Altitud (triángulo)

Perpendicular line segment from a triangle's side to opposite vertex

La altitud desde A (segmento de línea discontinua) interseca la base extendida en D (un punto fuera del triángulo).

En geometría , la altura de un triángulo es un segmento de línea que pasa por un vértice dado (llamado vértice ) y es perpendicular a una línea que contiene el lado o arista opuesto al vértice. Esta arista (finita) y esta extensión de línea (infinita) se denominan, respectivamente, base y base extendida de la altura. El punto en la intersección de la base extendida y la altura se denomina pie de la altura. La longitud de la altura, a menudo llamada simplemente "la altura" o "altura", símbolo h , es la distancia entre el pie y el vértice. El proceso de dibujar la altura desde un vértice hasta el pie se conoce como dejar caer la altura en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .

Las alturas se pueden utilizar para calcular el área de un triángulo : la mitad del producto de la longitud de una altura por la longitud de su base (símbolo b ) es igual al área del triángulo: A = h b /2. Por lo tanto, la altura más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las alturas también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altura que tiene como base el lado incongruente tendrá como pie el punto medio de ese lado. Además, la altura que tiene como base el lado incongruente será la bisectriz del ángulo del vértice.

En un triángulo rectángulo , la altura trazada sobre la hipotenusa c divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q . Si denotamos la longitud de la altura por h _c , entonces tenemos la relación

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Teorema de la media geométrica ; ver Casos especiales, teorema de Pitágoras inverso )

En un triángulo rectángulo, la altura de cada ángulo agudo coincide con un cateto e interseca al lado opuesto en (tiene su pie en) el vértice rectángulo, que es el ortocentro.

En los triángulos acutángulos, los pies de las alturas caen todos sobre los lados del triángulo (no prolongados). En un triángulo obtusángulo (uno con un ángulo obtuso ), el pie de la altura del vértice obtusángulo cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las alturas de los vértices acutángulos caen sobre el lado prolongado opuesto , exterior al triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtusángulo, una altura caída perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, interseca el lado horizontal prolongado fuera del triángulo.

Teoremas

Ortocentro

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en el ortocentro, que para un triángulo agudo está dentro del triángulo.

El ortocentro de un triángulo , usualmente denotado por H , es el punto donde se intersecan las tres alturas (posiblemente extendidas). ^{[1] [2]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo . Para un triángulo rectángulo , el ortocentro coincide con el vértice en el ángulo recto. ^[2]

Altitud en términos de los lados

Para cualquier triángulo con lados a, b, c y semiperímetro, la altura desde el lado a (la base) está dada por ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Esto se deduce de la combinación de la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área donde la base se toma como el lado a y la altura es la altitud desde el vértice A (lado opuesto a ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Al intercambiar a por b o c , esta ecuación también se puede utilizar para encontrar las altitudes h _b y h _c , respectivamente.

Teoremas de radio interno

Considérese un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con alturas correspondientes h _a , h _b , h _c . Las alturas y el radio del círculo inscrito r están relacionados por ^{[3] : Lema 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Teorema del circunradio

Al denotar la altura de un lado de un triángulo como h _a , los otros dos lados como b y c , y el radio circunscrito del triángulo (radio del círculo circunscrito del triángulo) como R , la altura se da por ^[4]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Punto interior

Si p ₁ , p ₂ , p ₃ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h ₁ , h ₂ , h ₃ son las alturas a los lados respectivos, entonces ^[5]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Teorema del área

Denotando las alturas de cualquier triángulo de los lados a, b, c respectivamente como h _a , h _b , h _c , y denotando la semisuma de los recíprocos de las alturas como tenemos ^[6] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Punto general sobre una altitud

Si E es cualquier punto sobre una altitud AD de cualquier triángulo △ ABC , entonces ^{[7] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Desigualdad triangular

Como el área del triángulo es , la desigualdad del triángulo implica ^[8] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$ ${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.

Casos especiales

Triángulo equilátero

Desde cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero , la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Este es el teorema de Viviani .

Triángulo rectángulo

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

Comparación del teorema de Pitágoras inverso con el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c , cada uno de los catetos es también una altura: ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}=b}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}=a}$ . La tercera altura se puede hallar mediante la relación ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Esto también se conoce como el teorema de Pitágoras inverso .

Tenga en cuenta en particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

Véase también

• Mediana (geometría)

Notas

1. Smart 1998, pág. 156
2. Berele y Goldman 2001, pág. 118
3. Dorin Andrica y Dan S ̧tefan Marinescu. "Nuevas desigualdades de interpolación para R ≥ 2r de Euler". Forum Geometricorum , volumen 17 (2017), págs. 149-156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
4. Johnson 2007, pág. 71, Sección 101a
5. Johnson 2007, pág. 74, Sección 103c
6. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
7. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
8. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89 (noviembre de 2005), 494.
9. Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
10. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria , Dover
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría: teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Bogomolny, Alexander . "Existencia del ortocentro". Cortar el nudo . Consultado el 17 de diciembre de 2022 .
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Altitud". MundoMatemático .