Cuaterniones hamiltonianos clásicos

Tratamiento original de Hamilton de los cuaterniones

William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones , una entidad matemática en 1843. Este artículo describe el tratamiento original de Hamilton de los cuaterniones, utilizando su notación y términos. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones . Matemáticamente, los cuaterniones analizados difieren de la definición moderna solo por la terminología que se utiliza.

Elementos clásicos de un cuaternión

Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en el espacio tridimensional ; [ ^1] o, más generalmente, como el cociente de dos vectores. ^[2]

Un cuaternión puede representarse como la suma de un escalar y un vector. También puede representarse como el producto de su tensor por su versor.

Escalar

Hamilton inventó el término escalares para los números reales , porque abarcan la "escala de progresión desde el infinito positivo al negativo" ^[3] o porque representan la "comparación de posiciones en una escala común". ^[4] Hamilton consideraba el álgebra escalar ordinaria como la ciencia del tiempo puro. ^[5]

Vector

Hamilton definió un vector como "una línea recta... que no sólo tiene longitud sino también dirección". ^[6] Hamilton derivó la palabra vector del latín vehere, llevar. ^[7]

Hamilton concibió un vector como la "diferencia de sus dos puntos extremos". ^[6] Para Hamilton, un vector era siempre una entidad tridimensional, con tres coordenadas relativas a cualquier sistema de coordenadas dado, incluidos, entre otros, los sistemas polares y rectangulares . ^[8] Por lo tanto, se refirió a los vectores como "tripletes".

Hamilton definió la suma de vectores en términos geométricos, colocando el origen del segundo vector al final del primero. ^[9] Luego definió la resta de vectores.

Sumando un vector a sí mismo varias veces, definió la multiplicación de un vector por un entero , luego extendió esto a la división por un entero y la multiplicación (y división) de un vector por un número racional. Finalmente, tomando límites, definió el resultado de multiplicar un vector α por cualquier escalar x como un vector β con la misma dirección que α si x es positivo; la dirección opuesta a α si x es negativo; y una longitud que es | x | veces la longitud de α. ^[10]

El cociente de dos vectores paralelos o antiparalelos es por tanto un escalar con valor absoluto igual al cociente de las longitudes de los dos vectores; el escalar es positivo si los vectores son paralelos y negativo si son antiparalelos. ^[11]

Vector unitario

Un vector unitario es un vector de longitud uno. Algunos ejemplos de vectores unitarios son i, j y k.

Tensor

Nota: El uso de la palabra tensor por parte de Hamilton no coincide con la terminología moderna. El tensor de Hamilton es en realidad el valor absoluto en el álgebra de cuaterniones, lo que lo convierte en un espacio vectorial normado .

Hamilton definió el tensor como una cantidad numérica positiva o, más propiamente, un número sin signo. ^{[12] [13] [14]} Se puede pensar en un tensor como un escalar positivo. ^[15] Se puede pensar en el "tensor" como la representación de un "factor de estiramiento". ^[16]

Hamilton introdujo el término tensor en su primer libro, Lectures on Quaternions, basado en las conferencias que dio poco después de su invención de los cuaterniones:

• Parece conveniente ampliar por definición el significado de la nueva palabra tensor, de modo que sea capaz de incluir también aquellos otros casos en los que operamos sobre una línea disminuyendo en lugar de aumentar su longitud; y generalmente alterando esa longitud en cualquier proporción definida. Tendremos así (como se insinuó al final del artículo en cuestión) tensores fraccionarios e incluso inconmensurables , que serán simplemente multiplicadores numéricos, y serán todos positivos o (para hablar más propiamente) números sin signo , es decir, sin los signos algebraicos de positivo y negativo ; porque, en la operación aquí considerada, hacemos abstracción de las direcciones (así como de las situaciones) de las líneas que se comparan o sobre las que se opera.

Cada cuaternión tiene un tensor, que es una medida de su magnitud (de la misma manera que la longitud de un vector es una medida de la magnitud de un vector). Cuando un cuaternión se define como el cociente de dos vectores, su tensor es el cociente de las longitudes de estos vectores.

Versor

Un versor es un cuaternión con un tensor de 1. Alternativamente, un versor puede definirse como el cociente de dos vectores de igual longitud. ^{[17] [18]}

En general, un versor define todo lo siguiente: un eje direccional; el plano normal a ese eje; y un ángulo de rotación. ^[19]

Cuando se multiplican un versor y un vector que se encuentra en el plano del versor, el resultado es un nuevo vector de la misma longitud pero girado en el ángulo del versor.

Arco vectorial

Dado que cada vector unitario puede considerarse como un punto en una esfera unitaria , y dado que un versor puede considerarse como el cociente de dos vectores, un versor tiene un arco de círculo máximo representativo, llamado arco vectorial , que conecta estos dos puntos, dibujados desde el divisor o parte inferior del cociente, hasta el dividendo o parte superior del cociente. ^{[20] [21]}

Versor derecho

Cuando el arco de un versor tiene la magnitud de un ángulo recto , entonces se llama versor recto , versor radial recto o cuadrantal .

Formas degeneradas

Existen dos casos especiales de versores degenerados, llamados escalares unitarios. ^[22] Estos dos escalares (unidad negativa y unidad positiva) pueden considerarse como cuaterniones escalares . Estos dos escalares son casos límite especiales, correspondientes a versores con ángulos de cero o π.

A diferencia de otros versores, estos dos no pueden representarse mediante un único arco. El arco de 1 es un único punto, y –1 puede representarse mediante un número infinito de arcos, porque hay un número infinito de líneas más cortas entre los puntos antípodas de una esfera.

Cuaternio

Cada cuaternión se puede descomponer en un escalar y un vector.

${\displaystyle q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)}$

Estas dos operaciones S y V se denominan "tomar el escalar de" y "tomar el vector de" un cuaternión. La parte vectorial de un cuaternión también se denomina parte derecha. ^[23]

Cada cuaternión es igual a un versor multiplicado por el tensor del cuaternión. Denotando el versor de un cuaternión por

${\displaystyle \mathbf {U} q}$

y el tensor de un cuaternión por

${\displaystyle \mathbf {T} q}$

tenemos

${\displaystyle q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q}$

Cuaternión derecho

Un múltiplo real de un versor recto es un cuaternión recto, por lo tanto un cuaternión recto es un cuaternión cuyo componente escalar es cero,

${\displaystyle S(q)=0.}$

El ángulo de un cuaternión recto es de 90 grados. Por lo tanto, un cuaternión recto solo tiene una parte vectorial y no una parte escalar. Los cuaterniones rectos se pueden expresar en forma de trinomio estándar. Por ejemplo, si Q es un cuaternión recto, se puede escribir como:

${\displaystyle Q=xi+yj+zk}$^[24]

Cuatro operaciones

Cuatro operaciones son de importancia fundamental en la notación de cuaterniones. ^[25]

+ − ÷ ×

En particular, es importante entender que existe una única operación de multiplicación, una única operación de división y una única operación de suma y resta. Este único operador de multiplicación puede operar sobre cualquiera de los tipos de entidades matemáticas. Asimismo, todo tipo de entidad puede dividirse, sumarse o restarse de cualquier otro tipo de entidad. Comprender el significado del símbolo de resta es fundamental en la teoría de los cuaterniones, porque conduce a la comprensión del concepto de vector.

Operadores ordinales

Las dos operaciones ordinales en la notación cuaternional clásica eran la suma y la resta o + y −.

Estas marcas son:

"...características de la síntesis y análisis de un estado de progresión, según se considere que este estado se deriva de, o se compara con, algún otro estado de esa progresión." ^[26]

Sustracción

La resta es un tipo de análisis llamado análisis ordinal ^[27]

...consideremos ahora el espacio como el campo de progresión que se ha de estudiar, y los PUNTOS como estados de esa progresión. ...Me veo obligado a considerar la palabra "Menos", o el signo −, en geometría, como el signo o característica del análisis de una posición geométrica (en el espacio), en comparación con otra (tal) posición. La comparación de un punto matemático con otro con vistas a la determinación de lo que puede llamarse su relación ordinal, o su posición relativa en el espacio... ^[28]

El primer ejemplo de resta es tomar el punto A para representar la tierra y el punto B para representar el sol, luego una flecha dibujada de A a B representa el acto de movimiento o vección de A a B.

B - A

Este es el primer ejemplo de vector en las lecciones de Hamilton. En este caso, el acto de viajar de la Tierra al Sol. ^{[29] [30]}

Suma

La adición es un tipo de análisis llamado síntesis ordinal. ^[31]

Suma de vectores y escalares

Se pueden sumar vectores y escalares. Cuando se suma un vector a un escalar, se crea una entidad completamente diferente: un cuaternión.

Un vector más un escalar es siempre un cuaternión, incluso si el escalar es cero. Si el escalar añadido al vector es cero, el nuevo cuaternión resultante se denomina cuaternión recto. Tiene una característica angular de 90 grados.

Operaciones cardinales

Las dos operaciones cardinales ^[32] en la notación de cuaternión son la multiplicación geométrica y la división geométrica y se pueden escribir:

÷, ×

No es necesario aprender los siguientes términos más avanzados para utilizar la división y la multiplicación.

La división es un tipo de análisis llamado análisis cardinal. ^[33] La multiplicación es un tipo de síntesis llamada síntesis cardinal ^[34]

División

Clásicamente, el cuaternión se consideraba el cociente de dos vectores, a veces llamado fracción geométrica.

Si OA y OB representan dos vectores dibujados desde el origen O hasta otros dos puntos A y B, entonces la fracción geométrica se escribió como

${\displaystyle OA:OB}$

Alternativamente, si los dos vectores están representados por α y β, el cociente se escribió como

${\displaystyle \alpha \div \beta }$

o

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$

Hamilton afirma: "El cociente de dos vectores es generalmente un cuaternión". ^[35] En Lectures on Quaternions también se introduce por primera vez el concepto de cuaternión como cociente de dos vectores:

Lógicamente y por definición, ^{[36] [37]}

si ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

entonces . ${\displaystyle {q}\times {\beta }=\alpha .}$

En el cálculo de Hamilton el producto no es conmutativo , es decir, el orden de las variables es de gran importancia. Si se invirtiera el orden de q y β el resultado no sería en general α. El cuaternión q puede considerarse como un operador que transforma β en α, primero rotándolo, antiguamente un acto de versión y luego cambiando su longitud, antiguamente llamado acto de tensión .

También por definición el cociente de dos vectores es igual al numerador por el recíproco del denominador . Como la multiplicación de vectores no es conmutativa, no se puede cambiar el orden en la siguiente expresión.

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=\,{\alpha }\times {\frac {1}{\beta }}}$

Nuevamente el orden de las dos cantidades en el lado derecho es significativo.

Hardy presenta la definición de división en términos de reglas mnemotécnicas de cancelación: “La cancelación se realiza mediante un movimiento ascendente de la mano derecha”. ^[38]

Si alfa y beta son vectores y q es un cuaternión tal que

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}$

entonces ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=q}$

y ^[39] ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}.\beta =\alpha \beta ^{-1}.\beta =\alpha }$

${\displaystyle \times }$y son operaciones inversas, tales que: ${\displaystyle \div }$

${\displaystyle \beta \div \alpha \times \alpha =\beta }$y ^[40] ${\displaystyle q\times \alpha \div \alpha =q}$

y

${\displaystyle \gamma =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )\times \alpha }$^[41]

Una forma importante de pensar en q es como un operador que transforma β en α, primero rotándolo ( versión ) y luego cambiando su longitud (tensión).

${\displaystyle \gamma \div \alpha =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )}$^[42]

División de los vectores unitariosi,yo,a

Los resultados de utilizar el operador de división en i , j y k fueron los siguientes. ^[43]

El recíproco de un vector unitario es el vector invertido. ^[44]

${\displaystyle {\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i}$

Debido a que un vector unitario y su recíproco son paralelos entre sí pero apuntan en direcciones opuestas, el producto de un vector unitario y su recíproco tiene una propiedad conmutativa de caso especial, por ejemplo, si a es cualquier vector unitario entonces: ^[45]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.}$

Sin embargo, en el caso más general que involucra más de un vector (sea o no un vector unitario) la propiedad conmutativa no se cumple. ^[46] Por ejemplo:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}}$≠ ${\displaystyle {\frac {k}{i}}i.}$

Esto se debe a que k/i se define cuidadosamente como:

${\displaystyle {\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j}$.

De modo que:

${\displaystyle i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k}$,

sin embargo

${\displaystyle {\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k}$

División de dos vectores paralelos

Si bien en general el cociente de dos vectores es un cuaternión, si α y β son dos vectores paralelos entonces el cociente de estos dos vectores es un escalar. Por ejemplo, si

${\displaystyle \alpha =ai}$,

y luego ${\displaystyle \beta =bi}$

${\displaystyle \alpha \div \beta ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {ai}{bi}}={\frac {a}{b}}}$

Donde a/b es un escalar. ^[47]

División de dos vectores no paralelos

El cociente de dos vectores es en general el cuaternión:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$ ${\displaystyle ={\frac {T\alpha }{T\beta }}(\cos \phi +\epsilon \sin \phi )}$

Donde α y β son dos vectores no paralelos, φ es el ángulo entre ellos y ε es un vector unitario perpendicular al plano de los vectores α y β, con su dirección dada por la regla de la mano derecha estándar. ^[48]

Multiplicación

La notación clásica de cuaterniones tenía un solo concepto de multiplicación. La multiplicación de dos números reales, dos números imaginarios o un número real por un número imaginario en el sistema de notación clásica era la misma operación.

La multiplicación de un escalar y un vector se realizaba con el mismo operador de multiplicación; la multiplicación de dos vectores de cuaterniones utilizaba esta misma operación, al igual que la multiplicación de un cuaternión y un vector o de dos cuaterniones.

Factor, faciend y factum

Factor × Faciend = Factum ^[49]

Cuando se multiplican dos cantidades, la primera cantidad se llama factor, ^[50] la segunda cantidad se llama faciend y el resultado se llama factum.

Distributivo

En la notación clásica, la multiplicación era distributiva . Si se comprende esto, resulta sencillo entender por qué el producto de dos vectores en notación clásica producía un cuaternión.

${\displaystyle q=(ai+bj+ck)\times (ei+fj+gk)}$

${\displaystyle q=ae({i}\times {i})+af({i}\times {j})+ag({i}\times {k})+be({j}\times {i})+bf({j}\times {j})+bg({j}\times {k})+ce({k}\times {i})+cf({k}\times {j})+cg({k}\times {k})}$

Usando la tabla de multiplicación de cuaterniones tenemos:

${\displaystyle q=ae(-1)+af(+k)+ag(-j)+be(-k)+bf(-1)+bg(+i)+ce(+j)+cf(-i)+cg(-1)}$

Luego, recopilemos los términos:

${\displaystyle q=-ae-bf-cg+(bg-cf)i+(ce-ag)j+(af-be)k}$

Los primeros tres términos son escalares.

Dejar

${\displaystyle w=-ae-bf-cg}$

${\displaystyle x=(bg-cf)}$

${\displaystyle y=(ce-ag)}$

${\displaystyle z=(af-be)}$

De modo que el producto de dos vectores es un cuaternión, y puede escribirse en la forma:

${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$

Producto de dos cuaterniones rectos

El producto de dos cuaterniones rectos es generalmente un cuaternión.

Sean α y β los cuaterniones rectos que resultan de tomar los vectores de dos cuaterniones:

${\displaystyle \alpha =\mathbf {V} p}$

${\displaystyle \beta =\mathbf {V} q}$

Su producto en general es un nuevo cuaternión representado aquí por r. Este producto no es ambiguo porque la notación clásica tiene un solo producto.

${\displaystyle r=\,\alpha \beta ;}$

Como todos los cuaterniones, r ahora puede descomponerse en sus partes vectorial y escalar.

${\displaystyle r=\mathbf {S} r+\mathbf {V} r}$

Los términos de la derecha se denominan escalar del producto y vector del producto ^[51] de dos cuaterniones rectos.

Nota: "Escalar del producto" corresponde al producto escalar euclidiano de dos vectores hasta el cambio de signo (multiplicación por −1).

Otros operadores en detalle

Escalar y vector

Dos operaciones importantes en el sistema clásico de notación de cuaterniones eran S (q) y V (q), que implicaban tomar la parte escalar y tomar la parte imaginaria, lo que Hamilton llamó la parte vectorial del cuaternión. Aquí S y V son operadores que actúan sobre q. Los paréntesis se pueden omitir en este tipo de expresiones sin ambigüedad. Notación clásica:

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

Aquí, q es un cuaternión. S q es el escalar del cuaternión mientras que V q es el vector del cuaternión.

Conjugado

K es el operador conjugado. El conjugado de un cuaternión es un cuaternión que se obtiene multiplicando la parte vectorial del primer cuaternión por menos uno.

Si

${\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}$

entonces

${\displaystyle \mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q}$.

La expresión

${\displaystyle r=\,\mathbf {K} q}$,

es decir, asignar al cuaternión r el valor del conjugado del cuaternión q.

Tensor

T es el operador tensorial. Devuelve un tipo de número llamado tensor.

El tensor de un escalar positivo es el propio escalar. El tensor de un escalar negativo es el valor absoluto del escalar (es decir, sin el signo negativo). Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {T} (5)=5}$

${\displaystyle \mathbf {T} (-5)=5}$

El tensor de un vector es por definición la longitud del vector. Por ejemplo, si:

${\displaystyle \alpha =xi+yj+zk}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

El tensor de un vector unitario es uno. Como el versor de un vector es un vector unitario, el tensor del versor de cualquier vector siempre es igual a la unidad. Simbólicamente:

${\displaystyle \mathbf {TU} \alpha =1}$^[52]

Un cuaternión es por definición el cociente de dos vectores y el tensor de un cuaternión es por definición el cociente de los tensores de estos dos vectores. En símbolos:

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}.}$

${\displaystyle \mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.}$^[53]

A partir de esta definición se puede demostrar que una fórmula útil para el tensor de un cuaternión es: ^[54]

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

También se puede demostrar a partir de esta definición que otra fórmula para obtener el tensor de un cuaternión es a partir de la norma común, definida como el producto de un cuaternión por su conjugado. La raíz cuadrada de la norma común de un cuaternión es igual a su tensor.

${\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}}$

Una identidad útil es que el cuadrado del tensor de un cuaternión es igual al tensor del cuadrado de un cuaternión, de modo que se pueden omitir los paréntesis. ^[55]

${\displaystyle (\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}}$

Además, los tensores de los cuaterniones conjugados son iguales. ^[56]

${\displaystyle \mathbf {TK} q=\mathbf {T} q}$

El tensor de un cuaternión ahora se llama su norma .

Eje y ángulo

Al tomar el ángulo de un cuaternión no escalar, se obtuvo como resultado un valor mayor que cero y menor que π. ^{[57] [58]}

Cuando un cuaternión no escalar se considera como el cociente de dos vectores, entonces el eje del cuaternión es un vector unitario perpendicular al plano de los dos vectores en este cociente original, en una dirección especificada por la regla de la mano derecha. ^[59] El ángulo es el ángulo entre los dos vectores.

En símbolos,

${\displaystyle u=Ax.q}$

${\displaystyle \theta =\angle q}$

Recíproca

Si

${\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}$

entonces su recíproco se define como

${\displaystyle {\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}}$

La expresión:

${\displaystyle {q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}}$

Los recíprocos tienen muchas aplicaciones importantes, ^{[60] [61]} por ejemplo, rotaciones , particularmente cuando q es un versor. Un versor tiene una fórmula fácil para su recíproco. ^[62]

${\displaystyle {\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q}$

En palabras, el recíproco de un versor es igual a su conjugado. Los puntos entre los operadores muestran el orden de las operaciones y también ayudan a indicar que S y U, por ejemplo, son dos operaciones diferentes en lugar de una única operación denominada SU.

Norma común

El producto de un cuaternión por su conjugado es su norma común. ^[63]

La operación de tomar la norma común de un cuaternión se representa con la letra N. Por definición, la norma común es el producto de un cuaternión por su conjugado. Se puede demostrar ^{[64] [65]} que la norma común es igual al cuadrado del tensor de un cuaternión. Sin embargo, esta prueba no constituye una definición. Hamilton da definiciones exactas e independientes tanto de la norma común como del tensor. Esta norma se adoptó como se sugirió a partir de la teoría de números, sin embargo, para citar a Hamilton "no se necesitarán a menudo". El tensor es generalmente de mayor utilidad. La palabra norma no aparece en Lectures on Quaternions , y solo dos veces en la tabla de contenidos de Elements of Quaternions .

En símbolos:

${\displaystyle \mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}}$

La norma común de un versor es siempre igual a la unidad positiva. ^[66]

${\displaystyle \mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1}$

Bicuaterniones

Números geométricamente reales y geométricamente imaginarios

En la literatura clásica sobre cuaterniones, la ecuación

${\displaystyle q^{2}=-1}$

Se pensaba que tenía infinitas soluciones, llamadas geométricamente reales . Estas soluciones son los vectores unitarios que forman la superficie de una esfera unitaria.

Un cuaternión geométricamente real es aquel que puede escribirse como una combinación lineal de i , j y k , de modo que los cuadrados de los coeficientes sumen uno. Hamilton demostró que tenía que haber raíces adicionales de esta ecuación además de las raíces geométricamente reales. Dada la existencia del escalar imaginario, se pueden escribir varias expresiones y darles nombres propios. Todas ellas formaban parte del cálculo de cuaterniones original de Hamilton. En símbolos:

${\displaystyle q+q'{\sqrt {-1}}}$

donde q y q′ son cuaterniones reales, y la raíz cuadrada de menos uno es la imaginaria del álgebra ordinaria , y se denominan raíces imaginarias o simbólicas ^[67] y no una cantidad vectorial geométricamente real.

Escalar imaginario

Las cantidades geométricamente imaginarias son raíces adicionales de la ecuación anterior de naturaleza puramente simbólica. En el artículo 214 de Elementos, Hamilton demuestra que si hay una i, una j y una k, también tiene que haber otra cantidad h que es un escalar imaginario, lo que, según observa, ya debería haber ocurrido a cualquiera que haya leído los artículos anteriores con atención. ^[68] El artículo 149 de Elementos trata de los números geométricamente imaginarios e incluye una nota a pie de página que introduce el término biquaternion . ^[69] Los términos imaginario del álgebra ordinaria e imaginario escalar se utilizan a veces para estas cantidades geométricamente imaginarias.

Las raíces geométricamente imaginarias de una ecuación se interpretaban en el pensamiento clásico como situaciones geométricamente imposibles. El artículo 214 de Elementos de cuaterniones explora el ejemplo de la ecuación de una línea y un círculo que no se intersecan, como se indica por la ecuación que tiene solo una raíz geométricamente imaginaria. ^[70]

En escritos posteriores de Hamilton propuso utilizar la letra h para denotar el escalar imaginario ^{[71] [72] [73]}

Bicuaternión

En la página 665 de Elements of Quaternions, Hamilton define un biquaternión como un cuaternión con coeficientes de números complejos . La parte escalar de un biquaternión es entonces un número complejo llamado biscalar . La parte vectorial de un biquaternión es un bivector que consta de tres componentes complejos. Los biquaterniones son entonces la complejización de los cuaterniones originales (reales).

Otros cuaterniones dobles

Hamilton inventó el término asociativo para distinguir entre el escalar imaginario (conocido ahora como un número complejo ), que es a la vez conmutativo y asociativo, y otras cuatro posibles raíces de la unidad negativa que designó L, M, N y O, mencionándolas brevemente en el apéndice B de Lectures on Quaternions y en cartas privadas. Sin embargo, las raíces no asociativas de menos uno no aparecen en Elements of Quaternions . Hamilton murió antes de trabajar ^{[ aclaración necesaria ]} en estas extrañas entidades. Su hijo afirmó que eran "arcos reservados para las manos de otro Ulises". ^[74]

Véase también

• Construcción Cayley-Dickson
• Octoniones
• Teorema de Frobenius

Notas al pie

1. Hamilton 1853 pág. 60 en Google Books
2. Hardy 1881 pág. 32 en Google Books
3. Hamilton, en la revista Philosophical , citado en el OED .
4. Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 17 en Google Books
5. Hamilton 1853, pág. 2, párrafo 3 de la introducción. Hace referencia a su artículo anterior "El álgebra como ciencia del tiempo puro". en Google Books
6. Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 1 en Google Books
7. Hamilton (1853) Conferencia I Artículo 15, introducción del término vector, de vehere en Google Books
8. Hamilton (1853) Conferencia I Artículo 17 El vector es un triplete natural en Google Books
9. a Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 6 en Google Books
10. Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 15 en Google Books
11. Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 19 en Google Books
12. Hamilton 1853 pág. 57 en Google Books
13. Hardy 1881 pág. 5 en Google Books
14. Tait 1890 pág. 31 explica la antigua definición de Hamilton de un tensor como un número positivo en Google Books
15. Hamilton 1989 pág. 165, se refiere a un tensor como un escalar positivo. en Google Books
16. (1890), pág. 32 31 en Google Books
17. Hamilton 1898 sección 8 pág. 133 art. 151 Sobre el versor de un cuaternión o un vector y alguna fórmula general de transformación en Google Books
18. Hamilton (1899), art 156 pg 135, introducción del término versor en Google Books
19. Hamilton (1899), Sección 8 artículo 151 pág. 133 en Google Books
20. Hamilton 1898 sección 9 arte 162 pág. 142 Arcos vectoriales considerados como representativos de versores de cuaterniones en Google Books
21. (1881), art. 49 pág. 71-72 71 en Google Books
22. Elementos de los cuaterniones Artículo 147 pág. 130 130 en Google Books
23. Ver Elementos de los cuaterniones, sección 13, a partir de la página 190 en Google Books
24. Hamilton (1899), Sección 14 artículo 221 en la página 233 en Google Books
25. Hamilton 1853 pág. 4 en Google Books
26. Hamilton 1853 art 5 pág. 4-5 en Google Books
27. Hamilton pág. 33 en Google Books
28. Hamilton 1853 pág. 5-6 en Google Books
29. ver Hamilton 1853 pág. 8-15 en Google Books
30. Hamilton 1853 pág. 15 Introducción del término vector como la diferencia entre dos puntos. en Google Books
31. Hamilton 1853 pág. 19 Hamilton asocia el signo más con la síntesis ordinal en Google Books
32. Hamilton (1853), pág. 35, Hamilton presenta por primera vez las operaciones cardinales en Google Books
33. Hamilton 1953 pág. 36 División definida como análisis cardinal en Google Books
34. Hamilton 1853 pág. 37 en Google Books
35. Hamilton (1899), Artículo 112 página 110 en Google Books
36. Hardy (1881), pág. 32 en Google Books
37. Hamilton Lectures on Quaternions página 37 en Google Books
38. Elementos de los cuaterniones en Google Books
39. Tratados de Tait sobre cuaterniones en Google Books
40. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones, pág. 38 en Google Books
41. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones página 41 en Google Books
42. Conferencias de Hamilton sobre cuaterniones, pág. 42 en Google Books
43. Hardy (1881), página 40-41 en Google Books
44. Hardy 1887 pág. 45 fórmula 29 en Google Books
45. Hardy 1887 pág. 45 fórmula 30 en Google Books
46. Hardy 1887 pág. 46 en Google Books
47. Elementos de los cuaterniones, libro uno. en Google Books
48. Hardy (1881), pág. 39, artículo 25 en Google Books
49. Hamilton 1853 pág. 27 explica el factor faciend y factum en Google Books
50. Hamilton 1898 sección 103 en Google Books
51. (1887) escalar del producto vectorial del producto definido, pág. 57 en Google Books
52. Hamilton 1898 pg164 El tensor del versor de un vector es la unidad. en Google Books
53. Elementos de los cuaterniones, cap. 11 en Google Books
54. Hardy (1881), pág. 65 en Google Books
55. Hamilton 1898 pág. 169 art. 190 El tensor del cuadrado es el cuadrado del tensor en Google Books
56. Hamilton 1898 pág. 167 art. 187 ecuación 12 Los tensores de los cuaterniones conjugados son iguales en Google Books
57. "Hamilton (1853), pág. 164, arte 148".
58. Hamilton (1899), pág. 118 en Google Books
59. Hamilton (1899), pág. 118 en Google Books
60. Véase Goldstein (1980) Capítulo 7 para la misma función escrita en notación matricial.
61. "Lorentz transforma a Hamilton (1853), pág. 268 1853".
62. Hardy (1881), pág. 71 en Google Books
63. Hamilton (1899), pág. 128-129 en Google Books
64. Ver nota al pie de página, donde se resalta la palabra probada en Google Books
65. Véase Hamilton 1898 pág. 169 art. 190 para la prueba de la relación entre el tensor y la norma común en Google Books
66. Hamilton 1899 pág. 138 en Google Books
67. Ver Elementos de los cuaterniones, artículos 256 y 257 en Google Books
68. Artículo 214 de Hamilton Elements, comentario infame... como ya se le habría ocurrido a cualquiera que hubiera leído con atención los artículos anteriores en Google Books
69. Elementos de los cuaterniones Artículo 149 en Google Books
70. Véase el artículo 214 sobre elementos de cuaterniones en Google Books
71. Elementos de Hamilton de los cuaterniones pág. 276 Ejemplo de notación h para escalares imaginarios en Google Books
72. Hamilton Elements Artículo 274 pág. 300 Ejemplo de uso de la notación h en Google Books
73. Hamilton Elements, artículo 274, pág. 300 Ejemplo de h que denota el imaginario del álgebra ordinaria en Google Books
74. Hamilton, William Rowan (1899). Elementos de los cuaterniones. Londres, Nueva York y Bombay: Longmans, Green, and Co. p. v. ISBN 9780828402194.

Referencias

• W. R. Hamilton (1853),Conferencias sobre cuaterniones en Google Books Dublin: Hodges and Smith
• W. R. Hamilton (1866),Elementos de cuaterniones en Google Books , 2.a edición, editado por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
• AS Hardy (1887), Elementos de los cuaterniones
• PG Tait (1890), Un tratado elemental sobre cuaterniones , Cambridge: CJ Clay and Sons
• Herbert Goldstein (1980), Mecánica clásica , 2.ª edición, número de catálogo de la Biblioteca del Congreso QA805.G6 1980