superficie mínima en S ³ .

Definición aún más general de los toros de Clifford en dimensiones superiores

Cualquier esfera unitaria S ^{2 n −1} en un espacio euclidiano de dimensión par R ^{2 n} = C ⁿ puede expresarse en términos de las coordenadas complejas de la siguiente manera:

${\displaystyle S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.}$

Entonces, para cualquier número no negativo r ₁ , ..., r _n tal que r ₁ ² + ... + r _n ² = 1 , podemos definir un toro de Clifford generalizado de la siguiente manera:

${\displaystyle T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}={\bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n{\bigr \}}.}$

Estos toros de Clifford generalizados son todos disjuntos entre sí. Podemos concluir nuevamente que la unión de cada uno de estos toros T _{r 1 , ..., r n} es la (2 n − 1) -esfera unitaria S ^{2 n −1} (donde nuevamente debemos incluir los casos degenerados donde al menos uno de los radios r _k = 0 ).

Propiedades

• El toro de Clifford es "plano": cada punto tiene un vecindario que puede aplanarse sobre una parte del plano sin distorsión, a diferencia del toro de revolución estándar.
• El toro de Clifford divide la esfera tridimensional en dos toros sólidos congruentes. (En una proyección estereográfica , el toro de Clifford aparece como un toro de revolución estándar. El hecho de que divida la esfera tridimensional en partes iguales significa que el interior del toro proyectado es equivalente al exterior).

Usos en matemáticas

En geometría simpléctica , el toro de Clifford proporciona un ejemplo de una subvariedad lagrangiana incrustada de C ² con la estructura simpléctica estándar. (Por supuesto, cualquier producto de círculos incrustados en C da un toro lagrangiano de C ² , por lo que no es necesario que sean toros de Clifford).

La conjetura de Lawson establece que todo toro mínimamente inserto en la esfera tridimensional con métrica redonda debe ser un toro de Clifford. Simon Brendle publicó una prueba de esta conjetura en 2013. ^[3]

Los toros de Clifford y sus imágenes bajo transformaciones conformes son los minimizadores globales de la función de Willmore .

Véase también

• Duocilindro
• Fibración de Hopf
• Paralelo de Clifford y superficie de Clifford
• Reino de William Clifford

Referencias

1. Borrelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B. (abril de 2012), "Tori planos en el espacio tridimensional e integración convexa", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC  3358891 , PMID  22523238.
2. Norbs, P. (septiembre de 2005), "El problema 12" (PDF) , The Australian Mathematical Society Gazette , 32 (4): 244–246
3. Brendle, Simon (2013), "Toris mínimos incrustados en S ³ y la conjetura de Lawson", Acta Mathematica , 211 (2): 177–190, arXiv : 1203.6597 , doi :10.1007/s11511-013-0101-2; ver reseñas de João Lucas Marques Barbosa ( MR 3143888) y Ye-Lin Ou ( Zbl  1305.53061)