cis (matemáticas)

Notación matemática alternativa para cos x + i sen x

cis es una notación matemática definida por cis x = cos x + i sin x , ^{[nb 1]} donde cos es lafunción coseno , i es la unidad imaginaria y sin es la función seno . x es el argumento del número complejo (ángulo entre la línea y el punto y el eje x en forma polar ). La notación se usa con menos frecuencia en matemáticas que la fórmula de Euler , e ^ix , que ofrece una notación aún más corta para cos x + i sen x , perocis(x)se usa ampliamente como nombre para esta función en bibliotecas de software .

Descripción general

La notación cis es una abreviatura de la combinación de funciones en el lado derecho de la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

donde yo ² = −1 . Entonces,

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^{[1] [2] [3] [4]}

es decir, " cis " es un acrónimo de " Cos i Sin ".

Conecta funciones trigonométricas con funciones exponenciales en el plano complejo mediante la fórmula de Euler. Si bien el dominio de definición suele ser , también son posibles valores complejos : ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,}$

por lo que la función cis se puede utilizar para extender la fórmula de Euler a una versión compleja más general . ^[5]

La función se utiliza principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones, ^{[6] [7] [8]} por ejemplo junto con las transformadas de Fourier y Hartley , ^{[9] [10] [11]} o cuando las funciones exponenciales no deberían utilizarse por alguna razón en la educación matemática.

En tecnología de la información, la función cuenta con soporte dedicado en varias bibliotecas matemáticas de alto rendimiento (como Math Kernel Library (MKL) de Intel ^[12] o MathCW ^[13] ), disponibles para muchos compiladores y lenguajes de programación (incluidos C , C++). , ^[14] Common Lisp , ^{[15] [16]} D , ^[17] Haskell , ^[18] Julia , ^[19] y Rust ^[20] ). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente. ^{[17] [3]}

Identidades matemáticas

Derivado

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^{[1] [21]}

Integral

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

Otras propiedades

Estos se derivan directamente de la fórmula de Euler .

${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[22]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

Las identidades anteriores son válidas si xey son números complejos. Si x e y son reales, entonces

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[22]

Historia

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elementos de cuaterniones (1866) ^{[23] [24]} y posteriormente utilizada por Irving Stringham (quien también la llamó " sector de x ") en obras como Álgebra uniplanar (1893), ^{[25] [26]} James Harkness y Frank Morley en su Introducción a la teoría de las funciones analíticas (1898), ^{[26] [27]} o por George Ashley Campbell (quien también se refirió a ella como "oscilación cisoidal") en sus obras sobre líneas de transmisión (1901) e integrales de Fourier (1928). ^{[28] [29] [30]}

En 1942, inspirado por la notación cis , Ralph VL Hartley introdujo la función cas (para coseno y seno ) para el núcleo de Hartley de valor real , un atajo ya establecido junto con las transformadas de Hartley : ^{[31] [32]}

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

Motivación

La notación cis se utiliza a veces para enfatizar un método de ver y abordar un problema sobre otro. ^[33] Las matemáticas de la trigonometría y las exponenciales están relacionadas pero no son exactamente iguales; La notación exponencial enfatiza el todo, mientras que las notaciones cis x y cos x + i sen x enfatizan las partes. Esto puede ser retóricamente útil para matemáticos e ingenieros cuando analizan esta función y, además, servir como mnemónico (para cos + i sin ). ^[30]

La notación cis es conveniente para estudiantes de matemáticas cuyo conocimiento de trigonometría y números complejos les permite esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no les permite la notación e ^ix . A medida que los estudiantes aprenden conceptos que se basan en conocimientos previos, es importante no forzarlos a niveles de matemáticas para los que aún no están preparados: la prueba habitual de que cis x = e ^ix requiere cálculo , que es posible que el estudiante no haya estudiado antes de encontrarse. la expresión cos x + i sen x .

Esta notación era más común cuando se usaban máquinas de escribir para transmitir expresiones matemáticas.

Ver también

• La fórmula de De Moivre
• la fórmula de euler
• Número complejo
• teorema de ptolomeo
• fasor
• versor

Notas

1. Aquí, me refiero a la unidad imaginaria en matemáticas . Dado que i se usa comúnmente para denotar corriente eléctrica en ingeniería eléctrica y en ingeniería de sistemas de control , la unidad imaginaria se denota alternativamente con j en lugar de i en estos contextos. Independientemente del contexto, esto no afecta el nombre establecido de la función como cis .

Referencias

1. Weisstein, Eric Wolfgang (2015) [2000]. "Cis". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 27 de enero de 2016 . Consultado el 9 de enero de 2016 .
2. Simmons, Bruce (28 de julio de 2014) [2004]. "Cis". Palabras matemáticas: términos y fórmulas desde álgebra I hasta cálculo . Oregon City, Oregon, EE.UU.: Clackamas Community College , Departamento de Matemáticas. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
3. "Justificación del estándar internacional - Lenguajes de programación - C" (PDF) . 5.10. Abril de 2003. págs. 114, 117, 183, 186–187. Archivado (PDF) desde el original el 6 de junio de 2016 . Consultado el 17 de octubre de 2010 .
4. Amann, Herbert [en Wikidata] ; Escher, Joachim [en alemán] (2006). Análisis I. Grundstudium Mathematik (en alemán) (3 ed.). Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag . págs.292, 298. ISBN 978-3-76437755-7. ISBN 3-76437755-0 . (445 páginas)
5. Moskowitz, Martín A. (2002). "Capítulo 1. Primeros conceptos". Escrito en el Centro de Graduados de la City University of New York, Nueva York, EE.UU. Un curso de análisis complejo en una variable . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. pág. 7.ISBN​ 981-02-4780-X.(ix+149 páginas)
6. Swokowski, conde William [en Wikidata] ; Cole, Jeffery (2011). Precálculo: funciones y gráficas. Serie Precálculo (12 ed.). Aprendizaje Cengage . ISBN 978-0-84006857-6. Consultado el 18 de enero de 2016 .
7. Reis, Clive (2011). Álgebra abstracta: introducción a grupos, anillos y campos (1 ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado. Ltd. págs. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5.
8. Weitz, Edmund [en alemán] (2016). "El teorema fundamental del álgebra: una prueba visual". Hamburgo, Alemania: Universidad de Ciencias Aplicadas de Hamburgo (HAW), Departamento Medientechnik. Archivado desde el original el 3 de agosto de 2019 . Consultado el 3 de agosto de 2019 .
9. L.-Rundblad, Ekaterina; Maidán, Alexei; Novak, Pedro; Labunets, Valeriy (2004). "Transformaciones rápidas de color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus para el procesamiento de imágenes". Escrito en Prometheus Inc., Newport, EE. UU. En Byrnes, Jim (ed.). Álgebra computacional no conmutativa y aplicaciones (PDF) . Serie de Ciencias II de la OTAN: Matemáticas, Física y Química (NAII). vol. 136. Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media, Inc. págs. 401–411. doi :10.1007/1-4020-2307-3. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN  1568-2609. Archivado (PDF) desde el original el 28 de octubre de 2017 . Consultado el 28 de octubre de 2017 .
10. Kammler, David W. (17 de enero de 2008). Un primer curso de análisis de Fourier (2 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-1-13946903-6. Consultado el 28 de octubre de 2017 .
11. Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (14 de noviembre de 2016). La trigonometría fraccionaria: con aplicaciones a la ciencia y las ecuaciones diferenciales fraccionarias. John Wiley e hijos . ISBN 978-1-11913942-3. Consultado el 28 de octubre de 2017 .
12. "v?CIS". Referencia para desarrolladores de la biblioteca Intel Math Kernel (Intel MKL) 2017: documentación de C. MKL; Biblioteca de documentación IDZ. Corporación Intel . 2016-09-06. pag. 1799. 671504 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
13. Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 15.2. Valor absoluto complejo". Manual de computación de funciones matemáticas: programación utilizando la biblioteca de software portátil MathCW (1 ed.). Salt Lake City, Utah, Estados Unidos: Springer International Publishing AG . pag. 443.doi :10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
14. "Referencia del compilador Intel C++" (PDF) . Corporación Intel . 2007 [1996]. págs. 34, 59–60. 307777-004US. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
15. "CIS". Hiperespecificación de Lisp común . El grupo Harlequin Limited . 1996. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
16. "CIS". LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
17. "std.math: expi". Lenguaje de programación D. Marte digital . 2016-01-11 [2000]. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 14 de enero de 2016 .
18. "CIS". Referencia de Haskell . ZVÓN. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
19. "Matemáticas; Operadores Matemáticos". La lengua de Julia . Archivado desde el original el 19 de agosto de 2020 . Consultado el 5 de diciembre de 2019 .
20. "Estructura num_complex::Compleja". Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 5 de agosto de 2022 .
21. Fuchs, Martín (2011). "Capítulo 11: Differenzierbarkeit von Funktionen". Análisis I (PDF) (en alemán) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes , Alemania´. págs.3, 13. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
22. Fuchs, Martín (2011). "Capítulo 8.IV: Spezielle Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen". Análisis I (PDF) (en alemán) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes , Alemania. págs. 16-20. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
23. Hamilton, William Rowan (1 de enero de 1866). "Libro II, Capítulo II. Poderes fraccionarios, Raíces generales de la unidad". Escrito en Dublín, Irlanda. En Hamilton, William Edwin (ed.). Elementos de Cuaterniones (1 ed.). Londres, Reino Unido: Longmans, Green & Co. , University Press , Michael Henry Gill . págs. 250–257, 260, 262–263 . Consultado el 17 de enero de 2016 . pp. 250, 252: [...] cos [...] + i sin [...] ocasionalmente resumiremos a lo siguiente: [... ] cis [...]. En cuanto a las marcas [...], deben considerarse principalmente disponibles para la presente exposición del sistema, y ​​como no deseadas ni utilizadas con frecuencia en la práctica posterior del mismo; y la misma observación se aplica al reciente compendio cis, pues cos + i sin [...]([1], [2][3]) (NB. Este trabajo se publicó póstumamente, Hamilton murió en 1865.)
24. Hamilton, William Rowan (1899) [1 de enero de 1866]. Hamilton, William Edwin ; Joly, Charles Jasper (eds.). Elementos de cuaterniones. vol. Yo (2 ed.). Londres, Reino Unido: Longmans, Green & Co. p. 262 . Consultado el 3 de agosto de 2019 . pag. 262: [...] reciente abreviatura cis por cos + i sin [...](NB. Esta edición fue reimpresa por Chelsea Publishing Company en 1969.)
25. Stringham, Irving (1 de julio de 1893) [1891]. Álgebra uniplanar, parte 1 de una propedéutica del análisis matemático superior. vol. 1. CA Mordock & Co. (impresor) (1 ed.). San Francisco, California, Estados Unidos: The Berkeley Press . págs. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Consultado el 18 de enero de 2016 . pag. 71: Como abreviatura de cos θ + i sen θ conviene utilizar cis  θ , que puede leerse: sector de θ .
26. Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. Una historia de las notaciones matemáticas. vol. 2 (tercera impresión corregida del número de 1929, 2ª ed.). Chicago, Illinois, EE.UU.: Editorial Open Court . pag. 133.ISBN​ 978-1-60206-714-1. Consultado el 18 de enero de 2016 . pag. 133: Stringham denota cos β + i sin β por "cis  β ", una notación también utilizada por Harkness y Morley.(NB. ISBN y enlace para la reimpresión de la segunda edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
27. Harkness, James ; Morley, Frank (1898). Introducción a la Teoría de Funciones Analíticas (1 ed.). Londres, Reino Unido: Macmillan and Company . págs.18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Consultado el 18 de enero de 2016 .(NB. ISBN para reimpresión de Kessinger Publishing , 2010.)
28. Campbell, George Ashley (1903) [7 de junio de 1901]. «Capítulo XXX. De líneas cargadas en transmisión telefónica» (PDF) . Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . Serie 6. 5 (27). Taylor y Francisco : 313–330. doi :10.1080/14786440309462928. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 16 de julio de 2023 .(2+18 páginas)
29. Campbell, George Ashley (abril de 1911). «Oscilaciones cisoidales» (PDF) . Actas del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos . XXX (1–6). Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos : 789–824. doi :10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID  51647814 . Consultado el 24 de junio de 2023 .(37 páginas)
30. Campbell, George Ashley (1 de octubre de 1928) [13 de septiembre de 1927]. "La Aplicación Práctica de la Integral de Fourier" (PDF) . La revista técnica de Bell Systems . 7 (4). Compañía Estadounidense de Teléfonos y Telégrafos : 639–707 [641]. doi :10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x. S2CID  53552671 . Consultado el 24 de junio de 2023 . pag. 641: Sin embargo, se ha reconocido, casi desde el principio, que la forma que mejor combina la simplicidad matemática y la generalidad completa hace uso de la función oscilante exponencial e ^{i 2π ft} . Más recientemente se ha reconocido generalmente la abrumadora ventaja de utilizar esta función oscilatoria en la discusión de sistemas oscilatorios sinusoidales. Por lo tanto, es evidente que esta función oscilante debe adoptarse como la oscilación básica para las dos tablas propuestas. Parece deseable darle un nombre a esta oscilación, asociándola con senos y cosenos, en lugar de con la función exponencial real. La abreviatura cis x de (cos x + i sen x ) sugiere que llamemos a esta función oscilación cis o cisoidal.(69 páginas)
31. Hartley, Ralph VL (marzo de 1942). "Un análisis de Fourier más simétrico aplicado a problemas de transmisión". Actas del IRE . 30 (3). Instituto de Ingenieros de Radio : 144–150. doi :10.1109/JRPROC.1942.234333. S2CID  51644127. Archivado desde el original el 5 de abril de 2019 . Consultado el 16 de julio de 2023 .
32. Bracewell, Ronald N. (junio de 1999) [1985, 1978, 1965]. La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3 ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07303938-1.
33. Diehl, Cristina; Leupp, Marcel (enero de 2010). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm in Mathematik (PDF) (en alemán). Basilea y Herisau, Suiza: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). pag. 41. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2017. pag. 41: [...] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e ^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. En otros lugares, Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis( φ ) anstelle von e ^iφ verwendet. [...](109 páginas)