Álgebra exterior

Algebra of exterior/ wedge products

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (por ejemplo, n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definidas por la de su límite ( n -1) -dimensional y en qué lado se encuentra el interior. ^{[1] [2]}

En matemáticas, el álgebra exterior o álgebra de Grassmann de un espacio vectorial es un álgebra asociativa que contiene que tiene un producto, llamado producto exterior o producto cuña y denotado con , tal que para cada vector en El álgebra exterior lleva el nombre de Hermann Grassmann , ^[3] y los nombres del producto provienen del símbolo "cuña" y del hecho de que el producto de dos elementos de es "exterior" ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

El producto de cuña de vectores se llama cuchilla de grado o cuchilla - . El producto de cuña se introdujo originalmente como una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas , volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores: La magnitud de una cuchilla 2 es el área del paralelogramo definido por y y, de manera más general, la magnitud de una cuchilla - es el (hiper)volumen del paralelotopo definido por los vectores constituyentes. La propiedad alternante que implica una propiedad antisimétrica que y de manera más general, cualquier cuchilla cambia de signo siempre que se intercambian dos de sus vectores constituyentes, lo que corresponde a un paralelotopo de orientación opuesta. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v,}$

El álgebra exterior completa contiene objetos que no son en sí mismos hojas, sino combinaciones lineales de hojas; una suma de hojas de grado homogéneo se llama k - vector , mientras que una suma más general de hojas de grado arbitrario se llama multivector . ^[4] El espacio lineal de las -hojas se llama -ésima potencia exterior de El álgebra exterior es la suma directa de las -ésimas potencias exteriores de y esto hace que el álgebra exterior sea un álgebra graduada . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V,}$

El álgebra exterior es universal en el sentido de que toda ecuación que relaciona elementos de en el álgebra exterior también es válida en toda álgebra asociativa que contiene y en la que el cuadrado de cada elemento de es cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

La definición del álgebra exterior puede extenderse para espacios construidos a partir de espacios vectoriales, como cuerpos vectoriales y funciones cuyo dominio es un espacio vectorial. Además, el cuerpo de escalares puede ser cualquier cuerpo (sin embargo, para cuerpos de característica dos, la condición anterior debe reemplazarse por que sea equivalente en otras características). De manera más general, el álgebra exterior puede definirse para módulos sobre un anillo conmutativo . En particular, el álgebra de formas diferenciales en variables es un álgebra exterior sobre el anillo de las funciones suaves en variables. ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle v\wedge w+w\wedge v=0,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Ejemplos motivadores

Áreas en el plano

El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices.

El espacio vectorial euclidiano bidimensional es un espacio vectorial real dotado de una base formada por un par de vectores unitarios ortogonales. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Supongamos que

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}}$

son un par de vectores dados en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ , escritos en componentes. Existe un paralelogramo único que tiene y como dos de sus lados. El área de este paralelogramo está dada por la fórmula del determinante estándar: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Consideremos ahora el producto exterior de y ⁠ ⁠ : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

donde el primer paso utiliza la ley distributiva para el producto exterior, y el último utiliza el hecho de que el producto exterior es una función alternada , y en particular (El hecho de que el producto exterior sea una función alternada también obliga a ) Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz [ v w ] . El hecho de que esto pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden estar orientados en sentido antihorario o horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama área con signo del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria, y el signo determina su orientación. ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$

El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es casual. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debería estar relacionado con el área con signo si uno intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si A( v , w ) denota el área con signo del paralelogramo del cual el par de vectores v y w forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) para cualquier número real r y s , ya que al reescalar cualquiera de los lados se reescala el área en la misma cantidad (y al invertir la dirección de uno de los lados se invierte la orientación del paralelogramo).
2. A( v , v ) = 0 , ya que el área del paralelogramo degenerado determinado por v (es decir, un segmento de línea ) es cero.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) , ya que intercambiar los roles de v y w invierte la orientación del paralelogramo.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) para cualquier número real r , ya que sumar un múltiplo de w a v no afecta ni a la base ni a la altura del paralelogramo y en consecuencia preserva su área.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 , ya que el área del cuadrado unitario es uno.

El producto vectorial ( vector azul ) en relación con el producto exterior ( paralelogramo azul claro ). La longitud del producto vectorial es a la longitud del vector unitario paralelo ( rojo ) como el tamaño del producto exterior es al tamaño del paralelogramo de referencia ( rojo claro ).

Con excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir que el área de un paralelogramo se compare con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el de lados e ₁ y e ₂ ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación del área independiente de la base . ^[5]

Productos cruzados y triples

Descomposición de base de un vector de 2

Para los vectores en R ³ , el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto vectorial y el producto triple . Utilizando la base estándar { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , el producto exterior de un par de vectores

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

y

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

donde { e ₁ ∧ e ₂ , e ₃ ∧ e _​​1 , e ₂ ∧ e ₃ } es la base del espacio tridimensional ⋀ ² ( R ³ ). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones, con la única diferencia de que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un bivector .

Incorporando un tercer vector

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

El producto exterior de tres vectores es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

donde e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ es el vector base del espacio unidimensional ⋀ ³ ( R ³ ). El coeficiente escalar es el triple producto de los tres vectores.

El producto vectorial y el producto triple en tres dimensiones admiten interpretaciones tanto geométricas como algebraicas. El producto vectorial u × v puede interpretarse como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinado por los dos vectores. También puede interpretarse como el vector que consiste en los menores de la matriz con columnas u y v . El producto triple de u , v y w es geométricamente un volumen (con signo). Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u , v y w . El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares. De hecho, en presencia de una base ortonormal orientada positivamente , el producto exterior generaliza estas nociones a dimensiones superiores.

Definición formal

El álgebra exterior de un espacio vectorial sobre un cuerpo se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma tales que . ^[6] Simbólicamente, ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle x\in V}$

${\displaystyle \bigwedge (V):=T(V)/I.\,}$

El producto exterior de dos elementos de se define por ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.}$

Propiedades algebraicas

Producto alterno

El producto exterior es por construcción alternante en elementos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , lo que significa que para todo por la construcción anterior. Se deduce que el producto también es anticonmutativo en elementos de ⁠ ⁠ , pues suponiendo que ⁠ ⁠ , ${\displaystyle x\wedge x=0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

por eso

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

De manera más general, si es una permutación de los números enteros ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., ⁠ ⁠ son elementos de ⁠ ⁠ , se deduce que ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [1,\dots ,k]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

donde es la firma de la permutación ⁠ ⁠ . ^[7] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

En particular, si para algún ⁠ ⁠ , entonces también se cumple la siguiente generalización de la propiedad alternada: ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Junto con la propiedad distributiva del producto exterior, una generalización adicional es que una condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente es que ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Energía exterior

La k -ésima potencia exterior de ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , denotada ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , es el subespacio vectorial de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ generado por elementos de la forma

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , entonces se dice que es un k -vector . Si, además, se puede expresar como un producto exterior de elementos de ⁠ ⁠ , entonces se dice que es descomponible (o  simple , por algunos autores; o una  cuchilla , por otros). Aunque los ⁠ ⁠ -vectores descomponibles abarcan ⁠ ⁠ , no todos los elementos de son descomponibles. Por ejemplo, dado ⁠ ⁠ con una base ⁠ ⁠ , el siguiente 2-vector no es descomponible: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

Base y dimensión

Si la dimensión de es y es una base para , entonces el conjunto ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

es una base para ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ . La razón es la siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

cada vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores base ⁠ ⁠ ; utilizando la bilinealidad del producto exterior, esto puede expandirse a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores base. Cualquier producto exterior en el que el mismo vector base aparece más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparecen en el orden adecuado puede reordenarse, cambiando el signo siempre que dos vectores base cambien de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los k -vectores base pueden calcularse como los menores de la matriz que describe los vectores en términos de la base ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Contando los elementos base, la dimensión de es igual a un coeficiente binomial : ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)={\binom {n}{k}},}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ es la dimensión de los vectores , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso para casos excepcionales; en particular, para ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=\{0\}}$ ${\displaystyle k>n}$

Cualquier elemento del álgebra exterior puede escribirse como una suma de k -vectores . Por lo tanto, como espacio vectorial, el álgebra exterior es una suma directa.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

(donde, por convención, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ , el campo subyacente ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V}$ ), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2^{n}}$ .

Rango de una-vector

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , entonces es posible expresar como una combinación lineal de k -vectores descomponibles : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

donde cada uno es descomponible, digamos ${\displaystyle \alpha ^{(i)}}$

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

El rango del k -vector es el número mínimo de k -vectores descomponibles en dicha expansión de ⁠ ⁠ . Esto es similar a la noción de rango tensorial . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

El rango es particularmente importante en el estudio de 2-vectores (Sternberg 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991). El rango de un 2-vector puede identificarse con la mitad del rango de la matriz de coeficientes de en una base. Por lo tanto, si es una base para ⁠ ⁠ , entonces puede expresarse de forma única como ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

donde (la matriz de coeficientes es antisimétrica ). Por lo tanto, el rango de la matriz es par y es el doble del rango de la forma . ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

En la característica 0, el 2-vector tiene rango si y sólo si ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$y ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Estructura graduada

El producto exterior de un vector k con un vector p es un vector , lo que nuevamente invoca la bilinealidad. En consecuencia, la descomposición de suma directa de la sección anterior ${\displaystyle (k+p)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada , es decir

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).}$

Además, si K es el campo base, tenemos

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$y ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

El producto exterior es anticonmutativo graduado, lo que significa que si y ⁠ ⁠ , entonces ${\displaystyle \alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle \beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)}$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, Bourbaki (1989) estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como aquellas en el álgebra exterior de un módulo graduado (un módulo que ya tiene su propia gradación).

Propiedad universal

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K . De manera informal, la multiplicación en se realiza manipulando símbolos e imponiendo una ley distributiva , una ley asociativa y usando la identidad para v ∈ V . Formalmente, es el álgebra "más general" en la que se cumplen estas reglas para la multiplicación, en el sentido de que cualquier K -álgebra asociativa unital que contenga V con multiplicación alternada en V debe contener una imagen homomórfica de ⁠ ⁠ . En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal : ^[8] ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle v\wedge v=0}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Dada cualquier K -álgebra asociativa unitaria A y cualquier K - mapa lineal tal que para cada v en V , entonces existe precisamente un homomorfismo de álgebra unitaria tal que j ( v ) = f ( i ( v )) para todo v en V (aquí i es la inclusión natural de V en ⁠ ⁠ , ver arriba). ${\displaystyle j:V\to A}$ ${\displaystyle j(v)j(v)=0}$ ${\displaystyle f:{\textstyle \bigwedge }(V)\to A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Propiedad universal del álgebra exterior

Para construir el álgebra más general que contiene a V y cuya multiplicación es alternada en V , es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene a V , el álgebra tensorial T ( V ) , y luego hacer cumplir la propiedad alternada tomando un cociente adecuado. Por lo tanto, tomamos el ideal bilateral I en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma v ⊗ v para v en V , y definimos como el cociente ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)\,/\,I}$

(y use ∧ como símbolo de multiplicación en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ). Entonces es sencillo demostrar que contiene V y satisface la propiedad universal anterior. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial V su álgebra exterior es un funtor de la categoría de espacios vectoriales a la categoría de álgebras. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

En lugar de definir primero y luego identificar las potencias externas como ciertos subespacios, se pueden definir alternativamente los espacios primero y luego combinarlos para formar el álgebra . Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

Generalizaciones

Dado un anillo conmutativo y un módulo - ⁠ ⁠ , podemos definir el álgebra exterior tal como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial ⁠ ⁠ . Satisfará la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de también requieren que sea un módulo proyectivo . Cuando se utiliza dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que sea finitamente generada y proyectiva. Se pueden encontrar generalizaciones para las situaciones más comunes en Bourbaki (1989). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Las álgebras exteriores de fibrados vectoriales se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de fibrados vectoriales de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos finitamente generados, según el teorema de Serre-Swan . Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.

Álgebra tensorial alternada

Para un cuerpo de característica distinta de 2, ^[9] el álgebra exterior de un espacio vectorial sobre puede identificarse canónicamente con el subespacio vectorial de que consiste en tensores antisimétricos . Para característica 0 (o mayor que ⁠ ⁠ ), el espacio vectorial de tensores antisimétricos -lineales es transversal al ideal ⁠ ⁠ , por lo tanto, una buena opción para representar el cociente. Pero para característica distinta de cero, el espacio vectorial de tensores antisimétricos ⁠ ⁠ -lineales podría no ser transversal al ideal (en realidad, para ⁠ ⁠ , el espacio vectorial de tensores antisimétricos -lineales está contenido en ); Sin embargo, transversal o no, se puede definir un producto en este espacio de modo que el álgebra resultante sea isomorfa al álgebra exterior: en el primer caso la elección natural para el producto es simplemente el producto cociente (usando la proyección disponible), en el segundo caso, este producto debe modificarse ligeramente como se indica a continuación (según la configuración de Arnold), pero de modo que el álgebra permanezca isomorfa con el álgebra exterior, es decir, el cociente de por el ideal generado por elementos de la forma ⁠ ⁠ . Por supuesto, para la característica ⁠ ⁠ (o mayor que la dimensión del espacio vectorial), se podría usar una u otra definición del producto, ya que las dos álgebras son isomorfas (ver VI Arnold o Kobayashi-Nomizu). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \dim V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k\geq \operatorname {char} K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\otimes x}$ ${\displaystyle 0}$

Sea el espacio de tensores homogéneos de grado . Éste está abarcado por tensores descomponibles ${\displaystyle \mathrm {T} ^{r}(V)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

La antisimetrización (o a veces la simetrización sesgada ) de un tensor descomponible se define por

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

y, cuando (para un campo característico distinto de cero podría ser 0): ${\displaystyle r!\neq 0}$ ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})}$

donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de permutaciones en los símbolos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{1,\dots ,r\}}$ . Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por y , en el álgebra tensorial completa ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} \operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} =r!\operatorname {{\mathcal {A}}^{(r)}} .}$

De modo que, cuando se define, es la proyección para el álgebra exterior (cociente) sobre el subespacio tensorial alterno homogéneo r. Por otra parte, la imagen es siempre el subespacio tensorial alterno graduado (aún no un álgebra, ya que el producto aún no está definido), denotado ⁠ ⁠ . Este es un subespacio vectorial de ⁠ ⁠ , y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado de aquel en ⁠ ⁠ . Además, el núcleo de es precisamente ⁠ ⁠ , el subconjunto homogéneo del ideal ⁠ ⁠ , o el núcleo de es ⁠ ⁠ . Cuando se define, lleva un producto graduado asociativo definido por (el mismo que el producto de cuña) ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{(r)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathrm {T} (V))}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(r)}}$ ${\displaystyle I^{(r)}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t\wedge s=t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Suponiendo que tiene característica 0, ya que es un suplemento de en ⁠ ⁠ , con el producto dado anteriormente, existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {T} (V)}$

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Cuando la característica del campo no es cero, se hará lo mismo que antes, pero el producto no se puede definir como se indica más arriba. En tal caso, el isomorfismo sigue siendo válido, a pesar de no ser un complemento del ideal , pero entonces, el producto se debe modificar como se indica a continuación ( producto, configuración de Arnold). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\rm {Alt}}}$ ${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle A(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {\wedge }}}$

Finalmente, siempre obtenemos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(V)}$ isomorfo con ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , pero el producto podría (o debería) elegirse de dos maneras (o solo una). En realidad, el producto podría elegirse de muchas maneras, reescalándolo en espacios homogéneos como para una secuencia arbitraria en el cuerpo, siempre que la división tenga sentido (esto es tal que el producto redefinido también es asociativo, es decir, define un álgebra en ⁠ ⁠ ). También tenga en cuenta que la definición del producto interior debe cambiarse en consecuencia, para mantener su propiedad de derivación sesgada. ${\displaystyle c(r+p)/c(r)c(p)}$ ${\displaystyle c(r)}$ ${\displaystyle A(V)}$

Notación de índice

Supóngase que V tiene dimensión finita n , y que se da una base e ₁ , ..., e _n de V. Entonces cualquier tensor alterno t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) se puede escribir en notación de índice con la convención de suma de Einstein como

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

donde t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} es completamente antisimétrico en sus índices.

El producto exterior de dos tensores alternos t y s de rangos r y p está dado por

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Los componentes de este tensor son precisamente la parte sesgada de los componentes del producto tensorial s ⊗ t , denotados por corchetes en los índices:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

El producto interior también puede describirse en notación de índice de la siguiente manera. Sea un tensor antisimétrico de rango ⁠ ⁠ . Entonces, para α ∈ V ^∗ , ⁠ ⁠ es un tensor alterno de rango ⁠ ⁠ , dado por ${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$ ${\displaystyle r-1}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

donde n es la dimensión de V .

Dualidad

Operadores alternantes

Dados dos espacios vectoriales V y X y un número natural k , un operador alterno de V ^k a X es una función multilineal

${\displaystyle f:V^{k}\to X}$

de manera que siempre que v ₁ , ..., v _k sean vectores linealmente dependientes en V , entonces

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

El mapa

${\displaystyle w:V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V),}$

que se asocia a vectores de su producto exterior, es decir, su -vector correspondiente, también es alternante. De hecho, esta función es el operador alternante "más general" definido en dado cualquier otro operador alternante existe una única función lineal con Esta propiedad universal caracteriza el espacio de operadores alternantes en y puede servir como su definición. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V^{k};}$ ${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X,}$ ${\displaystyle \phi :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow X}$ ${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ ${\displaystyle V^{k}}$

Formas multilineales alternas

Interpretación geométrica del producto exterior de n 1-formas ( ε , η , ω ) para obtener una n -forma ("malla" de superficies de coordenadas , aquí planos), ^[1] para n = 1, 2, 3 . Las "circulaciones" muestran la orientación . ^{[10] [11]}

La discusión anterior se especializa en el caso cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle X=K}$ , el campo base. En este caso, una función multilineal alternada

${\displaystyle f:V^{k}\to K}$

se llama forma multilineal alternada . El conjunto de todas las formas multilineales alternadas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de tales mapas, o el producto de tal mapa con un escalar, es nuevamente alternada. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternadas de grado en es naturalmente isomorfo con el espacio vectorial dual ⁠ ⁠ . Si es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo ^{[ aclaración necesaria ]} a ⁠ ⁠ . En particular, si es -dimensional, la dimensión del espacio de mapas alternados de a es el coeficiente binomial ⁠ ⁠ . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}\left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

En virtud de esta identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce una nueva función antisimétrica a partir de dos funciones dadas. Supóngase que ω  : V ^k → K y η  : V ^m → K son dos funciones antisimétricas. Como en el caso de los productos tensoriales de funciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma del número de sus variables. Dependiendo de la elección de la identificación de elementos de potencia exterior con formas multilineales, el producto exterior se define como

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

o como

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

donde, si la característica del campo base es 0, la alternancia Alt de un mapa multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por signo sobre todas las permutaciones de sus variables: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Cuando el campo tiene característica finita , una versión equivalente de la segunda expresión sin ningún factorial ni ninguna constante está bien definida: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

donde aquí Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} es el subconjunto de ( k , m ) baraja : permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., k + m } tales que σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k ) , y σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m ) . Como esto puede parecer muy específico y ajustado, una versión cruda equivalente es sumar en la fórmula anterior sobre permutaciones en clases laterales izquierdas de S _{k + m} / ( S _k × S _m ) .

Producto interior

Supongamos que es de dimensión finita. Si denota el espacio dual al espacio vectorial ⁠ ⁠ , entonces para cada ⁠ ⁠ , es posible definir una antiderivación en el álgebra ⁠ ⁠ , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

Esta derivación se llama producto interior con ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ , o a veces operador de inserción , o contracción por ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ .

Supóngase que ⁠ ⁠ ${\displaystyle w\in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ . Entonces es una aplicación multilineal de a ⁠ ⁠ , por lo que se define por sus valores en el producto cartesiano k -fold ⁠ ⁠ . Si u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1} son elementos de ⁠ ⁠ , entonces defina ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Además, sea siempre que sea un escalar puro (es decir, perteneciente a ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)}$

Caracterización axiomática y propiedades

El producto interior satisface las siguientes propiedades:

1. Para cada ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ y cada ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ (donde por convención ), ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(V)=\{0\}}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V).}$

2. Si es un elemento de ( ⁠ ⁠ ), entonces ⁠ ⁠ es el emparejamiento dual entre elementos de y elementos de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}$ ${\displaystyle \iota _{\alpha }v=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
3. Para cada ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ , es una derivación graduada de grado −1: ${\displaystyle \iota _{\alpha }}$

   ${\displaystyle \iota _{\alpha }(a\wedge b)=(\iota _{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (\iota _{\alpha }b).}$

Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interior así como definirlo en el caso general de dimensión infinita.

Otras propiedades del producto interior incluyen:

• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle \iota _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=-\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

Dualidad de Hodge

Supongamos que tiene dimensión finita ⁠ ⁠ . Entonces el producto interior induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V)}$

por la definición recursiva

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

En el contexto geométrico, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma de orientación , aunque este término a veces puede generar ambigüedad). El nombre forma de orientación proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina una orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida , el isomorfismo se da explícitamente por ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V):\alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial V está equipado con un producto interno que se identifica con ⁠ ⁠ , entonces el isomorfismo resultante se llama operador de estrella de Hodge , que asigna un elemento a su dual de Hodge : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}(V).}$

La composición de consigo misma se aplica a y es siempre un múltiplo escalar de la función identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma de volumen es compatible con el producto interno en el sentido de que es un producto externo de una base ortonormal de ⁠ ⁠ . En este caso, ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

donde id es la asignación de identidad y el producto interno tiene firma métrica ( p , q ) : p más y q menos.

Producto interior

Para un espacio de dimensión finita, un producto ${\displaystyle V}$interno (o un producto interno pseudoeuclidiano ) en ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ define un isomorfismo de con ⁠ ⁠ , y por lo tanto también un isomorfismo de con ⁠ ⁠ . El emparejamiento entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interno. En los ⁠ ⁠ -vectores descomponibles, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V{\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

el determinante de la matriz de productos internos. En el caso especial v _i = w _i , el producto interno es la norma cuadrada del k -vector, dada por el determinante de la matriz de Gram (⟨ v _i , v _j ⟩) . Esto se extiende luego bilinealmente (o sesquilinealmente en el caso complejo) a un producto interno no degenerado en Si e _i , i = 1, 2, ..., n , forman una base ortonormal de ⁠ ⁠ , entonces los vectores de la forma ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V).}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

constituyen una base ortonormal para ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , un enunciado equivalente a la fórmula de Cauchy–Binet .

Con respecto al producto interno, la multiplicación externa y el producto interno son mutuamente adjuntos. Específicamente, para ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(V)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle x\in V}$ ,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde x ^♭ ∈ V ^∗ es el isomorfismo musical , el funcional lineal definido por

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

para todos ⁠ ⁠ ${\displaystyle y\in V}$ . Esta propiedad caracteriza completamente el producto interno en el álgebra externa.

De hecho, de manera más general para ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {v} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k-l}(V)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {w} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$ , la iteración de las propiedades adjuntas anteriores da

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

¿Dónde está ahora el dual -vector definido por ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }\in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}\left(V^{*}\right)\simeq {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V){\bigr )}^{*}}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

para todos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\textstyle \bigwedge }^{\!l}(V)}$ .

Estructura de biálgebra

Existe una correspondencia entre el dual graduado del álgebra graduada y las formas multilineales alternas en ⁠ ⁠ . El álgebra exterior (así como el álgebra simétrica ) hereda una estructura de biálgebra y, de hecho, una estructura de álgebra de Hopf , del álgebra tensorial . Consulte el artículo sobre álgebras tensoriales para un tratamiento detallado del tema. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$

El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual de un coproducto definido en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , dando la estructura de una coalgebra . El coproducto es una función lineal ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ , que viene dada por

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

sobre elementos ⁠ ⁠ ${\displaystyle v\in V}$ . El símbolo representa el elemento unitario del campo ⁠ ⁠ . Recordemos que ⁠ ⁠ , de modo que lo anterior realmente se encuentra en ⁠ ⁠ . Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo mediante el homomorfismo (lineal). La forma correcta de este homomorfismo no es la que uno podría escribir ingenuamente, sino que tiene que ser la que se define cuidadosamente en el artículo sobre la coalgebra . En este caso, se obtiene ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\simeq {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\subseteq {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

donde la segunda suma se toma sobre todos los ( p , k − p ) -shuffles . Por convención, se toma que Sh( k, 0) y Sh(0, k ) es igual a {id: {1, ..., k } → {1, ..., k }}. También es conveniente tomar los productos de cuña puros y para que sean iguales a 1 para p = 0 y p = k , respectivamente (el producto vacío en ). El shuffle se sigue directamente del primer axioma de un co-álgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en el shuffle riffle: el shuffle riffle simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\wedge \dots \wedge v_{\sigma (k)}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle x_{k}}$

Obsérvese que el coproducto conserva la gradación del álgebra. Extendiendo al espacio completo se tiene ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(V),}$

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

El símbolo tensorial ⊗ usado en esta sección debe entenderse con cierta cautela: no es el mismo símbolo tensorial que el que se usa en la definición del producto alternado. Intuitivamente, es quizás más fácil pensarlo como otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi)lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto apropiado para la definición de una biálgebra, es decir, para crear el objeto ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(V)}$ . Cualquier duda persistente puede ser sacudida ponderando las igualdades (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) y ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , que se siguen de la definición de la coalgebra, en oposición a manipulaciones ingenuas que involucran los símbolos tensoriales y de cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre álgebras tensoriales . Aquí, hay mucho menos problema, ya que el producto alternado corresponde claramente a la multiplicación en el álgebra exterior, dejando el símbolo libre para su uso en la definición de la biálgebra. En la práctica, esto no presenta ningún problema particular, siempre que se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternadas de por el símbolo de cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alternado de ⁠ ⁠ , con el entendimiento de que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente debajo, se da un ejemplo: el producto alternado para el espacio dual se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la biálgebra aquí es casi exactamente paralela a la construcción en el artículo de álgebra tensorial , excepto por la necesidad de rastrear correctamente los signos alternados para el álgebra exterior. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$

En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es simplemente el dual graduado del coproducto:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

donde el producto tensorial en el lado derecho es de mapas lineales multilineales (extendido por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , donde es la counit, como se define actualmente). ${\displaystyle \varepsilon }$

El counit es el homomorfismo que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y el counit, junto con el producto exterior, definen la estructura de una biálgebra en el álgebra exterior. ${\displaystyle \varepsilon :{\textstyle \bigwedge }(V)\to K}$

Con un antípoda definido en elementos homogéneos por ⁠ ⁠ ${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$ , el álgebra exterior es además un álgebra de Hopf . ^[12]

Funcionalidad

Supóngase que y son un par de espacios vectoriales y es una función lineal . Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

de tal manera que

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{\!1}(W).}$

En particular, conserva el grado homogéneo. Los componentes k -graduados de se dan en elementos descomponibles por ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)}$ ${\textstyle \bigwedge \left(f\right)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Dejar

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W).}$

Los componentes de la transformación ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(f)}$ relativa a una base de y es la matriz de menores de ⁠ ⁠ . En particular, si y es de dimensión finita ⁠ ⁠ , entonces es una aplicación de un espacio vectorial unidimensional a sí mismo, y por lo tanto está dada por un escalar: el determinante de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(f)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$ ${\displaystyle f}$

Exactitud

Si es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, entonces ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados, ^[13] como es

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[14]

Sumas directas

En particular, el álgebra exterior de una suma directa es isomorfa al producto tensorial de las álgebras exteriores:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Este es un isomorfismo graduado, es decir,

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!q}(W).}$

En términos más generales, para una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales existe una filtración natural. ${\textstyle 0\to U\mathrel {\overset {f}{\to }} V\mathrel {\overset {g}{\to }} W\to 0,}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

donde for está abarcado por elementos de la forma for y Los cocientes correspondientes admiten un isomorfismo natural ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k+1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$ ${\displaystyle u_{i}\in U}$ ${\displaystyle v_{i}\in V.}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{\!k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(W)}$dado por ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p}).}$

En particular, si U es unidimensional entonces

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(W)\to 0}$

es exacta, y si W es unidimensional entonces

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k-1}(U)\otimes W\to 0}$

es exacto. ^[15]

Aplicaciones

Volumen orientado en el espacio afín

El contexto natural para el volumen -dimensional (orientado) y el álgebra exterior es el espacio afín . Esta es también la conexión íntima entre el álgebra exterior y las formas diferenciales , ya que para integrar necesitamos un objeto 'diferencial' para medir el volumen infinitesimal. Si es un espacio afín sobre el espacio vectorial ⁠ ⁠ , y una colección ( símplex ) de puntos ordenados , podemos definir su volumen -dimensional orientado como el producto exterior de vectores (usando la concatenación para significar el vector de desplazamiento del punto a ); si se cambia el orden de los puntos, el volumen orientado cambia en un signo, de acuerdo con la paridad de la permutación. En el espacio -dimensional , el volumen de cualquier símplex -dimensional es un múltiplo escalar de cualquier otro. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},...,A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{0}A_{1}\wedge A_{0}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{0}A_{k}={}}$ ${\displaystyle (-1)^{j}A_{j}A_{0}\wedge A_{j}A_{1}\wedge A_{j}A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{j}A_{k}}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La suma de las áreas orientadas -dimensionales de los símplex de contorno de un símplex ⁠ ⁠ -dimensional es cero, al igual que la suma de los vectores alrededor de un triángulo o los triángulos orientados que delimitan el tetraedro en la sección anterior. ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$

La estructura del espacio vectorial generaliza la adición de vectores en ⁠ ⁠ : tenemos y de manera similar, una k -cuchilla es lineal en cada factor. ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\wedge v=u_{1}\wedge v+u_{2}\wedge v}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k}}$

Álgebra lineal

En aplicaciones al álgebra lineal , el producto exterior proporciona una manera algebraica abstracta de describir el determinante y los menores de una matriz . Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paraleletopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para rastrear la orientación). Esto sugiere que el determinante puede definirse en términos del producto exterior de los vectores columna. Del mismo modo, los k × k menores de una matriz pueden definirse observando los productos exteriores de los vectores columna elegidos k a la vez. Estas ideas pueden extenderse no solo a las matrices sino también a las transformaciones lineales : el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual escala el volumen orientado de cualquier paraleletopo de referencia dado. Por lo tanto, el determinante de una transformación lineal puede definirse en términos de lo que la transformación hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre las potencias exteriores menores proporciona una manera independiente de la base para hablar sobre los menores de la transformación.

Física

En física, muchas magnitudes se representan de forma natural mediante operadores alternantes. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alternante sobre la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético.

Campo electromagnético

En las teorías de la relatividad de Einstein , el campo electromagnético se da generalmente como una forma diferencial 2 en un espacio 4 o como el campo tensorial alterno equivalente, el tensor electromagnético . Entonces o la identidad de Bianchi equivalente Nada de esto requiere una métrica. ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle F_{ij}=A_{[i,j]}=A_{[i;j]},}$ ${\displaystyle dF=ddA=0}$ ${\displaystyle F_{[ij,k]}=F_{[ij;k]}=0.}$

La adición de la métrica de Lorentz y una orientación proporciona el operador de estrella de Hodge y, por lo tanto, permite definir la divergencia tensorial equivalente donde ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle J={\star }d{\star }F}$ ${\displaystyle J^{i}=F_{,j}^{ij}=F_{;j}^{ij}}$ ${\displaystyle F^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}.}$

Geometría lineal

Los k -vectores descomponibles tienen interpretaciones geométricas: el bivector representa el plano abarcado por los vectores, "ponderado" con un número, dado por el área del paralelogramo orientado con lados y ⁠ ⁠ . Análogamente, el 3-vector representa el 3-espacio abarcado ponderado por el volumen del paralelepípedo orientado con aristas ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle u\wedge v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Geometría proyectiva

Los k -vectores descomponibles en corresponden a subespacios lineales k -dimensionales ponderados de ⁠ ⁠ . En particular, el Grassmanniano de subespacios k -dimensionales de ⁠ ⁠ , denotado ⁠ ⁠ , puede identificarse naturalmente con una subvariedad algebraica del espacio proyectivo . Esto se llama incrustación de Plücker , y la imagen de la incrustación puede caracterizarse por las relaciones de Plücker . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{k}(V)}$ ${\textstyle \mathbf {P} {\bigl (}{\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V){\bigr )}}$

Geometría diferencial

El álgebra exterior tiene aplicaciones notables en geometría diferencial , donde se utiliza para definir formas diferenciales . ^[16] Las formas diferenciales son objetos matemáticos que evalúan la longitud de vectores, áreas de paralelogramos y volúmenes de cuerpos de dimensiones superiores , por lo que pueden integrarse sobre curvas, superficies y variedades de dimensiones superiores de una manera que generaliza las integrales de línea y las integrales de superficie del cálculo. Una forma diferencial en un punto de una variedad diferenciable es una forma multilineal alternada en el espacio tangente en el punto. Equivalentemente, una forma diferencial de grado k es una funcional lineal en la k -ésima potencia exterior del espacio tangente. Como consecuencia, el producto exterior de las formas multilineales define un producto exterior natural para las formas diferenciales. Las formas diferenciales juegan un papel importante en diversas áreas de la geometría diferencial.

An alternate approach defines differential forms in terms of germs of functions.

In particular, the exterior derivative gives the exterior algebra of differential forms on a manifold the structure of a differential graded algebra. The exterior derivative commutes with pullback along smooth mappings between manifolds, and it is therefore a natural differential operator. The exterior algebra of differential forms, equipped with the exterior derivative, is a cochain complex whose cohomology is called the de Rham cohomology of the underlying manifold and plays a vital role in the algebraic topology of differentiable manifolds.

Representation theory

In representation theory, the exterior algebra is one of the two fundamental Schur functors on the category of vector spaces, the other being the symmetric algebra. Together, these constructions are used to generate the irreducible representations of the general linear group (see Fundamental representation).

Superspace

The exterior algebra over the complex numbers is the archetypal example of a superalgebra, which plays a fundamental role in physical theories pertaining to fermions and supersymmetry. A single element of the exterior algebra is called a supernumber^[17] or Grassmann number. The exterior algebra itself is then just a one-dimensional superspace: it is just the set of all of the points in the exterior algebra. The topology on this space is essentially the weak topology, the open sets being the cylinder sets. An n-dimensional superspace is just the ⁠ ${\displaystyle n}$⁠-fold product of exterior algebras.

Lie algebra homology

Let ${\displaystyle L}$ be a Lie algebra over a field ⁠ ${\displaystyle K}$⁠, then it is possible to define the structure of a chain complex on the exterior algebra of ⁠ ${\displaystyle L}$⁠. This is a ⁠ ${\displaystyle K}$⁠-linear mapping

${\displaystyle \partial :{\textstyle \bigwedge }^{\!p+1}(L)\to {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(L)}$

defined on decomposable elements by

${\displaystyle \partial (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p+1})={\frac {1}{p+1}}\sum _{j<\ell }(-1)^{j+\ell +1}[x_{j},x_{\ell }]\wedge x_{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{j}\wedge \cdots \wedge {\hat {x}}_{\ell }\wedge \cdots \wedge x_{p+1}.}$

The Jacobi identity holds if and only if ⁠ ${\displaystyle {1}}$⁠, and so this is a necessary and sufficient condition for an anticommutative nonassociative algebra ${\displaystyle L}$ to be a Lie algebra. Moreover, in that case ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }(L)}$ is a chain complex with boundary operator ⁠ ${\displaystyle \partial }$⁠. The homology associated to this complex is the Lie algebra homology.

Homological algebra

The exterior algebra is the main ingredient in the construction of the Koszul complex, a fundamental object in homological algebra.

History

The exterior algebra was first introduced by Hermann Grassmann in 1844 under the blanket term of Ausdehnungslehre, or Theory of Extension.^[18]This referred more generally to an algebraic (or axiomatic) theory of extended quantities and was one of the early precursors to the modern notion of a vector space. Saint-Venant also published similar ideas of exterior calculus for which he claimed priority over Grassmann.^[19]

The algebra itself was built from a set of rules, or axioms, capturing the formal aspects of Cayley and Sylvester's theory of multivectors. It was thus a calculus, much like the propositional calculus, except focused exclusively on the task of formal reasoning in geometrical terms.^[20]In particular, this new development allowed for an axiomatic characterization of dimension, a property that had previously only been examined from the coordinate point of view.

The import of this new theory of vectors and multivectors was lost to mid-19th-century mathematicians,^[21]until being thoroughly vetted by Giuseppe Peano in 1888. Peano's work also remained somewhat obscure until the turn of the century, when the subject was unified by members of the French geometry school (notably Henri Poincaré, Élie Cartan, and Gaston Darboux) who applied Grassmann's ideas to the calculus of differential forms.

A short while later, Alfred North Whitehead, borrowing from the ideas of Peano and Grassmann, introduced his universal algebra. This then paved the way for the 20th-century developments of abstract algebra by placing the axiomatic notion of an algebraic system on a firm logical footing.

See also

• Alternating algebra
• Exterior calculus identities
• Clifford algebra, a generalization of exterior algebra to a nonzero quadratic form
• Geometric algebra
• Koszul complex
• Multilinear algebra
• Symmetric algebra, the symmetric analog
• Tensor algebra
• Weyl algebra, a quantum deformation of the symmetric algebra by a symplectic form

Notes

1. Penrose, R. (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
2. Wheeler, Misner & Thorne 1973, p. 83
3. Grassmann (1844) introduced these as extended algebras (cf. Clifford 1878).
4. The term k-vector is not equivalent to and should not be confused with similar terms such as 4-vector, which in a different context could mean an element of a 4-dimensional vector space. A minority of authors use the term ${\displaystyle k}$-multivector instead of ${\displaystyle k}$-vector, which avoids this confusion.
5. This axiomatization of areas is due to Leopold Kronecker and Karl Weierstrass; see Bourbaki (1989b, Historical Note). For a modern treatment, see Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2). For an elementary treatment, see Strang (1993, Chapter 5).
6. This definition is a standard one. See, for instance, Mac Lane & Birkhoff (1999).
7. A proof of this can be found in more generality in Bourbaki (1989).
8. See Bourbaki (1989, §III.7.1), and Mac Lane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8). More detail on universal properties in general can be found in Mac Lane & Birkhoff (1999, Chapter VI), and throughout the works of Bourbaki.
9. See Bourbaki (1989, §III.7.5) for generalizations.
10. Note: The orientations shown here are not correct; the diagram simply gives a sense that an orientation is defined for every k-form.
11. Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 58–60, 83, 100–9, 115–9. ISBN 0-7167-0344-0.
12. Indeed, the exterior algebra of ⁠ ${\displaystyle V}$⁠ is the enveloping algebra of the abelian Lie superalgebra structure on ⁠ ${\displaystyle V}$⁠.
13. This part of the statement also holds in greater generality if ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ are modules over a commutative ring: That ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$ converts epimorphisms to epimorphisms. See Bourbaki (1989, Proposition 3, §III.7.2).
14. This statement generalizes only to the case where V and W are projective modules over a commutative ring. Otherwise, it is generally not the case that ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }}$ converts monomorphisms to monomorphisms. See Bourbaki (1989, Corollary to Proposition 12, §III.7.9).
15. Such a filtration also holds for vector bundles, and projective modules over a commutative ring. This is thus more general than the result quoted above for direct sums, since not every short exact sequence splits in other abelian categories.
16. James, A.T. (1983). "On the Wedge Product". In Karlin, Samuel; Amemiya, Takeshi; Goodman, Leo A. (eds.). Studies in Econometrics, Time Series, and Multivariate Statistics. Academic Press. pp. 455–464. ISBN 0-12-398750-4.
17. DeWitt, Bryce (1984). "Chapter 1". Supermanifolds. Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-42377-5.
18. Kannenberg (2000) published a translation of Grassmann's work in English; he translated Ausdehnungslehre as Extension Theory.
19. J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
20. Authors have in the past referred to this calculus variously as the calculus of extension (Whitehead 1898; Forder 1941), or extensive algebra (Clifford 1878), and recently as extended vector algebra (Browne 2007).
21. Bourbaki 1989, p. 661.

References

Mathematical references

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6

  Includes a treatment of alternating tensors and alternating forms, as well as a detailed discussion of Hodge duality from the perspective adopted in this article.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

  This is the main mathematical reference for the article. It introduces the exterior algebra of a module over a commutative ring (although this article specializes primarily to the case when the ring is a field), including a discussion of the universal property, functoriality, duality, and the bialgebra structure. See §III.7 and §III.11.

• Bryant, R.L.; Chern, S.S.; Gardner, R.B.; Goldschmidt, H.L.; Griffiths, P.A. (1991), Exterior differential systems, Springer-Verlag

  This book contains applications of exterior algebras to problems in partial differential equations. Rank and related concepts are developed in the early chapters.

• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2

  Chapter XVI sections 6–10 give a more elementary account of the exterior algebra, including duality, determinants and minors, and alternating forms.

• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice Hall

  Contains a classical treatment of the exterior algebra as alternating tensors, and applications to differential geometry.

Historical references

• Bourbaki (1989, Historical note on chapters II and III)
• Clifford, W. (1878), "Applications of Grassmann's Extensive Algebra", American Journal of Mathematics, 1 (4), The Johns Hopkins University Press: 350–358, doi:10.2307/2369379, JSTOR 2369379
• Forder, H.G. (1941), The Calculus of Extension, Internet Archive
• Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik (in German) (The Linear Extension Theory – A new Branch of Mathematics) alternative reference
• Kannenberg, Lloyd (2000), Extension Theory (translation of Grassmann's Ausdehnungslehre), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2031-1
• Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Kannenberg, Lloyd (1999), Geometric calculus: According to the Ausdehnungslehre of H. Grassmann, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4126-9.
• Whitehead, Alfred North (1898), "A Treatise on Universal Algebra, with Applications", Nature, 58 (1504), Cambridge: 385, Bibcode:1898Natur..58..385G, doi:10.1038/058385a0, S2CID 3985954

Other references and further reading

• Browne, J.M. (2007), Grassmann algebra – Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica, archived from the original on 2009-02-19, retrieved 2007-05-09

  An introduction to the exterior algebra, and geometric algebra, with a focus on applications. Also includes a history section and bibliography.

• Spivak, Michael (1965), Calculus on manifolds, Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6

  Includes applications of the exterior algebra to differential forms, specifically focused on integration and Stokes's theorem. The notation ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ in this text is used to mean the space of alternating k-forms on V; i.e., for Spivak ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V}$ is what this article would call ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V^{*}.}$ Spivak discusses this in Addendum 4.

• Strang, G. (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5

  Includes an elementary treatment of the axiomatization of determinants as signed areas, volumes, and higher-dimensional volumes.

• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Exterior algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Wendell, Fleming (2012) [1977], "7. Exterior algebra and differential calculus", Functions of Several Variables (2nd ed.), Springer, pp. 275–320, ISBN 978-1-4684-9461-7

  This textbook in multivariate calculus introduces the exterior algebra of differential forms adroitly into the calculus sequence for colleges.

• Shafarevich, I.R.; Remizov, A.O. (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

  Chapter 10: The Exterior Product and Exterior Algebras

• "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" An English translation of an early book on the geometric applications of exterior algebras
• "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra