5-múltiple

Colector de dimensión cinco

En matemáticas , una 5-variedad es una variedad topológica de 5 dimensiones , posiblemente con una estructura lineal por partes o suave .

Las 5-variedades no simplemente conexas son imposibles de clasificar, ya que esto es más difícil que resolver el problema verbal para grupos . ^{[1] Las 5-variedades} compactas simplemente conexas fueron clasificadas por primera vez por Stephen Smale ^[2] y luego en total generalidad por Dennis Barden , ^[3] mientras que otra prueba fue dada posteriormente por Aleksey V. Zhubr. ^[4] Esto resulta ser más fácil que el caso tridimensional o tetradimensional: el caso tridimensional es la conjetura de geometrización de Thurston , y el caso tetradimensional fue resuelto por Michael Freedman (1982) en el caso topológico, ^[5] pero es un problema muy difícil sin resolver en el caso liso.

En dimensión 5, la clasificación suave de variedades simplemente conexas está gobernada por la topología algebraica clásica . Es decir, dos 5-variedades simplemente conexas y suaves son difeomorfas si y solo si existe un isomorfismo de sus segundos grupos de homología con coeficientes enteros, preservando la forma de enlace y la segunda clase de Stiefel–Whitney . Además, cualquier isomorfismo de este tipo en la segunda homología es inducido por algún difeomorfismo. Es indecidible si una 5-variedad dada es homeomorfa a , la 5-esfera. ^[1] ${\displaystyle S^{5}}$

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de 5-variedades suaves, cerradas y simplemente conexas:

• ${\displaystyle S^{5}}$, la 5-esfera.
• ${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$, el producto de una 2-esfera con una 3-esfera.
• ${\displaystyle S^{2}{\widetilde {\times }}S^{3}}$, el espacio total del fibrado no trivial sobre . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$, la variedad de Wu , el espacio homogéneo obtenido como cociente del grupo unitario especial SU(3) por el subgrupo de rotación SO(3) .

Referencias

1. Stillwell, John (1993), Topología clásica y teoría de grupos combinatorios, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 72, Springer, pág. 247, ISBN 9780387979700.
2. Smale, Stephen (1962). "Sobre la estructura de las 5-variedades". Anales de Matemáticas . 2. 75 : 38–46. doi :10.2307/1970417. MR  0141133.
3. Barden, Dennis (1965). "Variedades de cinco elementos conexas simples". Anales de matemáticas . 2.ª serie. 82 (3): 365–385. doi :10.2307/1970702. JSTOR  1970702. MR  0184241.
4. Zhubr, Aleksey Viktorovich (2004). "Sobre un artículo de Barden". Revista de Ciencias Matemáticas . 119 (1): 35–44. doi :10.1023/B:JOTH.0000008739.46142.89. MR  1846073.
5. Freedman, Michael Hartley (1982). "La topología de variedades de cuatro dimensiones". Revista de geometría diferencial . 17 (3): 357–453. ISSN  0022-040X. MR  0679066.

Enlaces externos

• "Variedades de 5: 1 conexas". Proyecto Atlas de Variedades.
• "Formulario de enlace". Proyecto Atlas de Manifold.