Teorema de Commandino

Las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes

Medianas de un tetraedro que se intersecan en un punto (su centroide), tales que ${\displaystyle S}$
${\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}$

El teorema de Commandino , llamado así en honor a Federico Commandino (1509-1575), establece que las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes en un punto S , que las divide en una proporción de 3:1. En un tetraedro, una mediana es un segmento de línea que conecta un vértice con el centroide de la cara opuesta , es decir, el centroide del triángulo opuesto. El punto S es también el centroide del tetraedro. ^{[1] [2] [3]}

Historia

El teorema se atribuye a Commandino, quien afirmó, en su obra De Centro Gravitatis Solidorum (El centro de gravedad de los sólidos, 1565), que las cuatro medianas del tetraedro son concurrentes. Sin embargo, según el erudito del siglo XIX Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) afirmó haber encontrado el resultado antes. Sin embargo, Libri pensó que ya lo conocía Leonardo da Vinci , quien parece haberlo utilizado en su trabajo. Julian Coolidge compartió esa evaluación, pero señaló que no pudo encontrar ninguna descripción explícita o tratamiento matemático del teorema en las obras de da Vinci. ^[4] Otros eruditos han especulado que el resultado puede haber sido conocido ya por los matemáticos griegos durante la antigüedad. ^[5]

Generalizaciones

El teorema de Commandino tiene un análogo directo para los símplex de cualquier dimensión : ^[6]

Sea un -símplex de alguna dimensión en y sean sus vértices. Además, sean , las medianas de , las líneas que unen cada vértice con el centroide de la faceta de dimensión opuesta . Entonces, estas líneas se intersecan entre sí en un punto , en una razón de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$ ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d:1}$

Generalidad completa

El primer análogo es fácil de demostrar a través del siguiente resultado más general, que es análogo a la forma en que funcionan las palancas en física: ^[7]

Sean y números naturales , de modo que en un espacio vectorial se dan puntos diferentes por pares . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle m+k}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$

Sea el centroide de los puntos , sea el centroide de los puntos , y sea el centroide de todos estos puntos. ${\displaystyle S_{X}}$ ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$ ${\displaystyle S_{Y}}$ ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m+k}$

Entonces, uno tiene

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

En particular, el centroide se encuentra en la línea y la divide en una proporción de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ ${\displaystyle k:m}$

Teorema de Reusch

El teorema anterior tiene otras consecuencias interesantes además de la generalización mencionada del teorema de Commandino. Puede utilizarse para demostrar el siguiente teorema sobre el baricentro de un tetraedro, descrito por primera vez en Mathematische Unterhaltungen por el físico alemán Friedrich Eduard Reusch  [de] : ^{[8] [9]}

Se puede hallar el centroide de un tetraedro tomando los puntos medios de dos pares de sus aristas opuestas y conectando los puntos medios correspondientes a través de sus respectivas líneas medias. El punto de intersección de ambas líneas medias será el centroide del tetraedro.

Como un tetraedro tiene seis aristas en tres pares opuestos, se obtiene el siguiente corolario: ^[8]

En un tetraedro, las tres líneas medias correspondientes a los puntos medios de los bordes opuestos son concurrentes y su punto de intersección es el centroide del tetraedro.

Teorema de Varignon

Un caso específico del teorema de Reusch donde los cuatro vértices de un tetraedro son coplanares y se encuentran en un solo plano, degenerando así en un cuadrilátero , el teorema de Varignon, llamado así en honor a Pierre Varignon , establece lo siguiente: ^{[10] [11]}

Sea dado un cuadrilátero en . Entonces las dos líneas medias que unen los puntos medios de las aristas opuestas se cortan en el baricentro del cuadrilátero y quedan divididas por la mitad por él. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Referencias

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI . The Mathematical Association of America, 2015, ISBN  9780883853580 , págs. 97-98
2. Nathan Altshiller-Court: El tetraedro y su paralelepípedo circunscrito . The Mathematics Teacher, vol. 26, n.º 1 (ENERO DE 1933), págs. 46-52 (JSTOR)
3. Norman Schaumberger: Teorema de Commandino . The Two-Year College Mathematics Journal, vol. 13, n.º 5 (noviembre de 1982), pág. 331 (JSTOR)
4. Nathan Altshiller Court: Notas sobre el centroide . The Mathematics Teacher, vol. 53, n.º 1 (ENERO DE 1960), págs. 34 (JSTOR)
5. Howard Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . MAA, 1983, ISBN 9780883853108 , pág. 225 
6. Egbert Harzheim (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (en alemán). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. pag. 33.ISBN​ 3-534-07016-X.
7. Egbert Harzheim (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (en alemán), Darmstadt, p. 31, ISBN 3-534-07016-X{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
8. Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Ed.): Mathematische Unterhaltungen. Peso Zweites. 1973, págs. 100, 128
9. In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
10. Coxeter, op. cit., pág. 242
11. DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, pág. 652

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Commandino". MathWorld .
• Un par de bonitas extensiones de las propiedades medianas