Línea de Euler

Línea construida a partir de un triángulo

  La línea de Euler, con el centro del círculo de nueve puntos

  Medianas (se intersecan en el centroide )

  Altitudes (se intersecan en el ortocentro )

  Líneas perpendiculares desde los puntos medios laterales (se intersecan en el circuncentro )

En geometría , la línea de Euler , llamada así por Leonhard Euler (/ˈɔɪlər / ) , es una línea determinada a partir de cualquier triángulo que no sea equilátero . Es una línea central del triángulo y pasa por varios puntos importantes determinados a partir del triángulo, incluido el ortocentro , el circuncentro , el baricentro , el punto de Exeter y el centro del círculo de nueve puntos del triángulo. ^[1]

El concepto de línea de Euler de un triángulo se extiende a la línea de Euler de otras formas, como el cuadrilátero y el tetraedro .

Centros del triángulo en la línea de Euler

Centros individuales

Euler demostró en 1765 que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales . ^[2] Esta propiedad también es cierta para otro centro de triángulo , el centro de nueve puntos , aunque no había sido definido en la época de Euler. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo son todos distintos entre sí, y la línea de Euler está determinada por dos de ellos cualesquiera.

Otros puntos notables que se encuentran en la línea de Euler incluyen el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto Exeter y el perspector de Gossard . ^[1] Sin embargo, el incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; ^[3] está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , ^[4] para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros del triángulo.

El triángulo tangente de un triángulo de referencia es tangente a la circunferencia circunscrita de este último en los vértices del triángulo de referencia. El circuncentro del triángulo tangente se encuentra en la línea de Euler del triángulo de referencia. ^{[5] : p. 447  [6] : p.104, #211, p.242, #346} El centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial también se encuentra en la línea de Euler. ^{[5] : p. 447  [6] : p. 102}

Pruebas

Una prueba vectorial

Sea un triángulo. Una prueba del hecho de que el circuncentro , el baricentro y el ortocentro son colineales se basa en vectores libres . Empecemos por establecer los requisitos previos. En primer lugar, satisface la relación ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Esto se deduce del hecho de que las coordenadas baricéntricas absolutas de son . Además, el problema de Sylvester ^[7] se lee como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Ahora, utilizando la suma vectorial, deducimos que

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.}$

Sumando estas tres relaciones, término por término, obtenemos que

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

En conclusión, , y por lo tanto los tres puntos , y (en este orden) son colineales. ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

En el libro de Dörrie, ^[7] la recta de Euler y el problema de Sylvester se combinan en una única demostración. Sin embargo, la mayoría de las demostraciones del problema de Sylvester se basan en las propiedades fundamentales de los vectores libres, independientemente de la recta de Euler.

Propiedades

Distancias entre centros

En la línea de Euler, el centroide G está entre el circuncentro O y el ortocentro H y está dos veces más lejos del ortocentro que del circuncentro: ^{[6] : p.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

El segmento GH es un diámetro del círculo ortocentroidal .

El centro N del círculo de nueve puntos se encuentra a lo largo de la línea de Euler a mitad de camino entre el ortocentro y el circuncentro: ^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

De esta manera, la línea de Euler podría reposicionarse en una línea numérica con el circuncentro O en la ubicación 0, el centroide G en 2 t , el centro de nueve puntos en 3 t y el ortocentro H en 6 t para algún factor de escala t .

Además, la distancia al cuadrado entre el centroide y el circuncentro a lo largo de la línea de Euler es menor que el cuadrado del circunradio R ² en una cantidad igual a un noveno de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados a , b y c : ^{[6] : p.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Además, ^{[6] : p.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Representación

Ecuación

Sean A , B , C los ángulos de los vértices del triángulo de referencia, y sean x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales ; entonces una ecuación para la línea de Euler es

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Una ecuación para la línea de Euler en coordenadas baricéntricas es ^[8] ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

Representación paramétrica

Otra forma de representar la recta de Euler es en términos de un parámetro t . Comenzando con el circuncentro (con coordenadas trilineales ) y el ortocentro (con coordenadas trilineales cada punto en la recta de Euler, excepto el ortocentro, está dado por las coordenadas trilineales ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$ ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

formado como una combinación lineal de los trilineales de estos dos puntos, para algún t .

Por ejemplo:

• El circuncentro tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$ ${\displaystyle t=0.}$
• El centroide tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=1.}$
• El centro de nueve puntos tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=2.}$
• El punto de Longchamps tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=-1.}$

Pendiente

En un sistema de coordenadas cartesianas , denotamos las pendientes de los lados de un triángulo como y y denotamos la pendiente de su recta de Euler como . Entonces estas pendientes están relacionadas de acuerdo con ^{[9] : Lema 1} ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle m_{3},}$ ${\displaystyle m_{E}}$

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Por lo tanto, la pendiente de la línea de Euler (si es finita) se puede expresar en términos de las pendientes de los lados como

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Además, la línea de Euler es paralela al lado BC de un triángulo agudo si y sólo si ^{[9] : p.173} ${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

Relación con los triángulos equiláteros inscritos

El lugar geométrico de los baricentros de los triángulos equiláteros inscritos en un triángulo dado está formado por dos líneas perpendiculares a la línea de Euler del triángulo dado. ^{[10] : Coro. 4}

En triángulos especiales

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo , la línea de Euler coincide con la mediana de la hipotenusa , es decir, pasa por el vértice rectángulo y por el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus alturas , cae en el vértice rectángulo mientras que su circuncentro, la intersección de las mediatrices de sus lados, cae en el punto medio de la hipotenusa.

Triángulo isósceles

La línea de Euler de un triángulo isósceles coincide con el eje de simetría . En un triángulo isósceles, el incentro cae sobre la línea de Euler.

Triángulo automediano

La línea de Euler de un triángulo automediano (uno cuyas medianas están en las mismas proporciones, aunque en orden opuesto, que los lados) es perpendicular a una de las medianas. ^[11]

Sistemas de triángulos con rectas de Euler concurrentes

Consideremos un triángulo ABC con puntos de Fermat-Torricelli F ₁ y F ₂ . Las líneas de Euler de los 10 triángulos con vértices elegidos entre A, B, C, F ₁ y F ₂ son concurrentes en el centroide del triángulo ABC . ^[12]

Las líneas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos tales que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. ^{[6] : p.111}

Generalizaciones

Cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo , el cuasiortocentro H , el "centroide del área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden en la línea de Euler, y HG = 2 GO . ^[13]

Tetraedro

Un tetraedro es un objeto tridimensional delimitado por cuatro caras triangulares . Siete líneas asociadas con un tetraedro son concurrentes en su baricentro; sus seis planos medios se cortan en su punto Monge ; y hay una circunsfera que pasa por todos los vértices, cuyo centro es el circuncentro. Estos puntos definen la "línea de Euler" de un tetraedro análoga a la de un triángulo. El baricentro es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro a lo largo de esta línea. El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra en la línea de Euler.

Politopo simple

Un politopo simplicial es un politopo cuyas facetas son todas símplices (plural de símplex). Por ejemplo, cada polígono es un politopo simplicial. La línea de Euler asociada a un politopo de este tipo es la línea determinada por su centroide y circuncentro de masas . Esta definición de línea de Euler generaliza las anteriores. ^[14]

Supongamos que es un polígono. La línea de Euler es sensible a las simetrías de las siguientes maneras: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$

1. Si tiene una línea de simetría de reflexión , entonces es o un punto en . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

2. Si tiene un centro de simetría rotacional , entonces . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E=C}$

3. Si todos los lados menos uno tienen la misma longitud, entonces es ortogonal al último lado. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$

Construcciones relacionadas

La parábola de Kiepert de un triángulo es la única parábola que es tangente a los lados (dos de ellos prolongados ) del triángulo y tiene como directriz la recta de Euler . ^{[15] : p. 63}

Referencias

1. Kimberling, Clark (1998). "Centros de triángulos y triángulos centrales". Congressus Numerantium . 129 : i–xxv, 1–295.
2. Euler, Leonhard (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" [Solución fácil de algunos problemas geométricos difíciles]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103–123. E325.Reimpreso en Opera Omnia , ser. Yo, vol. XXVI, págs. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausana, 1953, MR 0061061. Resumido en: Dartmouth College.
3. Schattschneider, Doris; King, James (1997). Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research [La geometría activada: software dinámico en el aprendizaje, la enseñanza y la investigación]. Asociación Matemática de Estados Unidos. pp. 3–4. ISBN 978-0883850992.
4. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Símplices ortocéntricos y biregularidad", Results in Mathematics , 52 (1–2): 41–50, doi :10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Es bien sabido que el incentro de un triángulo euclidiano se encuentra en su línea de Euler que conecta el centroide y el circuncentro si y solo si el triángulo es isósceles..
5. Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), "Euler y geometría de triángulos", Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi :10.1017/S0025557200182087, JSTOR  40378417, S2CID  125341434.
6. Altshiller-Court, Nathan, Geometría universitaria , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
7. Dörrie, Heinrich, "100 grandes problemas de matemáticas elementales. Su historia y solución". Dover Publications, Inc., Nueva York, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , páginas 141 (La línea recta de Euler) y 142 (El problema de Silvestre) 
8. Scott, JA, "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472-477.
9. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi y Bogdan D. Suceava, "El perspector de Gossard y las consecuencias proyectivas", Forum Geometricorum , Volumen 13 (2013), 169–184. [1]
10. Francisco Javier García Capitán, "Lugar geométrico de los centroides de triángulos inscritos semejantes", Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
11. Parry, CF (1991), "Steiner–Lehmus y el triángulo automediano", The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi :10.2307/3620241, JSTOR  3620241.
12. Beluhov, Nikolai Ivanov. "Diez líneas de Euler concurrentes", Forum Geometricorum 9, 2009, págs. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
13. Myakishev, Alexei (2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
14. Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (mayo de 2014), "Circuncentro de masa y línea de Euler generalizada", Geometría discreta y computacional , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi :10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID  12307207.
15. Scimemi, Benedetto, "Relaciones simples respecto de la inelipse de Steiner de un triángulo", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

Enlaces externos

• Una aplicación interactiva que muestra varios centros de triángulos que se encuentran en la línea de Euler.
• "Línea de Euler" y "Triángulo continuo no euclidiano" en el proyecto de demostraciones Wolfram
• Generalización de la cónica de nueve puntos y de la línea de Euler, Otra generalización de la línea de Euler y La línea cuasi-Euler de un cuadrilátero y un hexágono en Dynamic Geometry Sketches
• Bogomolny, Alexander , "Altitudes y la línea de Euler" y "Línea de Euler y círculo de nueve puntos", Cut-the-Knot
• Kimberling, Clark , "Centros de triángulos en la línea de Euler", Centros de triángulos
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Stankova, Zvezdelina (1 de febrero de 2016), "Los triángulos tienen una carretera mágica", Numberphile , YouTube
• Weisstein, Eric W. "Línea Euler". MundoMatemático .