Homomorfismo de grupo en el grupo lineal general sobre un espacio vectorial
Una representación de un grupo "actúa" sobre un objeto. Un ejemplo sencillo es cómo las simetrías de un polígono regular , formadas por reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.
El término representación de un grupo también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismo de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal . Algunas personas utilizan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; consulte la última sección para generalizaciones.
Ramas de la teoría de la representación de grupos.
La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo representado. Las distintas teorías son bastante diferentes en detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:
Grupos compactos o grupos localmente compactos : muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se prueban promediando el grupo. Estas pruebas se pueden trasladar a infinitos grupos reemplazando el promedio con una integral, siempre que se pueda definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida de Haar . La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La dualidad de Pontryagin describe la teoría de grupos conmutativos, como una transformada de Fourier generalizada . Véase también: teorema de Peter-Weyl .
Grupos de Lie : muchos grupos de Lie importantes son compactos, por lo que se les aplican los resultados de la teoría de la representación compacta. También se utilizan otras técnicas específicas de los grupos de Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representación es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. Véase Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras de Lie .
Grupos algebraicos lineales (o, más generalmente, esquemas de grupos afines ): estos son análogos de los grupos de Lie, pero en campos más generales que solo R o C. Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie y dan lugar a las mismas familias de álgebras de Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos comprendidas). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar grupos de Lie deben ser reemplazadas por técnicas de geometría algebraica , donde la topología relativamente débilcausa muchas complicaciones técnicas.
Grupos topológicos no compactos : la clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir una teoría de representación general, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tienen una teoría profunda que se basa en el caso compacto. Los grupos de Lie complementarios solubles no se pueden clasificar de la misma manera. La teoría general para grupos de Lie trata de productos semidirectos de los dos tipos, mediante resultados generales llamados teoría de Mackey , que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner .
La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, las estructuras adicionales son importantes (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.).
También hay que considerar el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos . Los otros casos importantes son el campo de números reales , campos finitos y campos de números p-ádicos . En general, los campos algebraicamente cerrados son más fáciles de manejar que los no algebraicamente cerrados. La característica del campo también es significativa; Muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo que no divide el orden del grupo .
Aquí a V se le llama espacio de representación y a la dimensión de V se le llama dimensión o grado de la representación. Es una práctica común referirse a V en sí como la representación cuando el homomorfismo queda claro en el contexto.
En el caso de que V sea de dimensión finita n, es común elegir una base para V e identificar GL( V ) con GL( n , K ) , el grupo de matrices invertibles en el campo K .
Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico , una representación continua de G en V es una representación ρ tal que la aplicación Φ: G × V → V definida por Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) es continua .
El núcleo de una representación ρ de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo ρ es la transformación de identidad:
Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL( V ) es inyectivo ; en otras palabras, uno cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consta únicamente del elemento de identidad del grupo.
Dados dos K espacios vectoriales V y W , se dice que dos representaciones ρ : G → GL( V ) y π : G → GL( W ) son equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo en el espacio vectorial α : V → W de modo que para todo g en G ,
Ejemplos
Considere el número complejo u = e 2πi / 3 que tiene la propiedad u 3 = 1. El conjunto C 3 = {1, u , u 2 } forma un grupo cíclico bajo multiplicación. Este grupo tiene una representación ρ dada por:
Otra representación de C 3 en , isomorfa a la anterior, es σ dada por:
El grupo C 3 también puede estar fielmente representado por τ dado por:
dónde
Otro ejemplo:
Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre números complejos en variables
Luego actúa por permutación de las tres variables.
Por ejemplo, envía a .
Reducibilidad
Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación . Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible ; si tiene una subrepresentación adecuada de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible . La representación de la dimensión cero no se considera ni reducible ni irreducible, [1] así como el número 1 no se considera ni compuesto ni primo .
Bajo el supuesto de que la característica del campo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos pueden descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (ver teorema de Maschke ). Esto vale en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos , ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.
En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) se pueden descomponer en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.
Generalizaciones
Representaciones teóricas de conjuntos
Una representación teórica de conjuntos (también conocida como acción de grupo o representación de permutación ) de un grupo G en un conjunto X está dada por una función ρ : G → X X , el conjunto de funciones de X a X , tal que para todo g 1 , g 2 en G y todo x en X :
donde está el elemento identidad de G . Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ( g ) es una biyección (o permutación ) para todo g en G. Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S X de X .
Para obtener más información sobre este tema consulte el artículo sobre acción grupal .
Representaciones en otras categorías
Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto; Los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un funtor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut( X ), el grupo de automorfismo de X .
En el caso de que C sea Vect K , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K , esta definición equivale a una representación lineal. Asimismo, una representación teórica de conjuntos es solo una representación de G en la categoría de conjuntos .
Yuri I. Lyubich. Introducción a la Teoría de las Representaciones de Grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Járkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.