En geometría, el perspector de Gossard [1] (también llamado perspector Zeeman–Gossard [2] ) es un punto especial asociado con un triángulo plano . Es un centro de un triángulo y se designa como X(402) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . El punto fue nombrado perspector de Gossard por John Conway en 1998 en honor a Harry Clinton Gossard, quien descubrió su existencia en 1916. Más tarde se supo que el punto había aparecido en un artículo de Christopher Zeeman publicado durante 1899-1902. Desde 2003 en adelante, la Enciclopedia de centros de triángulos se ha referido a este punto como perspector Zeeman–Gossard . [2]
Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea la línea de Euler del triángulo ABC la que corta las líneas laterales BC , CA y AB del triángulo ABC en D , E y F respectivamente. Sea A g B g C g el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AEF , BFD y CDE , siendo el vértice A g la intersección de las líneas de Euler de los triángulos BFD y CDE , y lo mismo para los otros dos vértices. El triángulo A g B g C g se llama triángulo de Gossard del triángulo ABC . [3]
Sea ABC un triángulo cualquiera y sea A g B g C g su triángulo de Gossard. Entonces las rectas AA g , BB g y CC g son concurrentes. El punto de concurrencia se denomina perspector de Gossard del triángulo ABC .
Las coordenadas trilineales del perspector de Gossard del triángulo ABC son
dónde
dónde
y
La construcción que produce el triángulo de Gossard de un triángulo ABC se puede generalizar para producir triángulos A'B'C' que son congruentes con el triángulo ABC y cuyas líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC .
Este resultado se debe a Christopher Zeeman. [4]
Sea l una línea paralela a la línea de Euler del triángulo ABC . Sea l la que interseca las líneas laterales BC , CA y AB del triángulo ABC en X , Y y Z respectivamente. Sea A'B'C' el triángulo formado por las líneas de Euler de los triángulos AYZ , BZX y CXY . Entonces el triángulo A'B'C' es congruente con el triángulo ABC y sus líneas laterales son paralelas a las líneas laterales del triángulo ABC . [4]
Esta generalización se debe a Paul Yiu. [1] [5]
Sea P cualquier punto en el plano del triángulo ABC diferente de su centroide G.
Entonces el triángulo A'B'C' es congruente con el triángulo ABC y sus lados son paralelos a los lados del triángulo ABC .
Cuando P coincide con el ortocentro H del triángulo ABC entonces la recta PG coincide con la recta de Euler del triángulo ABC . El triángulo A'B'C' coincide con el triángulo de Gossard A g B g C g del triángulo ABC .
El teorema fue generalizado por Dao Thanh Oai. Sea ABC un triángulo. Sean H y O dos puntos en el plano, y sea la línea HO la que corta a BC, CA, AB en A 0 , B 0 , C 0 respectivamente. Sean A H y A O dos puntos tales que C 0 A H paralelo a BH , B 0 A H paralelo a CH y C 0 A O paralelo a BO , B 0 A O paralelo a CO . Definamos B H , B O , C H , C O cíclicamente. Entonces el triángulo formado por las líneas A H A O , B H B O , C H C O y el triángulo ABC son homotéticos y congruentes , y el centro homotético se encuentra en la línea OH . El resultado de Dao Thanh Oai es la generalización de todos los resultados anteriores. [6] [7] [8]
El centro homotético en la Enciclopedia de Centros de Triángulos llamado perspector Dao-Zeeman de la línea OH . [7]