En matemáticas, una variedad diferenciable (también variedad diferencial ) es un tipo de variedad que es localmente lo suficientemente similar a un espacio vectorial como para permitir la aplicación del cálculo . Cualquier variedad puede describirse mediante una colección de gráficos ( atlas ). A continuación, se pueden aplicar ideas del cálculo mientras se trabaja dentro de los gráficos individuales, ya que cada gráfico se encuentra dentro de un espacio vectorial al que se aplican las reglas habituales del cálculo. Si los gráficos son adecuadamente compatibles (es decir, la transición de un gráfico a otro es diferenciable ), entonces los cálculos realizados en un gráfico son válidos en cualquier otro gráfico diferenciable.
En términos formales, una variedad diferenciable es una variedad topológica con una estructura diferencial definida globalmente . A cualquier variedad topológica se le puede dar una estructura diferencial localmente utilizando los homeomorfismos en su atlas y la estructura diferencial estándar en un espacio vectorial. Para inducir una estructura diferencial global en los sistemas de coordenadas locales inducidos por los homeomorfismos, sus composiciones en las intersecciones de los gráficos en el atlas deben ser funciones diferenciables en el espacio vectorial correspondiente. En otras palabras, cuando los dominios de los gráficos se superponen, se requiere que las coordenadas definidas por cada gráfico sean diferenciables con respecto a las coordenadas definidas por cada gráfico en el atlas. Los mapas que relacionan las coordenadas definidas por los diversos gráficos entre sí se denominan mapas de transición .
La capacidad de definir una estructura diferencial local de este tipo en un espacio abstracto permite extender la definición de diferenciabilidad a espacios sin sistemas de coordenadas globales. Una estructura diferencial local permite definir el espacio tangente diferenciable globalmente , las funciones diferenciables y los campos tensoriales y vectoriales diferenciables .
Las variedades diferenciables son muy importantes en física . Los tipos especiales de variedades diferenciables forman la base de teorías físicas como la mecánica clásica , la relatividad general y la teoría de Yang-Mills . Es posible desarrollar un cálculo para variedades diferenciables. Esto conduce a una maquinaria matemática como el cálculo exterior. El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial .
A la "diferenciabilidad" de una variedad se le han dado varios significados, entre ellos: continuamente diferenciable , k -veces diferenciable, suave (que en sí mismo tiene muchos significados) y analítico .
El surgimiento de la geometría diferencial como disciplina independiente se atribuye generalmente a Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann . Riemann describió por primera vez las variedades en su famosa conferencia de habilitación ante la facultad de Göttingen . [1] Motivó la idea de una variedad mediante un proceso intuitivo de variación de un objeto dado en una nueva dirección, y describió proféticamente el papel de los sistemas de coordenadas y los gráficos en desarrollos formales posteriores:
Los trabajos de físicos como James Clerk Maxwell , [2] y los matemáticos Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita [3] condujeron al desarrollo del análisis tensorial y la noción de covarianza , que identifica una propiedad geométrica intrínseca como aquella que es invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas . Estas ideas encontraron una aplicación clave en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y su principio de equivalencia subyacente . Una definición moderna de una variedad bidimensional fue dada por Hermann Weyl en su libro de 1913 sobre superficies de Riemann . [4] La definición general ampliamente aceptada de una variedad en términos de un atlas se debe a Hassler Whitney . [5]
Sea M un espacio topológico . Un gráfico ( U , φ ) sobre M consiste en un subconjunto abierto U de M , y un homeomorfismo φ de U a un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano R n . De manera un tanto informal, se puede hacer referencia a un gráfico φ : U → R n , lo que significa que la imagen de φ es un subconjunto abierto de R n , y que φ es un homeomorfismo sobre su imagen; en el uso de algunos autores, esto puede significar en cambio que φ : U → R n es en sí mismo un homeomorfismo.
La presencia de un gráfico sugiere la posibilidad de realizar cálculo diferencial sobre M ; por ejemplo, si se da una función u : M → R y un gráfico ( U , φ ) sobre M , se podría considerar la composición u ∘ φ −1 , que es una función de valor real cuyo dominio es un subconjunto abierto de un espacio euclidiano; como tal, si resulta ser diferenciable, se podrían considerar sus derivadas parciales .
Esta situación no es completamente satisfactoria por la siguiente razón. Consideremos un segundo gráfico ( V , ψ ) en M , y supongamos que U y V contienen algunos puntos en común. Las dos funciones correspondientes u ∘ φ −1 y u ∘ ψ −1 están vinculadas en el sentido de que pueden ser reparametrizadas una en la otra: el dominio natural del lado derecho es φ ( U ∩ V ) . Dado que φ y ψ son homeomorfismos, se deduce que ψ ∘ φ −1 es un homeomorfismo de φ ( U ∩ V ) a ψ ( U ∩ V ) . En consecuencia, es simplemente una función bicontinua, por lo que incluso si ambas funciones u ∘ φ −1 y u ∘ ψ −1 son diferenciables, sus propiedades diferenciales no necesariamente estarán fuertemente ligadas entre sí, ya que no se garantiza que ψ ∘ φ −1 sea suficientemente diferenciable para poder calcular las derivadas parciales del LHS aplicando la regla de la cadena al RHS. El mismo problema se encuentra si uno considera en cambio las funciones c : R → M ; uno es conducido a la fórmula de reparametrización en cuyo punto uno puede hacer la misma observación que antes.
Esto se resuelve con la introducción de un "atlas diferenciable" de cartas, que especifica una colección de cartas en M para las cuales las aplicaciones de transición ψ ∘ φ −1 son todas diferenciables. Esto hace que la situación sea bastante clara: si u ∘ φ −1 es diferenciable, entonces debido a la primera fórmula de reparametrización mencionada anteriormente, la aplicación u ∘ ψ −1 también es diferenciable en la región ψ ( U ∩ V ) , y viceversa. Además, las derivadas de estas dos aplicaciones están vinculadas entre sí por la regla de la cadena. En relación con el atlas dado, esto facilita una noción de aplicaciones diferenciables cuyo dominio o rango es M , así como una noción de la derivada de dichas aplicaciones.
Formalmente, la palabra "diferenciable" es algo ambigua, ya que distintos autores la interpretan con distintos significados; a veces significa la existencia de primeras derivadas, a veces la existencia de primeras derivadas continuas y, a veces, la existencia de infinitas derivadas. A continuación se ofrece una definición formal de varios significados (no ambiguos) de "atlas diferenciable". En general, "diferenciable" se utilizará como un término general que incluya todas estas posibilidades, siempre que k ≥ 1 .
Puesto que todo mapa real-analítico es suave, y todo mapa suave es C k para cualquier k , se puede ver que cualquier atlas analítico también puede verse como un atlas suave, y todo atlas suave puede verse como un atlas C k . Esta cadena puede extenderse para incluir atlas holomorfos, con el entendimiento de que cualquier mapa holomorfo entre subconjuntos abiertos de C n puede verse como un mapa real-analítico entre subconjuntos abiertos de R 2 n .
Dado un atlas diferenciable en un espacio topológico, se dice que un mapa es diferenciablemente compatible con el atlas, o diferenciable en relación con el atlas dado, si la inclusión del mapa en la colección de mapas que comprende el atlas diferenciable dado da como resultado un atlas diferenciable. Un atlas diferenciable determina un atlas diferenciable máximo , que consiste en todos los mapas que son diferenciablemente compatibles con el atlas dado. Un atlas máximo siempre es muy grande. Por ejemplo, dado cualquier mapa en un atlas máximo, su restricción a un subconjunto abierto arbitrario de su dominio también estará contenida en el atlas máximo. Un atlas liso máximo también se conoce como estructura lisa ; un atlas holomorfo máximo también se conoce como estructura compleja .
Una definición alternativa pero equivalente, que evita el uso directo de atlas maximalistas, es considerar clases de equivalencia de atlas diferenciables, en las que dos atlas diferenciables se consideran equivalentes si cada carta de un atlas es compatible de manera diferenciable con la del otro atlas. De manera informal, esto significa que, al tratar con una variedad uniforme, se puede trabajar con un único atlas diferenciable, que consta de sólo unas pocas cartas, con el entendimiento implícito de que muchas otras cartas y atlas diferenciables son igualmente legítimos.
De acuerdo con la invariancia del dominio , cada componente conexo de un espacio topológico que tiene un atlas diferenciable tiene una dimensión n bien definida . Esto provoca una pequeña ambigüedad en el caso de un atlas holomorfo, ya que la dimensión correspondiente será la mitad del valor de su dimensión cuando se considera un atlas analítico, liso o C k . Por esta razón, se hace referencia por separado a la dimensión "real" y "compleja" de un espacio topológico con un atlas holomorfo.
Una variedad diferenciable es un espacio topológico numerable de Hausdorff y segundo M , junto con un atlas diferenciable máximo en M . Gran parte de la teoría básica se puede desarrollar sin la necesidad de las condiciones de numerabilidad de Hausdorff y segundo, aunque son vitales para gran parte de la teoría avanzada. Son esencialmente equivalentes a la existencia general de funciones de protuberancia y particiones de la unidad , las cuales se utilizan de forma ubicua.
La noción de variedad C 0 es idéntica a la de variedad topológica . Sin embargo, hay una distinción notable que debe hacerse. Dado un espacio topológico, tiene sentido preguntar si es o no una variedad topológica. Por el contrario, no tiene sentido preguntar si un espacio topológico dado es o no (por ejemplo) una variedad lisa, ya que la noción de variedad lisa requiere la especificación de un atlas liso, que es una estructura adicional. Sin embargo, podría tener sentido decir que a un cierto espacio topológico no se le puede dar la estructura de una variedad lisa. Es posible reformular las definiciones de modo que no exista este tipo de desequilibrio; se puede empezar con un conjunto M (en lugar de un espacio topológico M ), utilizando el análogo natural de un atlas liso en este contexto para definir la estructura de un espacio topológico en M .
Se puede aplicar ingeniería inversa a las definiciones anteriores para obtener una perspectiva sobre la construcción de variedades. La idea es comenzar con las imágenes de los gráficos y los mapas de transición, y construir la variedad únicamente a partir de estos datos. Como en la discusión anterior, utilizamos el contexto "suave", pero todo funciona igual de bien en otros entornos.
Dado un conjunto de indexación , sea una colección de subconjuntos abiertos de y para cada sea un subconjunto abierto (posiblemente vacío) de y sea una función suavizada. Supóngase que es la función identidad, que es la función identidad y que es la función identidad. Luego, defina una relación de equivalencia en la unión disjunta declarando que es equivalente a Con algo de trabajo técnico, se puede demostrar que al conjunto de clases de equivalencia se le puede dar naturalmente una estructura topológica, y que los gráficos utilizados para hacerlo forman un atlas suavizado. Para la unión de las estructuras analíticas (subconjunto), véase variedades analíticas .
Una función de valor real f en una variedad diferenciable n -dimensional M se llama diferenciable en un punto p ∈ M si es diferenciable en cualquier gráfico de coordenadas definido alrededor de p . En términos más precisos, si es un gráfico diferenciable donde es un conjunto abierto en que contiene p y es la función que define el gráfico, entonces f es diferenciable en p si y solo si es diferenciable en , es decir es una función diferenciable del conjunto abierto , considerado como un subconjunto de , a . En general, habrá muchos gráficos disponibles; sin embargo, la definición de diferenciabilidad no depende de la elección del gráfico en p . De la regla de la cadena aplicada a las funciones de transición entre un gráfico y otro se deduce que si f es diferenciable en cualquier gráfico particular en p , entonces es diferenciable en todos los gráficos en p . Consideraciones análogas se aplican a la definición de funciones C k , funciones suaves y funciones analíticas.
Existen varias formas de definir la derivada de una función en una variedad diferenciable, la más fundamental de las cuales es la derivada direccional . La definición de la derivada direccional se complica por el hecho de que una variedad carecerá de una estructura afín adecuada con la que definir vectores . Por lo tanto, la derivada direccional analiza las curvas en la variedad en lugar de los vectores.
Dada una función de valor real f en una variedad diferenciable de dimensión n M , la derivada direccional de f en un punto p en M se define como sigue. Supóngase que γ( t ) es una curva en M con γ (0) = p , que es diferenciable en el sentido de que su composición con cualquier gráfico es una curva diferenciable en R n . Entonces la derivada direccional de f en p a lo largo de γ es
Si γ 1 y γ 2 son dos curvas tales que γ 1 (0) = γ 2 (0) = p , y en cualquier gráfico de coordenadas ,
Entonces, por la regla de la cadena, f tiene la misma derivada direccional en p a lo largo de γ 1 que a lo largo de γ 2 . Esto significa que la derivada direccional depende únicamente del vector tangente de la curva en p . Por lo tanto, la definición más abstracta de diferenciación direccional adaptada al caso de variedades diferenciables captura en última instancia las características intuitivas de la diferenciación direccional en un espacio afín.
Un vector tangente en p ∈ M es una clase de equivalencia de curvas diferenciables γ con γ (0) = p , módulo la relación de equivalencia de contacto de primer orden entre las curvas. Por lo tanto,
en cada gráfico de coordenadas . Por lo tanto, las clases de equivalencia son curvas que pasan por p con un vector de velocidad prescrito en p . La colección de todos los vectores tangentes en p forma un espacio vectorial : el espacio tangente a M en p , denotado como T p M.
Si X es un vector tangente en p y f una función diferenciable definida cerca de p , entonces la diferenciación de f a lo largo de cualquier curva en la clase de equivalencia que define a X da una derivada direccional bien definida a lo largo de X : Una vez más, la regla de la cadena establece que esto es independiente de la libertad en la selección de γ de la clase de equivalencia, ya que cualquier curva con el mismo contacto de primer orden producirá la misma derivada direccional.
Si la función f es fija, entonces la aplicación es una función lineal en el espacio tangente. Esta función lineal se suele denotar por df ( p ) y se denomina diferencial de f en p :
Sea una variedad topológica con un atlas liso Dado sea denotado Un "vector tangente en " es una aplicación denotada aquí tal que para todos Sea la colección de vectores tangentes en denotada por Dada una función lisa , defina enviando un vector tangente al número dado por que debido a la regla de la cadena y la restricción en la definición de un vector tangente no depende de la elección de
Se puede comprobar que naturalmente tiene la estructura de un espacio vectorial real de dimensión 1 y que con esta estructura, es una función lineal. La observación clave es que, debido a la restricción que aparece en la definición de un vector tangente, el valor de para un único elemento de determina automáticamente para todos los
Las definiciones formales anteriores corresponden precisamente a una notación más informal que aparece a menudo en los libros de texto, específicamente
Una vez entendida la idea de las definiciones formales, esta notación abreviada resulta, para la mayoría de los propósitos, mucho más fácil de utilizar.
Una de las características topológicas del haz de funciones diferenciables en una variedad diferenciable es que admite particiones de unidad . Esto distingue la estructura diferencial en una variedad de estructuras más fuertes (como las estructuras analíticas y holomorfas) que en general no tienen particiones de unidad.
Supóngase que M es una variedad de clase C k , donde 0 ≤ k ≤ ∞ . Sea { U α } una cobertura abierta de M . Entonces una partición de unidad subordinada a la cobertura { U α } es una colección de funciones C k de valor real φ i en M que satisfacen las siguientes condiciones:
(Nótese que esta última condición es en realidad una suma finita en cada punto debido a la finitud local de los apoyos de φ i .)
Toda cobertura abierta de una variedad C k M tiene una partición C k de la unidad. Esto permite que ciertas construcciones de la topología de funciones C k en R n se trasladen a la categoría de variedades diferenciables. En particular, es posible discutir la integración eligiendo una partición de la unidad subordinada a un atlas de coordenadas particular y llevando a cabo la integración en cada carta de R n . Por lo tanto, las particiones de la unidad permiten considerar otros tipos de espacios de funciones : por ejemplo, espacios L p , espacios de Sobolev y otros tipos de espacios que requieren integración.
Supongamos que M y N son dos variedades diferenciables con dimensiones m y n , respectivamente, y f es una función de M a N . Como las variedades diferenciables son espacios topológicos, sabemos lo que significa que f sea continua. Pero, ¿qué significa " f es C k ( M , N ) " para k ≥ 1 ? Sabemos lo que eso significa cuando f es una función entre espacios euclidianos, por lo que si componemos f con una carta de M y una carta de N de manera que obtenemos una función que va del espacio euclidiano a M a N al espacio euclidiano, sabemos lo que significa que esa función sea C k ( R m , R n ) . Definimos " f es C k ( M , N ) " para significar que todas esas composiciones de f con cartas son C k ( R m , R n ) . Una vez más, la regla de la cadena garantiza que la idea de diferenciabilidad no depende de qué cartas de los atlas sobre M y N se seleccionan. Sin embargo, definir la derivada en sí es más sutil. Si M o N ya es un espacio euclidiano, entonces no necesitamos un gráfico para mapearlo a uno.
El espacio tangente de un punto consiste en las derivadas direccionales posibles en ese punto, y tiene la misma dimensión n que la variedad. Para un conjunto de coordenadas (no singulares) x k locales al punto, las derivadas de coordenadas definen una base holonómica del espacio tangente. La colección de espacios tangentes en todos los puntos puede a su vez convertirse en una variedad, el fibrado tangente , cuya dimensión es 2 n . El fibrado tangente es donde se encuentran los vectores tangentes , y es en sí mismo una variedad diferenciable. El lagrangiano es una función sobre el fibrado tangente. También se puede definir el fibrado tangente como el fibrado de 1- jets desde R (la línea real ) hasta M .
Se puede construir un atlas para el fibrado tangente que consta de gráficos basados en U α × R n , donde U α denota uno de los gráficos en el atlas para M . Cada uno de estos nuevos gráficos es el fibrado tangente para los gráficos U α . Los mapas de transición en este atlas se definen a partir de los mapas de transición en la variedad original y conservan la clase de diferenciabilidad original.
El espacio dual de un espacio vectorial es el conjunto de funciones lineales de valor real en el espacio vectorial. El espacio cotangente en un punto es el dual del espacio tangente en ese punto y los elementos se denominan vectores cotangentes; el fibrado cotangente es la colección de todos los vectores cotangentes, junto con la estructura de variedad diferenciable natural.
Al igual que el fibrado tangente, el fibrado cotangente es nuevamente una variedad diferenciable. El hamiltoniano es un escalar en el fibrado cotangente. El espacio total de un fibrado cotangente tiene la estructura de una variedad simpléctica . Los vectores cotangentes a veces se denominan covectores . También se puede definir el fibrado cotangente como el fibrado de 1- jets de funciones de M a R.
Los elementos del espacio cotangente pueden considerarse como desplazamientos infinitesimales : si f es una función diferenciable, podemos definir en cada punto p un vector cotangente df p , que envía un vector tangente X p a la derivada de f asociada a X p . Sin embargo, no todos los campos covectoriales pueden expresarse de esta manera. Aquellos que sí pueden expresarse se denominan diferenciales exactas . Para un conjunto dado de coordenadas locales x k , las diferenciales dxk-
pforman una base del espacio cotangente en p .
El fibrado tensorial es la suma directa de todos los productos tensoriales del fibrado tangente y del fibrado cotangente. Cada elemento del fibrado es un cuerpo tensorial , que puede actuar como operador multilineal sobre cuerpos vectoriales o sobre otros cuerpos tensoriales.
El fibrado tensorial no es una variedad diferenciable en el sentido tradicional, ya que es de dimensión infinita. Sin embargo, es un álgebra sobre el anillo de funciones escalares. Cada tensor se caracteriza por sus rangos, que indican cuántos factores tangentes y cotangentes tiene. A veces, estos rangos se denominan rangos covariantes y contravariantes , que significan rangos tangentes y cotangentes, respectivamente.
Un marco (o, en términos más precisos, un marco tangente), es una base ordenada de un espacio tangente particular. Del mismo modo, un marco tangente es un isomorfismo lineal de R n a este espacio tangente. Un marco tangente móvil es una lista ordenada de campos vectoriales que dan una base en cada punto de su dominio. También se puede considerar un marco móvil como una sección del fibrado de marcos F( M ), un fibrado principal GL( n , R ) formado por el conjunto de todos los marcos sobre M . El fibrado de marcos es útil porque los campos tensoriales sobre M pueden considerarse como funciones vectoriales equivariantes sobre F( M ).
En una variedad suficientemente lisa, también se pueden considerar varios tipos de fibrados jet. El fibrado tangente (de primer orden) de una variedad es el conjunto de curvas en la variedad módulo la relación de equivalencia de contacto de primer orden . Por analogía, el fibrado tangente de orden k es el conjunto de curvas módulo la relación de contacto de orden k . Del mismo modo, el fibrado cotangente es el fibrado de 1-fibras de funciones en la variedad: el fibrado de k -fibras es el fibrado de sus k -fibras. Estos y otros ejemplos de la idea general de los fibrados jet juegan un papel significativo en el estudio de los operadores diferenciales en variedades.
La noción de un marco también se generaliza al caso de jets de orden superior. Defina un marco de orden k como el k -jet de un difeomorfismo de R n a M . [6] La colección de todos los marcos de orden k , F k ( M ), es un fibrado principal G k sobre M , donde G k es el grupo de k -jets ; es decir, el grupo formado por k -jets de difeomorfismos de R n que fijan el origen. Nótese que GL( n , R ) es naturalmente isomorfo a G 1 , y un subgrupo de cada G k , k ≥ 2 . En particular, una sección de F 2 ( M ) da los componentes del marco de una conexión en M . Por lo tanto, el fibrado cociente F 2 ( M ) / GL( n , R ) es el fibrado de conexiones lineales simétricas sobre M .
Muchas de las técnicas del cálculo multivariante también se aplican, mutatis mutandis , a variedades diferenciables. Se puede definir la derivada direccional de una función diferenciable a lo largo de un vector tangente a la variedad, por ejemplo, y esto conduce a un medio para generalizar la derivada total de una función: la diferencial. Desde la perspectiva del cálculo, la derivada de una función en una variedad se comporta de manera muy similar a la derivada ordinaria de una función definida en un espacio euclidiano, al menos localmente . Por ejemplo, existen versiones de los teoremas de función implícita e inversa para tales funciones.
Sin embargo, existen diferencias importantes en el cálculo de campos vectoriales (y campos tensoriales en general). En resumen, la derivada direccional de un campo vectorial no está bien definida, o al menos no está definida de manera sencilla. Existen varias generalizaciones de la derivada de un campo vectorial (o campo tensorial) que captan ciertas características formales de la diferenciación en espacios euclidianos. Las principales son:
Las ideas del cálculo integral también se trasladan a las variedades diferenciales. Éstas se expresan naturalmente en el lenguaje del cálculo exterior y las formas diferenciales . Los teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables (a saber, el teorema de Green , el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes ) se generalizan a un teorema (también llamado teorema de Stokes) que relaciona la derivada exterior y la integración sobre subvariedades .
Se necesitan funciones diferenciables entre dos variedades para formular nociones adecuadas de subvariedades y otros conceptos relacionados. Si f : M → N es una función diferenciable de una variedad diferenciable M de dimensión m a otra variedad diferenciable N de dimensión n , entonces la diferencial de f es una función df : T M → T N . También se denota por Tf y se llama función tangente . En cada punto de M , esta es una transformación lineal de un espacio tangente a otro: El rango de f en p es el rango de esta transformación lineal.
Por lo general, el rango de una función es una propiedad puntual. Sin embargo, si la función tiene un rango máximo, entonces el rango permanecerá constante en las proximidades de un punto. Una función diferenciable "por lo general" tiene un rango máximo, en un sentido preciso dado por el teorema de Sard . Las funciones de rango máximo en un punto se denominan inmersiones y sumersiones :
Una derivada de Lie , llamada así por Sophus Lie , es una derivación del álgebra de campos tensoriales sobre una variedad M. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie sobre M forma un álgebra de Lie de dimensión infinita con respecto al corchete de Lie definido por
Las derivadas de Lie se representan mediante campos vectoriales , como generadores infinitesimales de flujos ( difeomorfismos activos ) sobre M. Mirándolo al revés, el grupo de difeomorfismos de M tiene asociada la estructura del álgebra de Lie, de las derivadas de Lie, de una manera directamente análoga a la teoría de grupos de Lie .
El cálculo exterior permite una generalización de los operadores de gradiente , divergencia y rizo .
El fibrado de formas diferenciales , en cada punto, consiste en todas las funciones multilineales totalmente antisimétricas en el espacio tangente en ese punto. Naturalmente, se divide en n -formas para cada n como máximo igual a la dimensión de la variedad; una n -forma es una forma de n -variables, también llamada forma de grado n . Las 1-formas son los vectores cotangentes, mientras que las 0-formas son simplemente funciones escalares. En general, una n -forma es un tensor con rango cotangente n y rango tangente 0. Pero no todos los tensores de este tipo son una forma, ya que una forma debe ser antisimétrica.
La derivada exterior es un operador lineal en el espacio vectorial graduado de todas las formas diferenciales suaves en una variedad suave . Generalmente se denota por . Más precisamente, si , para el operador mapea el espacio de -formas en en el espacio de -formas (si no hay -formas distintas de cero en entonces la función es idénticamente cero en -formas).
Por ejemplo, la diferencial exterior de una función suave se da en coordenadas locales , con un co-marco local asociado mediante la fórmula:
El diferencial exterior satisface la siguiente identidad, similar a una regla de producto con respecto al producto de cuña de formas:
La derivada exterior también satisface la identidad . Es decir, si es una -forma entonces la -forma es idénticamente nula. Una forma tal que se llama cerrada , mientras que una forma tal que para alguna otra forma se llama exacta . Otra formulación de la identidad es que una forma exacta es cerrada. Esto permite definir la cohomología de De Rham de la variedad , donde el º grupo de cohomología es el grupo cociente de las formas cerradas en por las formas exactas en .
Supongamos que se trata de una variedad topológica .
Si se da un atlas suave , es fácil encontrar un atlas suave que defina una estructura de variedad suave diferente al considerar un homeomorfismo que no es suave en relación con el atlas dado; por ejemplo, se puede modificar el mapa de identidad como una protuberancia no suave localizada. Luego, considere el nuevo atlas que se verifica fácilmente como un atlas suave. Sin embargo, los gráficos en el nuevo atlas no son compatibles con los gráficos en el atlas antiguo, ya que esto requeriría que y sean suaves para cualquier y con estas condiciones siendo exactamente la definición de que tanto y son suaves, en contradicción con cómo se seleccionó.
Con esta observación como motivación, se puede definir una relación de equivalencia en el espacio de atlas lisos en al declarar que los atlas lisos y son equivalentes si existe un homeomorfismo tal que es suavemente compatible con y tal que es suavemente compatible con
Más brevemente, se podría decir que dos atlas lisos son equivalentes si existe un difeomorfismo en el que un atlas liso se toma para el dominio y el otro atlas liso se toma para el rango.
Nótese que esta relación de equivalencia es un refinamiento de la relación de equivalencia que define una estructura de variedad suave, ya que dos atlas suavemente compatibles son también compatibles en el sentido actual; uno puede tomarse como el mapa identidad.
Si la dimensión de es 1, 2 o 3, entonces existe una estructura lisa en , y todas las estructuras lisas distintas son equivalentes en el sentido anterior. La situación es más complicada en dimensiones superiores, aunque no se entiende del todo.
Toda variedad suave conexa unidimensional es difeomorfa con respecto a cualquiera de sus estructuras suaves estándar.
Para una clasificación de las 2-variedades lisas, véase superficie . Un resultado particular es que cada variedad lisa compacta bidimensional conexa es difeomorfa a una de las siguientes: o o La situación es más no trivial si se considera la estructura compleja-diferenciable en lugar de la estructura lisa.
La situación en tres dimensiones es bastante más complicada y los resultados conocidos son más indirectos. Un resultado notable, demostrado en 2002 mediante métodos de ecuaciones diferenciales parciales , es la conjetura de geometrización , que afirma de manera vaga que cualquier variedad tridimensional compacta y uniforme se puede dividir en diferentes partes, cada una de las cuales admite métricas de Riemann que poseen muchas simetrías. También existen varios "resultados de reconocimiento" para variedades tridimensionales geometrizables, como la rigidez de Mostow y el algoritmo de Sela para el problema de isomorfismo para grupos hiperbólicos. [8]
Se sabe que la clasificación de n -variedades para n mayor que tres es imposible, incluso hasta la equivalencia de homotopía . Dado cualquier grupo finitamente presentado , se puede construir una 4-variedad cerrada que tenga ese grupo como grupo fundamental. Puesto que no hay algoritmo para decidir el problema de isomorfismo para grupos finitamente presentados, no hay algoritmo para decidir si dos 4-variedades tienen el mismo grupo fundamental. Puesto que la construcción descrita anteriormente da como resultado una clase de 4-variedades que son homeomorfas si y solo si sus grupos son isomorfos, el problema de homeomorfismo para 4-variedades es indecidible . Además, puesto que incluso reconociendo que el grupo trivial es indecidible, ni siquiera es posible en general decidir si una variedad tiene grupo fundamental trivial, es decir, está simplemente conexa .
Las 4-variedades simplemente conexas han sido clasificadas hasta el homeomorfismo por Freedman utilizando la forma de intersección y el invariante de Kirby-Siebenmann . Se sabe que la teoría de 4-variedades suaves es mucho más complicada, como lo demuestran las exóticas estructuras suaves en R 4 .
Sin embargo, la situación se vuelve más manejable para variedades suaves simplemente conexas de dimensión ≥ 5, donde el teorema del h-cobordismo se puede utilizar para reducir la clasificación a una clasificación hasta la equivalencia de homotopía, y se puede aplicar la teoría de la cirugía . [9] Esto se ha llevado a cabo para proporcionar una clasificación explícita de 5-variedades simplemente conexas por Dennis Barden.
Una variedad de Riemann consiste en una variedad suave junto con un producto interno definido positivo en cada uno de los espacios tangentes individuales. Esta colección de productos internos se llama métrica de Riemann y es naturalmente un campo de 2 tensores simétricos. Esta "métrica" identifica un isomorfismo natural del espacio vectorial para cada En una variedad de Riemann se pueden definir nociones de longitud, volumen y ángulo. Cualquier variedad suave puede tener muchas métricas de Riemann diferentes.
Una variedad pseudo-riemanniana (también llamada variedad semi-riemanniana) es una generalización de la noción de variedad riemanniana donde se permite que los productos internos tengan una firma indefinida , en lugar de ser definidos positivos ; aún se requiere que sean no degenerados. Cada variedad pseudo-riemanniana y riemanniana suave define un número de campos tensoriales asociados, como el tensor de curvatura de Riemann . Las variedades lorentzianas son variedades pseudo-riemannianas de firma ; el caso es fundamental en la relatividad general . No a todas las variedades suaves se les puede dar una estructura pseudo-riemanniana no riemanniana; existen restricciones topológicas para hacerlo.
Una variedad de Finsler es una generalización diferente de una variedad de Riemann, en la que el producto interno se reemplaza con una norma vectorial ; como tal, esto permite la definición de longitud, pero no de ángulo.
Una variedad simpléctica es una variedad equipada con una 2-forma cerrada y no degenerada . Esta condición obliga a las variedades simplécticas a ser de dimensión par, debido al hecho de que todas las matrices antisimétricas tienen determinante cero. Hay dos ejemplos básicos:
Un grupo de Lie consiste en una variedad C ∞ junto con una estructura de grupo en tal que las funciones producto e inversión y son suaves como funciones de variedades. Estos objetos surgen a menudo de manera natural al describir simetrías (continuas) y forman una fuente importante de ejemplos de variedades suaves.
Sin embargo, a muchos ejemplos de variedades suaves que de otro modo serían familiares no se les puede dar una estructura de grupo de Lie, ya que dado un grupo de Lie y cualquier , se podría considerar la función que envía el elemento identidad a y, por lo tanto, al considerar la diferencial se obtiene una identificación natural entre dos espacios tangentes cualesquiera de un grupo de Lie. En particular, al considerar un vector arbitrario distinto de cero en se pueden usar estas identificaciones para obtener un campo vectorial suave que no se anule en Esto muestra, por ejemplo, que ninguna esfera de dimensión par puede soportar una estructura de grupo de Lie. El mismo argumento muestra, de forma más general, que todo grupo de Lie debe ser paralelizable .
La noción de pseudogrupo [10] proporciona una generalización flexible de los atlas para permitir que se definan diversas estructuras diferentes en variedades de manera uniforme. Un pseudogrupo consiste en un espacio topológico S y una colección Γ que consiste en homeomorfismos de subconjuntos abiertos de S a otros subconjuntos abiertos de S tales que
Estas tres últimas condiciones son análogas a la definición de un grupo . Nótese que Γ no necesita ser un grupo, sin embargo, ya que las funciones no están definidas globalmente en S. Por ejemplo, la colección de todos los difeomorfismos locales C k en R n forman un pseudogrupo. Todos los biholomorfismos entre conjuntos abiertos en C n forman un pseudogrupo. Más ejemplos incluyen: mapas de preservación de orientación de R n , simplectomorfismos , transformaciones de Möbius , transformaciones afines , etc. Por lo tanto, una amplia variedad de clases de funciones determinan pseudogrupos.
Se dice que un atlas ( U i , φ i ) de homeomorfismos φ i desde U i ⊂ M a subconjuntos abiertos de un espacio topológico S es compatible con un pseudogrupo Γ siempre que las funciones de transición φ j ∘ φ i −1 : φ i ( U i ∩ U j ) → φ j ( U i ∩ U j ) estén todas en Γ.
Una variedad diferenciable es entonces un atlas compatible con el pseudogrupo de funciones C k en R n . Una variedad compleja es un atlas compatible con las funciones biholomórficas en conjuntos abiertos en C n . Y así sucesivamente. Por lo tanto, los pseudogrupos proporcionan un marco único en el que describir muchas estructuras en variedades de importancia para la geometría diferencial y la topología.
A veces, puede ser útil utilizar un enfoque alternativo para dotar a una variedad de una estructura C k . Aquí k = 1, 2, ..., ∞ o ω para variedades analíticas reales. En lugar de considerar gráficos de coordenadas, es posible comenzar con funciones definidas en la propia variedad. El haz de estructura de M , denotado C k , es una especie de funtor que define, para cada conjunto abierto U ⊂ M , un álgebra C k ( U ) de funciones continuas U → R . Se dice que un haz de estructura C k da a M la estructura de una variedad C k de dimensión n siempre que, para cualquier p ∈ M , exista un entorno U de p y n funciones x 1 , ..., x n ∈ C k ( U ) tales que la función f = ( x 1 , ..., x n ) : U → R n sea un homeomorfismo sobre un conjunto abierto en R n , y tal que C k | U sea el pullback del haz de k -veces funciones continuamente diferenciables sobre R n . [11]
En particular, esta última condición significa que cualquier función h en C k ( V ), para V , puede escribirse unívocamente como h ( x ) = H ( x 1 ( x ), ..., x n ( x )) , donde H es una función k -veces diferenciable en f ( V ) (un conjunto abierto en R n ). Por lo tanto, el punto de vista de la teoría de haces es que las funciones en una variedad diferenciable pueden expresarse en coordenadas locales como funciones diferenciables en R n , y a fortiori esto es suficiente para caracterizar la estructura diferencial en la variedad.
Se puede formular un enfoque similar, pero más técnico, para definir variedades diferenciables utilizando la noción de espacio anillado . Este enfoque está fuertemente influenciado por la teoría de esquemas en geometría algebraica , pero utiliza anillos locales de los gérmenes de funciones diferenciables. Es especialmente popular en el contexto de variedades complejas .
Comenzamos describiendo la estructura básica del haz en R n . Si U es un conjunto abierto en R n , sea
consisten en todas las funciones k -veces de valor real continuamente diferenciables en U . Cuando U varía, esto determina un haz de anillos en R n . El tallo O p para p ∈ R n consiste en gérmenes de funciones cerca de p , y es un álgebra sobre R . En particular, este es un anillo local cuyo ideal máximo único consiste en aquellas funciones que se anulan en p . El par ( R n , O ) es un ejemplo de un espacio anillado localmente : es un espacio topológico equipado con un haz cuyos tallos son cada uno anillos locales.
Una variedad diferenciable (de clase C k ) consiste en un par ( M , O M ) donde M es un segundo espacio de Hausdorff contable , y O M es un haz de R -álgebras locales definidas en M , de modo que el espacio anillado localmente ( M , O M ) es localmente isomorfo a ( R n , O ) . De esta manera, las variedades diferenciables pueden considerarse como esquemas modelados en R n . Esto significa que [12] para cada punto p ∈ M , existe una vecindad U de p , y un par de funciones ( f , f # ) , donde
Hay varias motivaciones importantes para estudiar variedades diferenciables dentro de este marco abstracto. Primero, no hay ninguna razón a priori para que el espacio modelo necesite ser R n . Por ejemplo, (en particular en geometría algebraica ), uno podría tomar esto como el espacio de números complejos C n equipado con el haz de funciones holomorfas (llegando así a los espacios de geometría analítica compleja ), o el haz de polinomios (llegando así a los espacios de interés en geometría algebraica compleja ). En términos más amplios, este concepto puede adaptarse para cualquier noción adecuada de un esquema (ver teoría de topos ). Segundo, las coordenadas ya no son explícitamente necesarias para la construcción. El análogo de un sistema de coordenadas es el par ( f , f # ) , pero estos simplemente cuantifican la idea de isomorfismo local en lugar de ser centrales para la discusión (como en el caso de gráficos y atlas). Tercero, el haz O M no es manifiestamente un haz de funciones en absoluto. Más bien, surge como un haz de funciones como consecuencia de la construcción (a través de los cocientes de anillos locales por sus ideales máximos). Por lo tanto, es una definición más primitiva de la estructura (véase geometría diferencial sintética ).
Una ventaja final de este enfoque es que permite descripciones directas naturales de muchos de los objetos fundamentales de estudio de la geometría diferencial y la topología.
La categoría de variedades suaves con funciones suaves carece de ciertas propiedades deseables, y se ha intentado generalizar las variedades suaves para corregir esto. Los espacios difeológicos utilizan una noción diferente de diagrama, conocida como "trama". Los espacios de Frölicher y los orbifolds son otros intentos.
Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva suave o rectificable por partes a dimensiones superiores; sin embargo, los conjuntos rectificables no son, en general, variedades.
Las variedades de Banach y las variedades de Fréchet , en particular las variedades de aplicaciones, son variedades diferenciables de dimensión infinita.
Para una variedad C k M , el conjunto de funciones C k de valor real en la variedad forma un álgebra bajo adición y multiplicación puntual, llamada álgebra de cuerpos escalares o simplemente álgebra de escalares . Esta álgebra tiene la función constante 1 como identidad multiplicativa y es un análogo diferenciable del anillo de funciones regulares en geometría algebraica.
Es posible reconstruir una variedad a partir de su álgebra de escalares, primero como un conjunto, pero también como un espacio topológico – esta es una aplicación del teorema de Banach-Stone , y se conoce más formalmente como el espectro de una C*-álgebra . Primero, hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de M y los homomorfismos del álgebra φ : C k ( M ) → R , como tal homomorfismo φ corresponde a un ideal de codimensión uno en C k ( M ) (es decir, el núcleo de φ ), que es necesariamente un ideal maximal. Por el contrario, cada ideal maximal en esta álgebra es un ideal de funciones que se desvanecen en un único punto, lo que demuestra que MSpec (la Max Spec) de C k ( M ) recupera M como un conjunto de puntos, aunque de hecho recupera M como un espacio topológico.
Se pueden definir diversas estructuras geométricas algebraicamente en términos del álgebra de escalares, y estas definiciones a menudo se generalizan a la geometría algebraica (interpretando anillos geométricamente) y a la teoría de operadores (interpretando espacios de Banach geométricamente). Por ejemplo, el fibrado tangente a M se puede definir como las derivaciones del álgebra de funciones suaves en M .
Esta "algebrización" de una variedad (reemplazar un objeto geométrico por un álgebra) conduce a la noción de C*-álgebra –una C*-álgebra conmutativa que es precisamente el anillo de escalares de una variedad, según Banach-Stone– y permite considerar las C*-álgebras no conmutativas como generalizaciones no conmutativas de variedades. Esta es la base del campo de la geometría no conmutativa .
![{\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a85bba0a0a65aec00893b1af31acff9b2b32e)
