Triángulo

Forma con tres lados

Triángulo = Tri (tres) + Ángulo

Un triángulo es un polígono con tres vértices y tres lados, una de las formas básicas en geometría . Las esquinas, también llamadas vértices , son puntos de dimensión cero mientras que los lados que las conectan, también llamados aristas , son segmentos de recta unidimensionales . El interior del triángulo es una región bidimensional. A veces se elige un borde arbitrario como base , en cuyo caso el vértice opuesto se llama vértice .

En la geometría euclidiana , dos puntos cualesquiera determinan un segmento de línea único situado dentro de una línea recta única , y tres puntos cualesquiera, cuando no son colineales , determinan un triángulo único situado dentro de un plano único . De manera más general, varios puntos en el espacio euclidiano de dimensión arbitraria determinan un simplex .

En geometrías no euclidianas, tres segmentos rectos también determinan un triángulo, por ejemplo un triángulo esférico o un triángulo hiperbólico . Un triángulo geodésico es una región de una superficie bidimensional general encerrada por tres lados que son rectos con respecto a la superficie. Un triángulo curvilíneo es una forma con tres lados curvos , por ejemplo, un triángulo circular con lados de arco circular . Este artículo trata sobre triángulos de lados rectos en geometría euclidiana, excepto que se indique lo contrario.

Un triángulo con vértices y se denota Al describir relaciones métricas dentro de un triángulo, es común representar la longitud del borde opuesto a cada vértice usando una letra minúscula, siendo la longitud del borde la longitud de y la longitud de ; y representar la medida del ángulo en cada esquina usando una letra griega , siendo la medida del ángulo la medida de y la medida de ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle CA,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \angle CAB,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \angle ABC,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \angle BCA.}$

tipos de triangulo

Diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos 2 lados iguales (es decir, los triángulos equiláteros son isósceles).

La terminología para categorizar triángulos tiene más de dos mil años y se definió en la primera página de los Elementos de Euclides . Los nombres utilizados para la clasificación moderna son una transliteración directa del griego de Euclides o sus traducciones latinas.

Por longitudes de lados

El antiguo matemático griego Euclides definió tres tipos de triángulos según la longitud de sus lados: ^{[1] [2]}

Griego : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τ ρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευ ράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , iluminado.  'De las figuras triláteras, un triángulo isopleurónico [equilátero] es aquel que tiene sus tres lados iguales, un isósceles el que tiene sólo dos de sus lados iguales, y un escaleno el que tiene sus tres lados desiguales.' ^[3]

• Un triángulo equilátero ( griego : ἰσόπλευρον , romanizado :  isópleuron , literalmente  'lados iguales') tiene tres lados de la misma longitud. Un triángulo equilátero es también un polígono regular cuyos ángulos miden 60°. ^[4]
• Un triángulo isósceles ( griego : ἰσοσκελὲς , romanizado :  isoskelés , literalmente  'catetos iguales') tiene dos lados de igual longitud. ^{[nota 1] [5]} Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos de la misma medida, es decir, los ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud. Este hecho es el contenido del teorema del triángulo isósceles , que ya era conocido por Euclides . Algunos matemáticos definen un triángulo isósceles como uno que tiene exactamente dos lados iguales, mientras que otros definen un triángulo isósceles como uno que tiene al menos dos lados iguales. ^[5] La última definición convertiría a todos los triángulos equiláteros en triángulos isósceles. El triángulo rectángulo 45–45–90, que aparece en el mosaico del cuadrado tetrakis , es isósceles.
• Un triángulo escaleno ( griego : σκαληνὸν , romanizado :  skalinón , literalmente  'desigual') tiene todos sus lados de diferentes longitudes. ^[6] De manera equivalente, tiene todos los ángulos de diferente medida.

• 
  Triángulo equilátero
• 
  Triángulo isósceles
• 
  Triángulo escaleno

Las marcas de sombreado , también llamadas marcas de graduación, se utilizan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de iguales longitudes. Un lado se puede marcar con un patrón de "ticks", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteo ; dos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón no suele tener más de 3 tics. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los lados ya que ninguno de los lados es igual.

De manera similar, los patrones de 1, 2 o 3 arcos concéntricos dentro de los ángulos se usan para indicar ángulos iguales: un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 ángulos, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 ángulos y un triángulo escaleno Tiene diferentes patrones en todos los ángulos, ya que ningún ángulo es igual.

Por ángulos internos

La primera página de los Elementos de Euclides , de la primera versión impresa del mundo (1482), que muestra la sección de "definiciones" del Libro I. El triángulo rectángulo está etiquetado como " orthogonius ", y los dos ángulos mostrados son "acutus" y "angulus obtusus". .

Los triángulos también se pueden clasificar según sus ángulos internos , medidos aquí en grados .

• Un triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo ) tiene uno de sus ángulos interiores que mide 90° (un ángulo recto ). El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa , el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados se llaman catetos o catheti ^[7] (singular: cathetus ) del triángulo. Los triángulos rectángulos obedecen al teorema de Pitágoras : la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa: a ² + b ² = c ² , donde a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa. Los triángulos rectángulos especiales son triángulos rectángulos con propiedades adicionales que facilitan los cálculos que los involucran. Uno de los dos más famosos es el triángulo rectángulo 3–4–5, donde 3 ² + 4 ² = 5 ² . El triángulo 3–4–5 también se conoce como triángulo egipcio. ^[8] En esta situación, 3, 4 y 5 son una terna pitagórica . El otro es un triángulo isósceles que tiene 2 ángulos que miden 45 grados (triángulo 45–45–90). Los triángulos rectángulos son fundamentales en trigonometría , ya que pueden usarse para definir funciones trigonométricas a través de razones trigonométricas .
  • Los triángulos que no tienen un ángulo que mida 90° se llaman triángulos oblicuos .
• Un triángulo cuyos ángulos interiores miden menos de 90° es un triángulo agudo o un triángulo acutángulo . ^[2] Si c es la longitud del lado más largo, entonces a ² + b ² > c ² , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
• Un triángulo con un ángulo interior que mide más de 90° es un triángulo obtuso o un triángulo de ángulos obtusos . ^[2] Si c es la longitud del lado más largo, entonces a ² + b ² < c ² , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
• Un triángulo con un ángulo interior de 180° (y vértices colineales) es degenerado . Un triángulo rectángulo degenerado tiene vértices colineales, dos de los cuales son coincidentes.

Un triángulo que tiene dos ángulos de la misma medida también tiene dos lados de la misma longitud, y por tanto es un triángulo isósceles. De ello se deduce que en un triángulo donde todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud y, por tanto, es equilátero.

Hechos básicos

Un triángulo, que muestra el ángulo exterior d.

Se supone que los triángulos son figuras planas bidimensionales , a menos que el contexto disponga lo contrario (ver § Triángulos no planos, más abajo). Por lo tanto, en tratamientos rigurosos, un triángulo se llama 2- símplex (ver también Politopo ). Euclides presentó datos elementales sobre los triángulos en los libros 1 a 4 de sus Elementos , escritos alrededor del año 300 a.C.

Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (mismo color para indicar que son iguales).

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre 180 grados. ^{[9] [2] Este hecho es equivalente al} postulado paralelo de Euclides . Esto permite determinar la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo, dada la medida de dos ángulos. Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por tanto suplementario ) de un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son contiguos a él; este es el teorema del ángulo exterior . La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno por cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados. ^{[nota 2]}

Similitud y congruencia

Se dice que dos triángulos son semejantes si cada ángulo de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente del otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos similares tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para establecer similitud.

Algunos teoremas básicos sobre triángulos semejantes son:

• Si y sólo si un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida entre sí, y otro par también tiene la misma medida entre sí, los triángulos son semejantes.
• Si y sólo si un par de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son similares. (El ángulo incluido para dos lados cualesquiera de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
• Si y sólo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos están todos en la misma proporción, entonces los triángulos son semejantes. ^{[nota 3]}

Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: ^{[nota 4]} todos los pares de ángulos interiores correspondientes tienen la misma medida y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Esto es un total de seis igualdades, pero tres suelen ser suficientes para demostrar la congruencia).

Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sean congruentes son:

• Postulado de SAS: Dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo y los ángulos incluidos tienen la misma medida.
• ASA: Dos ángulos interiores y el lado incluido en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (El lado incluido para un par de ángulos es el lado que les es común).
• SSS: Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que el lado correspondiente del otro triángulo.
• AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se denomina AAcorrS y luego incluye ASA anterior).

Algunas condiciones individualmente suficientes son:

• Teorema de hipotenusa-cateto (HL): la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud que los de otro triángulo rectángulo. Esto también se llama RHS (ángulo recto, hipotenusa, lado).
• Teorema del ángulo de hipotenusa: La hipotenusa y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los del otro triángulo rectángulo. Este es sólo un caso particular del teorema AAS.

Una condición importante es:

• Condición Lado-Lado-Ángulo (o Ángulo-Lado-Lado): Si dos lados y un ángulo correspondiente no incluido de un triángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los de otro triángulo, entonces esto no es suficiente para probar congruencia; pero si el ángulo dado es opuesto al lado mayor de los dos lados, entonces los triángulos son congruentes. El teorema del cateto de hipotenusa es un caso particular de este criterio. La condición Lado-Lado-Ángulo no garantiza por sí sola que los triángulos sean congruentes porque un triángulo podría tener un ángulo obtuso y el otro un ángulo agudo.

Dos triángulos rectángulos son semejantes si y sólo si tienen un ángulo agudo de la misma medida. De ello se deduce que las seis posibles razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen sólo de la medida de uno de los ángulos agudos. Estas razones se llaman razones trigonométricas y se usan comúnmente como definición de funciones trigonométricas .

triangulos rectángulos

El teorema de Pitágoras

Un teorema central es el teorema de Pitágoras , que establece que en cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos catetos. Si la hipotenusa tiene longitud c y los catetos tienen longitudes a y b , entonces el teorema establece que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo recto opuesto al lado c .

Algunos otros datos sobre los triángulos rectángulos:

• Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios .

${\displaystyle A+B+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow A+B=90^{\circ }\Rightarrow A=90^{\circ }-B.}$

• Si los catetos de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esos catetos tienen la misma medida. Como estos ángulos son complementarios, se deduce que cada uno mide 45 grados. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la longitud de un cateto multiplicada por √ 2 .
• En un triángulo rectángulo con ángulos agudos que miden 30 y 60 grados, la hipotenusa mide el doble de la longitud del lado más corto y el lado más largo es igual a la longitud del lado más corto multiplicada por √ 3 :

${\displaystyle c=2a\,}$

${\displaystyle b=a\times {\sqrt {3}}.}$

Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley de los cosenos y la ley de los senos (también llamada regla del coseno y regla del seno ).

Existencia de un triángulo

Estado de los lados

La desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. Esa suma puede igualar la longitud del tercer lado sólo en el caso de un triángulo degenerado, uno con vértices colineales. No es posible que esa suma sea menor que la longitud del tercer lado. Un triángulo con tres longitudes de lados positivas dadas existe si y sólo si esas longitudes de lados satisfacen la desigualdad del triángulo.

Condiciones sobre los ángulos.

Tres ángulos dados forman un triángulo no degenerado (y de hecho una infinidad de ellos) si y sólo si se cumplen ambas condiciones: (a) cada uno de los ángulos es positivo, y (b) la suma de los ángulos es 180°. Si se permiten triángulos degenerados, se permiten ángulos de 0°.

Condiciones trigonométricas

Tres ángulos positivos α , β y γ , cada uno de ellos menores de 180°, son ángulos de un triángulo si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,}$^[10]

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,}$^[10]

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,}$^[11]

${\displaystyle \tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),}$

la última igualdad se aplica solo si ninguno de los ángulos mide 90° (por lo que el valor de la función tangente siempre es finito).

Puntos, rectas y círculos asociados con un triángulo.

Hay miles de construcciones diferentes que encuentran un punto especial asociado con (y a menudo dentro) de un triángulo, satisfaciendo alguna propiedad única: consulte el artículo Enciclopedia de centros de triángulos para obtener un catálogo de ellas. A menudo se construyen encontrando tres rectas asociadas de forma simétrica a los tres lados (o vértices) y luego demostrando que las tres rectas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para demostrar la existencia de éstas es el teorema de Ceva , que da una Criterio para determinar cuándo tres de estas líneas son concurrentes . De manera similar, las líneas asociadas con un triángulo a menudo se construyen demostrando que tres puntos construidos simétricamente son colineales: aquí el teorema de Menelao proporciona un criterio general útil. En esta sección se explican sólo algunas de las construcciones más comunes.

El circuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, es decir, forma un ángulo recto con él. Las tres mediatrices se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo , generalmente denotado por O ; este punto es el centro del círculo circunstante , el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado "circundiámetro", se puede encontrar a partir de la ley de los senos mencionada anteriormente. El radio del círculo circunstante se llama "circumradio".

El teorema de Tales implica que si el circuncentro está ubicado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es recto. Si el circuncentro se encuentra dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo; si el circuncentro se encuentra fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

La intersección de las altitudes es el ortocentro .

La altura de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y es perpendicular (es decir, forma un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama base de la altitud, y el punto donde la altitud intersecta la base (o su extensión) se llama pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Las tres altitudes se cruzan en un único punto, llamado ortocentro del triángulo, normalmente denotado por H. El ortocentro está dentro del triángulo si y sólo si el triángulo es agudo.

La intersección de las bisectrices de los ángulos es el centro de la circunferencia .

La bisectriz de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y corta el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices de los ángulos se cortan en un solo punto, el incentro , generalmente denotado por I , el centro de la circunferencia del triángulo . El círculo interior es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradio . Hay otros tres círculos importantes, los excírculos ; se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado así como las extensiones de los otros dos. Los centros de los círculos interiores y exteriores forman un sistema ortocéntrico .

La intersección de las medianas es el centroide .

La mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se cruzan en un solo punto, el centroide o baricentro geométrico del triángulo , generalmente denotado por G. El centroide de un objeto triangular rígido (cortado de una lámina delgada de densidad uniforme) es también su centro de masa : el objeto puede equilibrarse sobre su centroide en un campo gravitacional uniforme. El centroide corta cada mediana en una proporción de 2:1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

El círculo de nueve puntos demuestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres altitudes se encuentran todos en un solo círculo, el círculo de nueve puntos del triángulo . Los tres puntos restantes por los que recibe su nombre son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro . El radio del círculo de nueve puntos es la mitad del del círculo circunstante. Toca el círculo circundante (en el punto Feuerbach ) y los tres círculos exteriores .

La línea de Euler es una línea recta que pasa por el ortocentro (azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde).

El ortocentro (punto azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro. El centro del círculo en general no está ubicado en la línea de Euler.

Si se refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene una simediana . Los tres simedianos se cortan en un solo punto, el punto simediano del triángulo.

Calcular los lados y los ángulos

Existen varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o la medida de un ángulo. Ciertos métodos son adecuados para calcular valores en un triángulo rectángulo; En otras situaciones pueden ser necesarios métodos más complejos.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En los triángulos rectángulos , las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente se pueden utilizar para encontrar ángulos desconocidos y las longitudes de los lados desconocidos. Los lados del triángulo se conocen de la siguiente manera:

• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o se define como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h .
• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a .
• El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo recto, de ahí su nombre. En este caso el lado adyacente es b .

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.}$

Esta relación no depende del triángulo rectángulo particular elegido, siempre y cuando contenga el ángulo A , ya que todos esos triángulos son semejantes .

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.}$

La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

El acrónimo " SOH-CAH-TOA " es un mnemotécnico útil para estas proporciones.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas se pueden utilizar para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo con la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arccos se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)}$

Arctan se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)}$

En los cursos de introducción a la geometría y la trigonometría, la notación sin ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc., se utiliza a menudo en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde la trigonometría Las funciones comúnmente se elevan a potencias, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo .

Reglas del seno, coseno y tangente.

Un triángulo con lados de longitud a, byc y ángulos de α, β y γ respectivamente.

La ley de los senos , o regla del seno, ^[12] establece que la relación entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$, donde R es el radio del círculo circunscrito del triángulo dado.

Otra interpretación de este teorema es que todo triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes de lados iguales a sen α, sen β y sen γ. Este triángulo se puede construir construyendo primero un círculo de diámetro 1 e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo será sen α, sen β y sen γ. El lado cuya longitud es sen α es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc.

La ley de los cosenos , o regla del coseno, conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo con la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. ^[12] Según la ley:

Para un triángulo con longitudes de lados a , b , c y ángulos de α, β, γ respectivamente, dadas dos longitudes conocidas de un triángulo a y b , y el ángulo entre los dos lados conocidos γ (o el ángulo opuesto al desconocido lado c ), para calcular el tercer lado c , se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Si se conocen las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo, se pueden calcular los tres ángulos:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

La ley de las tangentes , o regla de la tangente, se puede utilizar para encontrar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Afirma que: ^[13]

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Solución de triángulos

La "Solución de triángulos" es el principal problema trigonométrico : encontrar las características que faltan en un triángulo (tres ángulos, las longitudes de los tres lados, etc.) cuando se dan al menos tres de estas características. El triángulo puede ubicarse sobre un plano o sobre una esfera . Este problema ocurre a menudo en diversas aplicaciones trigonométricas, como geodesia , astronomía , construcción , navegación , etc.

Área

El área de un triángulo se puede demostrar, por ejemplo mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud y altura de base.

Una derivación gráfica de la fórmula que evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirla por la mitad. ${\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}$

En geometría , calcular el área de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y sencilla es donde b es la longitud de la base del triángulo y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la línea que contiene la base. Euclides demostró que el área de un triángulo es la mitad que la de un paralelogramo con la misma base y altura en su libro Elementos en el año 300 a.C. ^[14] En 499 CE, Aryabhata , utilizó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6). ^[15] ${\displaystyle T=bh/2,}$

Aunque simple, esta fórmula sólo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo cual no siempre es el caso. Por ejemplo, al agrimensor de un campo triangular le podría resultar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una "altura". En la práctica se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. Otras fórmulas utilizadas con frecuencia para el área de un triángulo utilizan trigonometría, longitudes de los lados (fórmula de Heron), vectores, coordenadas, integrales de línea, teorema de Pick u otras propiedades. ^[dieciséis]

Más fórmulas para triángulos euclidianos generales

Las fórmulas de esta sección son válidas para todos los triángulos euclidianos.

Medianas, bisectrices de ángulos, bisectrices laterales perpendiculares y altitudes

Las medianas y los lados están relacionados por ^[17]

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}$

y

${\displaystyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\tfrac {3}{4}}a^{2}}}}$,

y de manera equivalente para m _b y m _c .

Para el ángulo A del lado opuesto a , la longitud de la bisectriz del ángulo interno está dada por ^[18]

${\displaystyle w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},}$

para semiperímetro s , donde la longitud de la bisectriz se mide desde el vértice hasta donde se encuentra con el lado opuesto.

Las bisectrices perpendiculares interiores están dadas por

${\displaystyle p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$

donde están los lados y el área es ^{[19] : Thm 2} ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ ${\displaystyle T.}$

La altitud desde, por ejemplo, el lado de longitud a es

${\displaystyle h_{a}={\frac {2T}{a}}.}$

Circunradio e inradio

Las siguientes fórmulas involucran el circunradio R y el inradio r :

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

donde h _a etc. son las altitudes a los lados subíndices; ^[20]

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[11]

y

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

El producto de dos lados de un triángulo es igual a la altura del tercer lado por el diámetro D del círculo circunstante: ^[21]

${\displaystyle ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.}$

Triángulos adyacentes

Supongamos que dos triángulos adyacentes pero que no se superponen comparten el mismo lado de longitud f y comparten el mismo círculo circunstante, de modo que el lado de longitud f es una cuerda del círculo circunstante y los triángulos tienen longitudes de lados ( a , b , f ) y ( c , d , f ), con los dos triángulos juntos formando un cuadrilátero cíclico con longitudes de lados en secuencia ( a , b , c , d ). Entonces ^[22]

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,}$

centroide

Sea G el centroide de un triángulo con vértices A , B y C , y sea P cualquier punto interior. Entonces las distancias entre los puntos están relacionadas por ^[23]

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,}$

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide a los vértices:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$^[24]

Sean q _a , q _b y q _c las distancias desde el centroide a los lados de las longitudes a , b y c . Entonces ^[25]

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

y

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,}$

para el área T.

Circuncentro, incentro y ortocentro

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro a los tres lados es igual a la suma del circunradio y el inradio. ^[26] Aquí la longitud de un segmento se considera negativa si y sólo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo. Este método es especialmente útil para deducir las propiedades de formas más abstractas de triángulos, como las inducidas por las álgebras de Lie , que por lo demás tienen las mismas propiedades que los triángulos habituales.

El teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro viene dada por ^[27]

${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

o equivalente

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$

donde R es el circunradio y r es el inradio. Por lo tanto, para todos los triángulos R ≥ 2 r , la igualdad se cumple para los triángulos equiláteros.

Si denotamos que el ortocentro divide una altitud en segmentos de longitudes u y v , otra altitud en longitudes de segmentos w y x , y la tercera altitud en longitudes de segmentos y y z , entonces uv = wx = yz . ^[28]

La distancia de un lado al circuncentro es igual a la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro. ^[29]

La suma de los cuadrados de las distancias de los vértices al ortocentro H más la suma de los cuadrados de los lados es igual a doce veces el cuadrado del circunradio: ^[30]

${\displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.}$

Anglos

Además de la ley de los senos , la ley de los cosenos , la ley de las tangentes y las condiciones de existencia trigonométricas dadas anteriormente, para cualquier triángulo

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.}$

Teorema del trisector de Morley

El triángulo de Morley, resultante de la trisección de cada ángulo interior. Este es un ejemplo de regla de subdivisión finita .

El teorema del trisector de Morley establece que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero, llamado triángulo de Morley.

Figuras inscritas en un triángulo.

Cónicas

Como se analizó anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito único (incírculo) que es interior al triángulo y tangente a los tres lados.

Cada triángulo tiene una elipse de Steiner única que es interior al triángulo y tangente en los puntos medios de los lados. El teorema de Marden muestra cómo encontrar los focos de esta elipse . ^[31] Esta elipse tiene el área más grande de cualquier elipse tangente a los tres lados del triángulo.

La inelipse de Mandart de un triángulo es la elipse inscrita dentro del triángulo tangente a sus lados en los puntos de contacto de sus excírculos.

Para cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC , sean los focos P y Q. Entonces ^[32]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Polígono convexo

Todo polígono convexo de área T puede inscribirse en un triángulo de área como máximo igual a 2 T. La igualdad se cumple (exclusivamente) para un paralelogramo . ^[33]

Hexágono

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico con vértices dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo con las tres rectas que son paralelas a los lados y que pasan por su punto simediano . Ya sea en su forma simple o en su forma de autointersección , el hexágono de Lemoine es interior al triángulo con dos vértices a cada lado del triángulo.

Cuadrícula

Todo triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene sólo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, cuyo lado coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, un lado común más largo está asociado con un cuadrado inscrito más pequeño. Si un cuadrado inscrito tiene un lado de longitud q _a y el triángulo tiene un lado de longitud a , parte del cual coincide con un lado del cuadrado, entonces q _a , a , la altura h _a del lado a , y la del triángulo el área T están relacionadas según ^{[34] [35]}

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$

La relación más grande posible entre el área del cuadrado inscrito y el área del triángulo es 1/2, lo que ocurre cuando a ² = 2 T , q = a /2 , y la altitud del triángulo desde la base de longitud a es igual a un . La relación más pequeña posible entre el lado de un cuadrado inscrito y el lado de otro en el mismo triángulo no obtuso es ^[35] Ambos casos extremos ocurren para el triángulo rectángulo isósceles. ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3=0.94....}$

triangulos

Desde un punto interior en un triángulo de referencia, los puntos más cercanos en los tres lados sirven como vértices del triángulo pedal de ese punto. Si el punto interior es el circuncentro del triángulo de referencia, los vértices del triángulo pedal son los puntos medios de los lados del triángulo de referencia, por lo que el triángulo pedal se llama triángulo de punto medio o triángulo medial. El triángulo del punto medio subdivide el triángulo de referencia en cuatro triángulos congruentes que son similares al triángulo de referencia.

El triángulo de Gergonne o triángulo en contacto de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los tres puntos de tangencia de los lados del triángulo de referencia con su circunferencia. El triángulo extouch de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los puntos de tangencia de los excírculos del triángulo de referencia con sus lados (no extendidos).

Figuras circunscritas a un triángulo.

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia (que no sea un triángulo rectángulo) es el triángulo cuyos lados están en las líneas tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo de referencia en sus vértices.

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un círculo circunstante único, un círculo que pasa por los tres vértices, cuyo centro es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

Además, cada triángulo tiene una circumelipse de Steiner única , que pasa por los vértices del triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo. De todas las elipses que pasan por los vértices del triángulo, ésta tiene el área más pequeña.

La hipérbola de Kiepert es la única cónica que pasa por los tres vértices del triángulo, su centroide y su circuncentro.

De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo dado , uno con área máxima se puede encontrar en el tiempo lineal; sus vértices pueden elegirse como tres de los vértices del polígono dado. ^[36]

Especificar la ubicación de un punto en un triángulo

Una forma de identificar ubicaciones de puntos dentro (o fuera) de un triángulo es colocar el triángulo en una ubicación y orientación arbitrarias en el plano cartesiano y utilizar coordenadas cartesianas. Si bien es conveniente para muchos propósitos, este enfoque tiene la desventaja de que los valores de las coordenadas de todos los puntos dependen de la ubicación arbitraria en el plano.

Dos sistemas evitan esa característica, de modo que las coordenadas de un punto no se ven afectadas al mover el triángulo, rotarlo o reflejarlo como en un espejo, cualquiera de las cuales da un triángulo congruente, o incluso al cambiar su escala para dar un triángulo similar. :

• Las coordenadas trilineales especifican las distancias relativas de un punto a los lados, de modo que las coordenadas indican que la relación entre la distancia del punto al primer lado y su distancia al segundo lado es , etc. ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle x:y}$
• Las coordenadas baricéntricas de la forma especifican la ubicación del punto mediante los pesos relativos que tendrían que colocarse en los tres vértices para equilibrar el triángulo que de otro modo sería ingrávido en el punto dado. ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

Triángulos no planos

Un triángulo no plano es un triángulo que no está contenido en un plano euclidiano . Algunos ejemplos de triángulos no planos en geometrías no euclidianas son los triángulos esféricos en geometría esférica y los triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica .

Mientras que las medidas de los ángulos internos en triángulos planos siempre suman 180°, un triángulo hiperbólico tiene medidas de ángulos que suman menos de 180°, y un triángulo esférico tiene medidas de ángulos que suman más de 180°. Se puede obtener un triángulo hiperbólico dibujando sobre una superficie curvada negativamente, como la superficie de una silla de montar , y se puede obtener un triángulo esférico dibujando sobre una superficie curvada positivamente, como una esfera . Así, si se dibuja un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, se encontrará que la suma de las medidas de sus ángulos es mayor que 180°; de hecho estará entre 180° y 540°. ^[37] En particular es posible dibujar un triángulo sobre una esfera tal que la medida de cada uno de sus ángulos internos sea igual a 90°, sumando un total de 270°.

Específicamente, en una esfera la suma de los ángulos de un triángulo es

180° × (1 + 4 f ),

donde f es la fracción del área de la esfera encerrada por el triángulo. Por ejemplo, supongamos que dibujamos un triángulo en la superficie de la Tierra con vértices en el Polo Norte, en un punto del ecuador a 0° de longitud y un punto del ecuador a 90° de longitud oeste . La línea del círculo máximo entre estos dos últimos puntos es el ecuador, y la línea del círculo máximo entre cualquiera de esos puntos y el Polo Norte es una línea de longitud; entonces hay ángulos rectos en los dos puntos del ecuador. Además, el ángulo en el Polo Norte también es de 90° porque los otros dos vértices difieren en 90° de longitud. Entonces la suma de los ángulos en este triángulo es 90° + 90° + 90° = 270° . El triángulo encierra 1/4 del hemisferio norte (90°/360° visto desde el Polo Norte) y por lo tanto 1/8 de la superficie de la Tierra, por lo que en la fórmula f = 1/8 ; por tanto, la fórmula da correctamente la suma de los ángulos del triángulo como 270°.

De la fórmula de suma de ángulos anterior también podemos ver que la superficie de la Tierra es localmente plana: si dibujamos un triángulo arbitrariamente pequeño en las proximidades de un punto de la superficie de la Tierra, la fracción f de la superficie de la Tierra que está encerrada por el triángulo será ser arbitrariamente cercano a cero. En este caso, la fórmula de la suma de los ángulos se simplifica a 180°, que sabemos que es lo que nos dice la geometría euclidiana para los triángulos sobre una superficie plana.

Triangulos en construccion

El edificio Flatiron de Nueva York tiene forma de prisma triangular

Los rectángulos han sido la forma geométrica más popular y común para los edificios, ya que su forma es fácil de apilar y organizar; Como estándar, es fácil diseñar muebles y accesorios que quepan dentro de edificios de forma rectangular. Pero los triángulos, si bien son más difíciles de usar conceptualmente, proporcionan una gran fuerza. A medida que la tecnología informática ayuda a los arquitectos a diseñar nuevos edificios creativos, las formas triangulares se están volviendo cada vez más frecuentes como partes de los edificios y como forma principal de algunos tipos de rascacielos, así como de materiales de construcción. En Tokio en 1989, los arquitectos se habían preguntado si era posible construir una torre de 500 pisos para proporcionar espacio de oficinas asequible para esta ciudad densamente poblada, pero con el peligro de los terremotos para los edificios , los arquitectos consideraron que sería necesaria una forma triangular si tal se iba a construir un edificio. ^[38]

En la ciudad de Nueva York , cuando Broadway cruza avenidas principales, los bloques resultantes se cortan como triángulos y se han construido edificios con estas formas; Uno de esos edificios es el edificio Flatiron de forma triangular que, según admiten los agentes inmobiliarios, tiene un "maratón de espacios incómodos que no acomodan fácilmente los muebles de oficina modernos", pero eso no ha impedido que la estructura se convierta en un ícono emblemático. ^[39] Los diseñadores han construido casas en Noruega utilizando temas triangulares. ^[40] Han aparecido formas triangulares en iglesias ^[41] , así como en edificios públicos, incluidas universidades ^[42], así como soportes para diseños de viviendas innovadores. ^[43]

Los triángulos son resistentes; Mientras que un rectángulo puede colapsar en un paralelogramo debido a la presión ejercida sobre uno de sus puntos, los triángulos tienen una fuerza natural que soporta las estructuras contra las presiones laterales. Un triángulo no cambiará de forma a menos que sus lados se doblen, se extiendan o se rompan o si sus uniones se rompan; en esencia, cada uno de los tres lados apoya a los otros dos. Un rectángulo, por el contrario, depende más de la resistencia de sus uniones en un sentido estructural. Algunos diseñadores innovadores han propuesto fabricar ladrillos no a partir de rectángulos, sino con formas triangulares que se pueden combinar en tres dimensiones. ^[44] Es probable que los triángulos se utilicen cada vez más en nuevas formas a medida que la arquitectura aumenta en complejidad. Los triángulos son fuertes en términos de rigidez, pero mientras están empaquetados en una disposición de mosaico, los triángulos no son tan fuertes como los hexágonos bajo compresión (de ahí la prevalencia de formas hexagonales en la naturaleza ). Sin embargo , los triángulos teselado todavía mantienen una resistencia superior para los voladizos , y esta es la base de una de las estructuras artificiales más fuertes, la armadura tetraédrica .

Ver también

• Teorema de Apolonio
• Flecha (símbolo)
• Congruencia (geometría)
• Delta (letra)
• teorema de desargues
• Ojo de dragón (símbolo)
• punto fermat
• Desigualdad de Hadwiger-Finsler
• triángulo heroniano
• triangulo entero
• Ley de cosenos
• ley de los senos
• ley de las tangentes
• teorema de lester
• Lista de desigualdades triangulares
• Lista de temas triangulares
• Geometría triangular moderna
• La desigualdad de Ono
• Triángulo de pedales
• La desigualdad de Pedoe
• Teorema de pitágoras
• Triángulos rectángulos especiales
• Centro del triángulo
• número triangular
• Categoría triangulada
• Triangulación (topología)

Notas

1. Euclides define los triángulos isósceles basándose en el número de lados iguales, es decir, solo dos lados iguales . Un enfoque alternativo define los triángulos isósceles basándose en propiedades compartidas, es decir, los triángulos equiláteros son un caso especial de triángulos isósceles . wikt: triángulo isósceles
2. Los n ángulos externos de cualquier polígono convexo de n lados suman 360 grados.
3. Nuevamente, en todos los casos las "imágenes reflejadas" también son similares.
4. Todos los pares de triángulos congruentes también son similares; pero no todos los pares de triángulos semejantes son congruentes.

Referencias

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43. Sarah Amelar (noviembre de 2006). "Ecoestación Prairie Ridge para la vida silvestre y el aprendizaje". Registro arquitectónico . Consultado el 5 de marzo de 2011 . Encaramada como una casa en un árbol, la estructura de 300.000 dólares se asienta ligeramente sobre el terreno, dejando que la tierra fluya debajo de ella. Gran parte del edificio descansa sobre tres marcos triangulares de madera pesada sobre una plataforma de concreto.
44. Joshua Rothman (13 de marzo de 2011). "Construyendo un ladrillo mejor". Globo de Boston . Consultado el 5 de marzo de 2011 . Los ladrillos se encuentran entre los materiales de construcción más antiguos del mundo: los primeros se utilizaron ya en el año 7.500 a. C.... Una propuesta especialmente hermosa de Rizal Muslimin del Instituto Tecnológico de Massachusetts quedó en segundo lugar: los BeadBricks son ladrillos planos y triangulares que se puede combinar en tres dimensiones (en lugar de las dos habituales).

Fuentes

• Corte, Nathan Altshiller (1952) [1925]. Geometría universitaria: introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.). Nueva York: Barnes & Noble.
• Johnson, Roger A. (2007). Geometría euclidiana avanzada . Dover.

enlaces externos

• Ivanov, AB (2001) [1994]. "Triángulo". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS .
• Clark Kimberling: Enciclopedia de centros triangulares. Enumera unos 5200 puntos interesantes asociados con cualquier triángulo.