Partición de la unidad

Conjunto de funciones de un espacio topológico a [0,1] que suman 1 para cualquier entrada

En matemáticas , una partición de la unidad de un espacio topológico es un ${\displaystyle X}$ conjunto de funciones continuas desde ${\displaystyle R}$ hasta el intervalo unitario [ 0,1] tales que para cada punto : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

• hay un entorno de ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ donde todas las funciones de ⁠ ⁠ excepto un número finito son 0, y ${\displaystyle R}$
• la suma de todos los valores de la función en ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ es 1, es decir, ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

Partición de la unidad de un círculo con cuatro funciones. El círculo se desenrolla hasta formar un segmento de línea (la línea continua inferior) para fines de representación gráfica. La línea discontinua en la parte superior es la suma de las funciones en la partición.

Las particiones de unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. También son importantes en la interpolación de datos, en el procesamiento de señales y en la teoría de funciones spline .

Existencia

La existencia de particiones de unidad asume dos formas distintas:

1. Dada cualquier cubierta abierta de un espacio, existe una partición indexada sobre el mismo conjunto ⁠ ⁠ tal que supp Se dice que dicha partición está subordinada a la cubierta abierta. ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. Si el espacio es localmente compacto, dada cualquier cubierta abierta de un espacio, existe una partición indexada sobre un conjunto de índices posiblemente distinto ⁠ ⁠ tal que cada ⁠ ⁠ tiene soporte compacto y para cada ⁠ ⁠ , soporte para algún ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

De esta manera, se puede optar por tener los soportes indexados por la tapa abierta o por tener soportes compactos. Si el espacio es compacto , existen particiones que satisfacen ambos requisitos.

Una cubierta abierta finita siempre tiene una partición continua de unidad subordinada a ella, siempre que el espacio sea localmente compacto y de Hausdorff. ^[1] La paracompacidad del espacio es una condición necesaria para garantizar la existencia de una partición de unidad subordinada a cualquier cubierta abierta . Dependiendo de la categoría a la que pertenezca el espacio, también puede ser una condición suficiente. ^[2] La construcción utiliza suavizadores (funciones de protuberancia), que existen en variedades continuas y suaves , pero no en variedades analíticas . Por lo tanto, para una cubierta abierta de una variedad analítica, generalmente no existe una partición analítica de unidad subordinada a esa cubierta abierta. Véase continuación analítica .

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle R}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle T}$ son particiones de la unidad para los espacios ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle Y}$ , respectivamente, entonces el conjunto de todos los pares es una partición de la unidad para el espacio de producto cartesiano ⁠ ⁠ . El producto tensorial de funciones actúa como ${\displaystyle \{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

Ejemplo

Podemos construir una partición de la unidad en observando un gráfico sobre el complemento de un punto que envía a con centro . Ahora, sea una función de protuberancia en definida por entonces, tanto esta función como pueden extenderse de forma única sobre estableciendo . Entonces, el conjunto forma una partición de la unidad sobre . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle p\in S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q\in S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 1-\Phi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi (p)=0}$ ${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Definiciones de variantes

A veces se utiliza una definición menos restrictiva: la suma de todos los valores de la función en un punto particular sólo se requiere que sea positiva, en lugar de 1, para cada punto en el espacio. Sin embargo, dado un conjunto de funciones de este tipo, se puede obtener una partición de la unidad en sentido estricto dividiendo por la suma; la partición se convierte en donde , que está bien definido ya que en cada punto sólo un número finito de términos son distintos de cero. Más aún, algunos autores eliminan el requisito de que los soportes sean localmente finitos, requiriendo sólo eso para todos los . ^[3] ${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ${\displaystyle x}$

En el campo de las álgebras de operadores , una partición de la unidad se compone de proyecciones ^[4] . En el caso de las -álgebras , se puede demostrar que las entradas son ortogonales entre pares : ^{[5] Nótese que} no es el caso de que en una *-álgebra general las entradas de una partición de la unidad sean ortogonales entre pares. ^[6] ${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ $${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$

Si es un elemento normal de un álgebra unitaria, y tiene espectro finito , entonces las proyecciones en la descomposición espectral : forman una partición de la unidad. ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$ $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$

En el campo de los grupos cuánticos compactos , las filas y columnas de la representación fundamental de un grupo de permutación cuántica forman particiones de la unidad. ^[8] ${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$ ${\displaystyle (C,u)}$

Aplicaciones

Una partición de la unidad se puede utilizar para definir la integral (con respecto a una forma de volumen ) de una función definida sobre una variedad: primero se define la integral de una función cuyo soporte está contenido en un único parche de coordenadas de la variedad; luego se utiliza una partición de la unidad para definir la integral de una función arbitraria; finalmente, se muestra que la definición es independiente de la partición de la unidad elegida.

Se puede utilizar una partición de la unidad para demostrar la existencia de una métrica de Riemann en una variedad arbitraria.

El método de descenso más pronunciado emplea una partición de la unidad para construir asintóticas de integrales.

El filtro Linkwitz-Riley es un ejemplo de implementación práctica de la partición de la unidad para separar la señal de entrada en dos señales de salida que contienen solo componentes de alta o baja frecuencia.

Los polinomios de Bernstein de grado fijo m son una familia de m +1 polinomios de una sola variable linealmente independientes que son una partición de la unidad para el intervalo unitario . ${\displaystyle [0,1]}$

La ecuación Nullstellensatz débil de Hilbert afirma que si son polinomios sin puntos de fuga comunes en , entonces hay polinomios con . Es decir, forman una partición polinómica de unidad subordinada a la cubierta abierta de Zariski . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$ ${\displaystyle a_{1}f_{1}+\cdots +a_{r}f_{r}=1}$ ${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=\{x\in \mathbb {C} ^{n}\mid f_{i}(x)\neq 0\}}$

Las particiones de unidad se utilizan para establecer aproximaciones suaves globales para funciones de Sobolev en dominios acotados. ^[9]

Véase también

• Suavidad § Particiones suaves de la unidad
• Axioma de pegado
• Gavilla fina

Referencias

1. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
2. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007). Análisis de dimensión infinita: una guía para el autoestopista (3.ª ed.). Berlín: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
3. Strichartz, Robert S. (2003). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier. Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9.OCLC 54446554  .
4. Conway, John B. Un curso de análisis funcional (2.ª ed.). Springer. pág. 54. ISBN 0-387-97245-5.
5. Freslon, Amaury (2023). Grupos cuánticos de matrices compactas y su combinatoria . Cambridge University Press.
6. Fritz, Tobias. "Ortogonalidad por pares para particiones de unidad en una *-álgebra". Mathoverflow . Consultado el 7 de febrero de 2024 .
7. Murphy, Gerard J. (1990). C*-Álgebras y teoría de operadores . Academic Press. pág. 66. ISBN 0-12-511360-9.
8. Banica, Teo (2023). Introducción a los grupos cuánticos . Springer. ISBN 978-3-031-23816-1.
9. Evans, Lawrence (2 de marzo de 2010), "Espacios de Sobolev", Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 19, American Mathematical Society, págs. 253–309, doi :10.1090/gsm/019/05, ISBN 9780821849743

• Tu, Loring W. (2011), Introducción a las variedades , Universitext (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, ver capítulo 13

Enlaces externos

• Información general sobre la partición de la unidad en [Mathworld]