Número bicomplejo

Álgebra asociativa conmutativa de dos dimensiones complejas

En álgebra abstracta , un número bicomplejo es un par ( w , z ) de números complejos construidos mediante el proceso de Cayley-Dickson que define el conjugado bicomplejo y el producto de dos números bicomplejos como ${\displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}$

${\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

Entonces la norma bicompleja viene dada por

${\displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),}$una forma cuadrática en el primer componente.

Los números bicomplejos forman un álgebra conmutativa sobre C de dimensión dos que es isomorfa a la suma directa de las álgebras C ⊕ C .

El producto de dos números bicomplejos produce un valor de forma cuadrática que es el producto de las formas cuadráticas individuales de los números: una verificación de esta propiedad de la forma cuadrática de un producto se refiere a la identidad de Brahmagupta-Fibonacci . Esta propiedad de la forma cuadrática de un número bicomplejo indica que estos números forman un álgebra de composición . De hecho, los números bicomplejos surgen en el nivel binario de la construcción de Cayley-Dickson basada en con norma z ² . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El número bicomplejo general se puede representar mediante la matriz , que tiene determinante . Por lo tanto, la propiedad compositiva de la forma cuadrática coincide con la propiedad compositiva del determinante. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle w^{2}+z^{2}}$

Los números bicomplejos se caracterizan por tener dos unidades imaginarias distintas . Como la multiplicación es asociativa y conmutativa, el producto de estas unidades imaginarias debe tener un cuadrado positivo de uno. Un elemento como este producto se ha denominado unidad hiperbólica . ^[1]

Como un álgebra real

Los números bicomplejos forman un álgebra sobre C de dimensión dos, y como C es de dimensión dos sobre R , los números bicomplejos son un álgebra sobre R de dimensión cuatro. De hecho, el álgebra real es más antigua que la compleja; se la denominó tessarinas en 1848, mientras que el álgebra compleja no se introdujo hasta 1892.

Una base para la 4-álgebra de tessarina sobre R especifica z = 1 y z = − i , dando las matrices , que se multiplican según la tabla dada. Cuando la matriz identidad se identifica con 1, entonces una tessarina t = w + zj . ${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Historia

El tema de las unidades imaginarias múltiples fue examinado en la década de 1840. En una larga serie "Sobre los cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra" que comenzó en 1844 en Philosophical Magazine , William Rowan Hamilton comunicó un sistema de multiplicación según el grupo de cuaterniones . En 1848, Thomas Kirkman informó sobre su correspondencia con Arthur Cayley con respecto a las ecuaciones sobre las unidades que determinan un sistema de números hipercomplejos. ^[2]

Tessarinas

En 1848, James Cockle introdujo las tesarinas en una serie de artículos en Philosophical Magazine . ^[3]

Una tessarina es un número hipercomplejo de la forma

${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R} }$

Cockle utilizó tessarinas para aislar la serie hiperbólica del coseno y la serie hiperbólica del seno en la serie exponencial. También mostró cómo surgen los divisores de cero en las tessarinas, lo que lo inspiró a usar el término "imposibles". Las tessarinas ahora son más conocidas por su subálgebra de tessarinas reales , también llamadas números complejos divididos , que expresan la parametrización de la hipérbola unitaria . ${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}$ ${\displaystyle t=w+yj\ }$

Números bicomplejos

En un artículo de 1892 en Mathematische Annalen , Corrado Segre introdujo los números bicomplejos , ^[4] que forman un álgebra isomorfa a las tesarinas. ^[5]

Segre leyó las Lectures on Quaternions (1853) de WR Hamilton y las obras de W. K. Clifford . Segre utilizó parte de la notación de Hamilton para desarrollar su sistema de números bicomplejos : Sean h e i elementos que elevan al cuadrado −1 y que conmutan. Entonces, suponiendo la asociatividad de la multiplicación, el producto hi debe elevar al cuadrado +1. El álgebra construida sobre la base {1, h , i , hi } es entonces la misma que las tessarinas de James Cockle, representadas utilizando una base diferente. Segre observó que los elementos

${\displaystyle g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2}$   son idempotentes .

Cuando los números bicomplejos se expresan en términos de la base { 1, h , i , − hi } , su equivalencia con las tessarinas es evidente, en particular si los vectores en esta base se reordenan como { 1, i , − hi , h } . Observar la representación lineal de estas álgebras isomorfas muestra concordancia en la cuarta dimensión cuando se utiliza el signo negativo; considere el producto de muestra dado anteriormente bajo representación lineal.

Bibinarios

La teoría moderna de las álgebras de composición posiciona al álgebra como una construcción binaria basada en otra construcción binaria, de ahí los bibinarios . ^[6] El nivel unarión en el proceso de Cayley-Dickson debe ser un cuerpo, y comenzando con el cuerpo real, los números complejos habituales surgen como binarios de división, otro cuerpo. Así, el proceso puede comenzar de nuevo para formar bibinarios. Kevin McCrimmon señaló la simplificación de la nomenclatura proporcionada por el término binario en su texto A Taste of Jordan Algebras (2004).

Raíces polinómicas

Escriba ² C = C ⊕ C y represente sus elementos mediante pares ordenados ( u , v ) de números complejos. Como el álgebra de tessarinas T es isomorfa a ² C , los anillos de polinomios T [X] y ² C [ X ] también son isomorfos, sin embargo los polinomios en esta última álgebra se dividen:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).}$

En consecuencia, cuando se establece una ecuación polinómica en esta álgebra, se reduce a dos ecuaciones polinómicas en C . Si el grado es n , entonces hay n raíces para cada ecuación: Cualquier par ordenado de este conjunto de raíces satisfará la ecuación original en ² C [ X ], por lo que tiene n ² raíces. ^[7] ${\displaystyle f(u,v)=(0,0)}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.}$ ${\displaystyle (u_{i},v_{j})\!}$

Debido al isomorfismo con T [ X ], existe una correspondencia de polinomios y una correspondencia de sus raíces. Por lo tanto, los polinomios tesáricos de grado n también tienen n ² raíces, contando la multiplicidad de raíces .

Aplicaciones

El número bicomplejo aparece como el centro de CAPS ( álgebra complejizada del espacio físico ), que es el álgebra de Clifford . ^[8] Dado que el espacio lineal de CAPS puede verse como el espacio de cuatro dimensiones que abarca { } sobre { }. ${\displaystyle Cl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle 1,i,k,j}$

Las tesarinas se han aplicado en el procesamiento de señales digitales . ^{[9] [10] [11]}

Los números bicomplejos se emplean en mecánica de fluidos. El uso del álgebra bicompleja reconcilia dos aplicaciones distintas de los números complejos: la representación de flujos potenciales bidimensionales en el plano complejo y la función exponencial compleja . ^[12]

Referencias

1. ME Luna-Elizarrarás, M. Shapiro, DC Struppa (2013) Funciones holomorfas bicomplejas: el álgebra, la geometría y el análisis de números bicomplejos , página 6, Birkhauser ISBN  978-3-319-24868-4
2. Thomas Kirkman (1848) "Sobre plucuaterniones y productos homoides de n cuadrados", London and Edinburgh Philosophical Magazine 1848, pág. 447 Enlace a libros de Google
3. James Cockle en la revista filosófica London-Dublin-Edimburgh Philosophical Magazine , serie 3
   • 1848 Sobre ciertas funciones parecidas a cuaterniones y sobre un nuevo imaginario en álgebra, 33:435–9.
   • 1849 Sobre un nuevo imaginario en álgebra 34:37–47.
   • 1849 Sobre los símbolos del álgebra y sobre la teoría de las tesarinas 34:406–10.
   • 1850 Sobre la verdadera amplitud de una tessarina 36:290-2.
   • 1850 Sobre ecuaciones imposibles, cantidades imposibles y tesarinas 37:281–3.
   Enlaces de la Biblioteca del Patrimonio de la Biodiversidad .
4. Segre, Corrado (1892), "Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici" [La representación real de elementos complejos y entidades hiperalgebraicas], Mathematische Annalen , 40 (3): 413–467, doi :10.1007/bf01443559, S2CID  121807474, archivado desde el original el 12 de septiembre de 2013 , consultado el 12 de septiembre de 2013(ver especialmente las páginas 455–67)
5. Álgebra abstracta/Anillos polinómicos en Wikilibros
6. Álgebra de composición asociativa/Bibinarios en Wikilibros
7. Poodiack, Robert D. y Kevin J. LeClair (2009) "Teoremas fundamentales del álgebra para los perplejos", The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
8. Baylis, WE; Kiselica, JD (2012). El álgebra compleja del espacio físico: un marco para la relatividad . Álgebras de Clifford de aplicación avanzada . Vol. 22. SpringerLink. págs. 537–561.
9. Pei, Soo-Chang; Chang, Ja-Han; Ding, Jian-Jiun (21 de junio de 2004). "Biquaternions reducidos conmutativos y su transformada de Fourier para el procesamiento de señales e imágenes" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 52 (7). IEEE: 2012–2031. doi :10.1109/TSP.2004.828901. ISSN  1941-0476. S2CID  13907861.
10. Alfsmann, Daniel (4–8 de septiembre de 2006). Sobre familias de álgebras hipercomplejas de 2N dimensiones adecuadas para el procesamiento de señales digitales (PDF) . 14.ª Conferencia Europea de Procesamiento de Señales, Florencia, Italia: EURASIP. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011. Consultado el 18 de febrero de 2010 .{{cite conference}}: CS1 maint: location (link)
11. Alfsmann, Daniel; Göckler, Heinz G. (2007). Sobre sistemas digitales LTI complejos hiperbólicos (PDF) . EURASIP.
12. Kleine, Vitor G.; Hanifi, Ardeshir; Henningson, Dan S. (2022). "Estabilidad de flujos potenciales bidimensionales utilizando números bicomplejos". Proc. R. Soc. A . 478 (20220165). arXiv : 2203.05857 . Bibcode :2022RSPSA.47820165K. doi :10.1098/rspa.2022.0165. PMC 9185835 . PMID  35702595. 

Lectura adicional

• G. Baley Price (1991) Introducción a los espacios y funciones multicomplejos Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X 
• F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Las matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski con una introducción a los números hipercomplejos conmutativos , Birkhäuser Verlag , Basilea ISBN 978-3-7643-8613-9 
• Alpay D, Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC. (2014) Fundamentos del análisis funcional con escalares bicomplejos y análisis bicomplejo de Schur , Cham, Suiza: Springer Science & BusinessMedia
• Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC, Vajiac A. (2015) Funciones holomorfas bicomplejas: el álgebra, la geometría y el análisis de números bicomplejos , Cham, Suiza: Birkhäuser
• Rochon, Dominic y Michael Shapiro (2004). "Sobre las propiedades algebraicas de los números bicomplejos e hiperbólicos". Anal. Univ. Oradea, fasc. math 11, núm. 71: 110.