Mediana (geometría)

Segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto

Las medianas del triángulo y el centroide .

En geometría , la mediana de un triángulo es un segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, biseccionando así ese lado. Cada triángulo tiene exactamente tres medianas, una de cada vértice, y todas se cortan entre sí en el centroide del triángulo . En el caso de triángulos isósceles y equiláteros , una mediana divide cualquier ángulo en un vértice cuyos dos lados adyacentes tienen la misma longitud. El concepto de mediana se extiende a los tetraedros .

Relación con el centro de masa.

Cada mediana de un triángulo pasa por el centroide del triángulo , que es el centro de masa de un objeto infinitamente delgado de densidad uniforme que coincide con el triángulo. ^[1] Así, el objeto se equilibraría en el punto de intersección de las medianas. El centroide está dos veces más cerca a lo largo de cualquier mediana del lado que la mediana intersecta que del vértice del que emana.

División de áreas iguales

Cada mediana divide el área del triángulo por la mitad; de ahí el nombre, y de ahí que un objeto triangular de densidad uniforme se equilibraría sobre cualquier mediana. (Cualquier otra línea que divida el área del triángulo en dos partes iguales no pasa por el centroide). ^{[2] [3]} Las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños de igual área .

Prueba de propiedad de áreas iguales

Consideremos un triángulo ABC . Sea D el punto medio de , E el punto medio de , F el punto medio de y O el centroide (más comúnmente denominado G ). ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$

Por definición, . Así y , donde representa el área del triángulo  ; estos son válidos porque en cada caso los dos triángulos tienen bases de igual longitud y comparten una altitud común desde la base (extendida), y el área de un triángulo es igual a la mitad de su base multiplicada por su altura. ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$ ${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$ ${\displaystyle [ABE]=[ACE]}$ ${\displaystyle [ABC]}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

Tenemos:

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

Así, y ${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$ ${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$

Dado que , por tanto, . Usando el mismo método, se puede demostrar que . ${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$

Tres triángulos congruentes

En 2014 Lee Sallows descubrió el siguiente teorema: ^[4]

Las medianas de cualquier triángulo lo dividen en seis triángulos más pequeños de igual área, como en la figura anterior, donde tres pares de triángulos adyacentes se encuentran en los puntos medios D, E y F. Si los dos triángulos de cada par se giran alrededor de su punto medio común hasta que se encuentran para compartir un lado común, entonces los tres nuevos triángulos formados por la unión de cada par son congruentes.

Fórmulas que involucran las longitudes de las medianas.

Las longitudes de las medianas se pueden obtener del teorema de Apolonio como:

$${\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$$

$${\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}$$

$${\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}$$

${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},}$ ${\displaystyle m_{c}}$

Estas fórmulas implican las relaciones:^[5]

$${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$

$${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$

$${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

Otras propiedades

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC entonces ^[6]

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

El centroide divide cada mediana en partes en una proporción de 2:1, estando el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto.

Para cualquier triángulo con lados y medianas ^[7] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$

$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

Las medianas de los lados de las longitudes y son perpendiculares si y sólo si ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Las medianas de un triángulo rectángulo con hipotenusa satisfacen ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

El área T de cualquier triángulo se puede expresar en términos de sus medianas y de la siguiente manera. Si su semisuma se denota por entonces ^[9] ${\displaystyle m_{a},m_{b}}$ ${\displaystyle m_{c}}$ ${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

tetraedro

medianas de un tetraedro

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Un tetraedro es un objeto tridimensional que tiene cuatro caras triangulares . Un segmento de recta que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro. Hay cuatro medianas y todas son concurrentes en el centroide del tetraedro. ^[10] Como en el caso bidimensional, el centroide del tetraedro es el centro de masa . Sin embargo, a diferencia del caso bidimensional, el centroide divide las medianas no en una proporción de 2:1 sino en una proporción de 3:1 ( teorema de Commandino ).

Ver también

• Bisectriz
• Altitud (triángulo)
• Triángulo automediano

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (2010). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC, segunda edición . Prensa CRC. págs. 375–377. ISBN 9781420035223.
2. Fondo, Henry. "Medianas y bisectrices de área de un triángulo". Archivado desde el original el 10 de mayo de 2019 . Consultado el 27 de septiembre de 2013 .
3. Dunn, JA y Pretty, JE, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256 Archivado el 5 de abril de 2023 en Wayback Machine.
4. Cetrino, Lee (2014). "Un teorema del triángulo". Revista Matemáticas . 87 (5): 381. doi : 10.4169/math.mag.87.5.381. ISSN  0025-570X.
5. Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triangulo. Edunsa. pag. 22.ISBN​ 978-84-7747-119-6. Consultado el 24 de abril de 2011 .
6. Problema 12015, American Mathematical Monthly, Vol.125, enero de 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
7. Posamentier, Alfred S. y Salkind, Charles T., Problemas desafiantes en geometría , Dover, 1996: págs.
8. Boskoff, Homentcovschi y Suceava (2009), Gaceta Matemática , Nota 93.15.
9. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
10. Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53–54

enlaces externos

• Los medianos en el corte del nudo
• Área del triángulo mediano en el momento del corte del nudo
• Medianas de un triángulo Con animación interactiva.
• Demostración animada sobre la construcción de la mediana de un triángulo con compás y regla
• Weisstein, Eric W. "Triángulo mediano". MundoMatemático .