En geometría , un punto es una idealización abstracta de una posición exacta , sin tamaño, en el espacio físico , [1] o su generalización a otros tipos de espacios matemáticos . Como objetos de dimensión cero, los puntos suelen tomarse como los elementos indivisibles fundamentales que componen el espacio, del que están formadas las curvas unidimensionales , las superficies bidimensionales y los objetos de dimensiones superiores; a la inversa, un punto puede determinarse por la intersección de dos curvas o tres superficies, denominada vértice o esquina .
En la geometría euclidiana clásica , un punto es una noción primitiva , definida como "aquello que no tiene parte". Los puntos y otras nociones primitivas no se definen en términos de otros conceptos, sino solo por ciertas propiedades formales, llamadas axiomas , que deben satisfacer; por ejemplo, "hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos distintos" . Como diagramas físicos, las figuras geométricas se hacen con herramientas como un compás , un punzón o un bolígrafo, cuya punta puntiaguda puede marcar un pequeño punto o perforar un pequeño orificio que representa un punto, o puede dibujarse a lo largo de una superficie para representar una curva.
Desde la llegada de la geometría analítica , los puntos suelen definirse o representarse en términos de coordenadas numéricas . En las matemáticas modernas, un espacio de puntos se trata normalmente como un conjunto , un conjunto de puntos .
Un punto aislado es un elemento de algún subconjunto de puntos que tiene una vecindad que no contiene otros puntos del subconjunto.
Los puntos, considerados en el marco de la geometría euclidiana , son uno de los objetos más fundamentales. Euclides definió originalmente el punto como "aquello que no tiene parte". [2] En el plano euclidiano bidimensional , un punto se representa mediante un par ordenado ( x , y ) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y a menudo se denota por x , y el segundo número representa convencionalmente la vertical y a menudo se denota por y . Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional , donde un punto se representa mediante un triplete ordenado ( x , y , z ) con el tercer número adicional que representa la profundidad y a menudo se denota por z . Otras generalizaciones se representan mediante un triplete ordenado de n términos, ( a 1 , a 2 , …, a n ) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto. [3]
Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Esto se representa generalmente por un conjunto de puntos; como ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma donde c 1 a c n y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Existen construcciones similares que definen el plano , el segmento de línea y otros conceptos relacionados. [4] Un segmento de línea que consta de un solo punto se llama segmento de línea degenerado . [ cita requerida ]
Además de definir puntos y construcciones relacionadas con los puntos, Euclides también postuló una idea clave sobre los puntos, que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una línea recta. [5] Esto se confirma fácilmente con las extensiones modernas de la geometría euclidiana, y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, permitiendo la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, la postulación de puntos de Euclides no era completa ni definitiva, y ocasionalmente suponía hechos sobre los puntos que no se seguían directamente de sus axiomas, como el orden de los puntos en la línea o la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estas suposiciones. [6]
Existen varias definiciones de dimensión que no son equivalentes en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es de dimensión cero.
La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente . En un espacio vectorial que consta de un único punto (que debe ser el vector cero 0 ), no existe ningún subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es linealmente independiente en sí mismo, porque existe una combinación lineal no trivial que lo convierte en cero: .
La dimensión topológica de un espacio topológico se define como el valor mínimo de n , de modo que cada recubrimiento abierto finito de admite un recubrimiento abierto finito de que refina en el que ningún punto está incluido en más de n +1 elementos. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio es de dimensión de recubrimiento infinita.
Un punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura porque cada cobertura abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un único conjunto abierto.
Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞) , el contenido de Hausdorff d -dimensional de S es el ínfimo del conjunto de números δ ≥ 0 tal que existe alguna colección (indexada) de bolas que cubren S con r i > 0 para cada i ∈ I que satisface
La dimensión de Hausdorff de X se define por
Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede ser cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.
Aunque la noción de punto se considera generalmente fundamental en la geometría y la topología convencionales, hay algunos sistemas que la prescinden, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin punto . Un espacio "sin punto" o "sin punto" no se define como un conjunto , sino a través de alguna estructura ( algebraica o lógica respectivamente) que se parece a un espacio de funciones bien conocido en el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos respectivamente. Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios de funciones bien conocidos de una manera que la operación "tomar un valor en este punto" puede no estar definida. [7] Otra tradición comienza con algunos libros de AN Whitehead en los que se asume la noción de región como un primitivo junto con el de inclusión o conexión . [8]
A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar en un punto como si tuviera una masa o carga distinta de cero (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico , donde los electrones se idealizan como puntos con carga distinta de cero). La función delta de Dirac , o función δ , es (informalmente) una función generalizada en la línea de números reales que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno en toda la línea real. [9] La función delta a veces se considera como un pico infinitamente alto, infinitamente delgado en el origen, con un área total de uno debajo del pico, y representa físicamente una masa puntual idealizada o una carga puntual . [10] Fue introducida por el físico teórico Paul Dirac . En el contexto del procesamiento de señales, a menudo se la conoce como el símbolo (o función) del impulso unitario. [11] Su análogo discreto es la función delta de Kronecker , que generalmente se define en un dominio finito y toma los valores 0 y 1.
