En matemáticas , los números naturales son los números 0, 1, 2, 3, etc., posiblemente excluyendo el 0. [1] Algunos definen los números naturales como los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... , mientras que otros los definen como los números enteros positivos 1, 2, 3, .... [a] Algunos autores reconocen ambas definiciones siempre que sea conveniente. [2] Algunos textos definen los números enteros como los números naturales junto con el cero, excluyendo el cero de los números naturales, mientras que en otros escritos, los números enteros se refieren a todos los números enteros (incluidos los enteros negativos). [3] Los números de conteo se refieren a los números naturales en el lenguaje común, particularmente en la educación primaria, y son igualmente ambiguos, aunque normalmente excluyen el cero. [4]
Los números naturales se pueden utilizar para contar (como en "hay seis monedas sobre la mesa"), en cuyo caso sirven como números cardinales . También se pueden utilizar para realizar pedidos (como en "esta es la tercera ciudad más grande del país"), en cuyo caso sirven como números ordinales . Los números naturales se utilizan a veces como etiquetas, también conocidos como números nominales (por ejemplo, números de camiseta en los deportes), que no tienen las propiedades de los números en un sentido matemático. [2] [5]
Los números naturales forman un conjunto , comúnmente simbolizado como una N en negrita o negrita de pizarra . Muchos otros conjuntos de números se construyen extendiendo sucesivamente el conjunto de números naturales: los números enteros , incluyendo una identidad aditiva 0 (si aún no está en ella) y un inverso aditivo − n para cada número natural n distinto de cero ; los números racionales , al incluir un inverso multiplicativo para cada entero n distinto de cero (y también el producto de estos inversos por números enteros); los números reales incluyendo los límites de las secuencias de Cauchy [b] de racionales; los números complejos , al unir a los números reales una raíz cuadrada de −1 (y también las sumas y productos de los mismos); etcétera. [c] [d] Esta cadena de extensiones incorpora canónicamente los números naturales en los otros sistemas numéricos.
Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primos , se estudian en la teoría de números . Los problemas relacionados con contar y ordenar, como la partición y las enumeraciones , se estudian en combinatoria .
El método más primitivo de representar un número natural es utilizar los dedos, como al contar con los dedos . Poner una marca de conteo para cada objeto es otro método primitivo. Más tarde, se podría comprobar la igualdad, el exceso o la escasez de un conjunto de objetos, tachando una marca y eliminando un objeto del conjunto.
El primer avance importante en la abstracción fue el uso de números para representar números. Esto permitió desarrollar sistemas para registrar grandes cantidades. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numeración con jeroglíficos distintos para 1, 10 y todas las potencias de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak , que data aproximadamente del 1500 a. C. y ahora se encuentra en el Louvre de París, representa 276 como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y lo mismo para el número 4.622. Los babilonios tenían un sistema de valor posicional basado esencialmente en los números 1 y 10, usando la base sesenta, de modo que el símbolo de sesenta era el mismo que el símbolo de uno; su valor se determinaba a partir del contexto. [9]
Un avance mucho posterior fue el desarrollo de la idea de que el 0 puede considerarse como un número, con su propia cifra. El uso de un dígito 0 en la notación de valor posicional (dentro de otros números) se remonta al año 700 a. C. por parte de los babilonios, quienes omitieron dicho dígito cuando habría sido el último símbolo del número. [e] Las civilizaciones olmeca y maya utilizaron el 0 como número separado ya en el siglo I a. C. , pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica . [11] [12] El uso de un número 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en 628 EC. Sin embargo, el 0 se había utilizado como número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de Pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en 525 EC, sin ser indicado por un número. Los números romanos estándar no tienen símbolo para 0; en cambio, se empleó nulla (o la forma genitiva nullae ) de nullus , la palabra latina para "ninguno", para denotar un valor 0. [13]
El primer estudio sistemático de los números como abstracciones suele atribuirse a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes . Algunos matemáticos griegos trataban el número 1 de manera diferente a los números más grandes, a veces incluso ni siquiera como un número. [f] Euclides , por ejemplo, definió primero una unidad y luego un número como una multitud de unidades, por lo que, según su definición, una unidad no es un número y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualesquiera de un número indefinido de unidades son un 2). [15] Sin embargo, en la definición de número perfecto que aparece poco después, Euclides trata el 1 como un número como cualquier otro. [16]
Aproximadamente al mismo tiempo también se realizaron estudios independientes sobre cifras en India , China y Mesoamérica . [17]
Nicolas Chuquet utilizó el término progresión natural (progresión natural) en 1484. [18] El primer uso conocido de "número natural" como frase completa en inglés se remonta a 1763. [19] [20] La Encyclopaedia Britannica de 1771 define los números naturales en artículo logaritmo. [20]
Comenzar en 0 o 1 ha sido durante mucho tiempo una cuestión de definición. En 1727, Bernard Le Bovier de Fontenelle escribió que sus nociones de distancia y elemento llevaron a definir los números naturales como incluidos o excluidos del 0. [21] En 1889, Giuseppe Peano usó N para los números enteros positivos y comenzó en 1, [22] pero luego cambió y pasó a usar N 0 y N 1 . [23] Históricamente, la mayoría de las definiciones han excluido 0, [20] [24] [25] pero muchos matemáticos como George A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole Kleene y John Horton Conway han preferido incluir 0. [26] [20]
Los matemáticos han observado tendencias en las que se utiliza la definición, como textos de álgebra que incluyen 0, [20] [g] teoría de números y textos de análisis que excluyen 0, [20] [27] [28] textos de lógica y teoría de conjuntos que incluyen 0, [29 ] [30] [31] diccionarios excluyendo 0, [20] [32] libros escolares (hasta el nivel de escuela secundaria) excluyendo 0 y libros de nivel universitario de división superior que incluyen 0. [1] Hay excepciones para cada uno de estos tendencias y hasta 2023 no se ha realizado ninguna encuesta formal. Los argumentos planteados incluyen la división por cero [27] y el tamaño del conjunto vacío . Los lenguajes informáticos a menudo comienzan desde cero cuando enumeran elementos como contadores de bucles y elementos de cadena o matriz . [33] [34] Incluyendo 0 comenzó a ganar popularidad en la década de 1960. [20] La norma ISO 31-11 incluyó el 0 en los números naturales en su primera edición en 1978 y esto ha continuado hasta su edición actual como ISO 80000-2 . [35]
En la Europa del siglo XIX hubo una discusión matemática y filosófica sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Henri Poincaré afirmó que los axiomas sólo pueden demostrarse en su aplicación finita, y concluyó que es "el poder de la mente" el que permite concebir la repetición indefinida de un mismo acto. [36] Leopold Kronecker resumió su creencia como "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre". [h]
Los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas . [i] En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de definiciones. Posteriormente, se construyeron dos clases de definiciones formales; Más tarde aún, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.
Frege inició las definiciones teóricas de conjuntos de los números naturales . Inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia uno a uno con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó conducir a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, se modificó el formalismo de modo que un número natural se define como un conjunto particular, y se dice que cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con ese conjunto tiene ese número de elementos. [39]
En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó la primera axiomatización de la aritmética de números naturales dentro de esta segunda clase de definiciones. [40] [41] En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales, [42] y en 1889, Peano publicó una versión simplificada de los axiomas de Dedekind en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ( latín : Principios de aritmética, nova método exposita ). Este enfoque ahora se llama aritmética de Peano . Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales : cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos . Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. [43] Los teoremas que se pueden demostrar en ZFC pero que no se pueden demostrar utilizando los axiomas de Peano incluyen el teorema de Goodstein . [44]
El conjunto de todos los números naturales se denomina normalmente N o [2] [45]. Los textos más antiguos han empleado ocasionalmente J como símbolo para este conjunto. [46]
Dado que los números naturales pueden contener 0 o no, puede ser importante saber a qué versión se hace referencia. Esto suele especificarse mediante el contexto, pero también se puede hacer utilizando un subíndice o un superíndice en la notación, como por ejemplo: [35] [47]
Alternativamente, dado que los números naturales forman naturalmente un subconjunto de los números enteros (a menudo denominados ), pueden denominarse enteros positivos o no negativos, respectivamente. [48] Para no tener ambigüedades acerca de si 0 está incluido o no, a veces se agrega un superíndice " " o "+" en el primer caso, y un subíndice (o superíndice) "0" en el último caso: [35]
Esta sección utiliza la convención .
Dado el conjunto de números naturales y la función sucesora que envía cada número natural al siguiente, se puede definir la suma de números naturales de forma recursiva estableciendo a + 0 = a y a + S ( b ) = S ( a + b ) para todos a , b . Por lo tanto, a + 1 = a + S(0) = S( a +0) = S( a ) , a + 2 = a + S(1) = S( a +1) = S(S( a )) , etcétera. La estructura algebraica es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0. Es un monoide libre en un generador. Este monoide conmutativo satisface la propiedad de cancelación , por lo que puede integrarse en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales son los números enteros .
Si 1 se define como S (0) , entonces b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . Es decir, b + 1 es simplemente el sucesor de b .
De manera análoga, dado que se ha definido la suma, un operador de multiplicación se puede definir mediante a × 0 = 0 y a × S( b ) = ( a × b ) + a . Esto se convierte en un monoide conmutativo libre con elemento de identidad 1; un conjunto generador para este monoide es el conjunto de los números primos .
La suma y la multiplicación son compatibles, lo cual se expresa en la ley de distribución : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Estas propiedades de la suma y la multiplicación hacen de los números naturales un ejemplo de semirreno conmutativo . Los semirings son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversos aditivos, que equivale a que no es cerrado en la resta (es decir, restar un natural a otro no siempre da como resultado otro natural), significa que no es un anillo ; en cambio, es un semianillo (también conocido como aparejo ).
Si los números naturales se consideran "excluyendo 0" y "comenzando en 1", las definiciones de + y × son las anteriores, excepto que comienzan con a + 1 = S ( a ) y a × 1 = a . Además, no tiene ningún elemento de identidad.
En esta sección, variables yuxtapuestas como ab indican el producto a × b , [49] y se supone el orden estándar de operaciones .
Un orden total en los números naturales se define dejando a ≤ b si y sólo si existe otro número natural c donde a + c = b . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si a , b y c son números naturales y a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc .
Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal ; para los números naturales, esto se denota como ω (omega).
En esta sección, variables yuxtapuestas como ab indican el producto a × b y se supone el orden estándar de operaciones .
Si bien en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener como resultado un número natural, el procedimiento de división con resto o división euclidiana está disponible como sustituto: para dos números naturales cualesquiera a y b con b ≠ 0 hay son números naturales q y r tales que
Al número q se le llama cociente y a r se le llama resto de la división de a por b . Los números q y r están determinados únicamente por a y b . Esta división euclidiana es clave para otras propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (como el algoritmo euclidiano ) e ideas de la teoría de números.
Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) en números naturales definidas anteriormente tienen varias propiedades algebraicas:
Dos generalizaciones importantes de los números naturales surgen de los dos usos de contar y ordenar: los números cardinales y los números ordinales .
El menor ordinal de cardinalidad ℵ 0 (es decir, el ordinal inicial de ℵ 0 ) es ω pero muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal ℵ 0 tienen un número ordinal mayor que ω .
Para conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia uno a uno entre los números ordinales y cardinales; por tanto, ambos pueden expresarse mediante el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede utilizar para describir la posición de un elemento en una secuencia finita o infinita más grande .
Skolem desarrolló un modelo de aritmética no estándar contable que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden) . Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios mediante la construcción de ultrapotencia. . Otras generalizaciones se analizan en Número § Extensiones del concepto .
Georges Reeb solía afirmar provocativamente que "los números enteros ingenuos no se llenan ". [53]
Existen dos métodos estándar para definir formalmente los números naturales. El primero, llamado así por Giuseppe Peano , consiste en una teoría axiomática autónoma llamada aritmética de Peano , basada en unos pocos axiomas llamados axiomas de Peano .
La segunda definición se basa en la teoría de conjuntos . Define los números naturales como conjuntos específicos . Más precisamente, cada número natural n se define como un conjunto explícitamente definido, cuyos elementos permiten contar los elementos de otros conjuntos, en el sentido de que la frase "un conjunto S tiene n elementos" significa que existe una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos n y S .
Los conjuntos utilizados para definir números naturales satisfacen los axiomas de Peano. De ello se deduce que todo teorema que puede enunciarse y demostrarse en la aritmética de Peano también puede demostrarse en la teoría de conjuntos. Sin embargo, las dos definiciones no son equivalentes, ya que hay teoremas que pueden enunciarse en términos de la aritmética de Peano y demostrarse en la teoría de conjuntos, que no son demostrables dentro de la aritmética de Peano. Un ejemplo probable es el último teorema de Fermat .
La definición de los números enteros como conjuntos que satisfacen los axiomas de Peano proporciona un modelo de aritmética de Peano dentro de la teoría de conjuntos. Una consecuencia importante es que, si la teoría de conjuntos es consistente (como suele suponerse), entonces la aritmética de Peano es consistente. En otras palabras, si se pudiera demostrar una contradicción en la aritmética de Peano, entonces la teoría de conjuntos sería contradictoria y cada teorema de la teoría de conjuntos sería tanto verdadero como incorrecto.
Los cinco axiomas de Peano son los siguientes: [54] [j]
Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero reciben su nombre en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de es .
Intuitivamente, el número natural n es propiedad común de todos los conjuntos que tienen n elementos. Por lo tanto, parece natural definir n como una clase de equivalencia bajo la relación "puede realizarse en correspondencia uno a uno ". Esto no funciona en la teoría de conjuntos , ya que tal clase de equivalencia no sería un conjunto (debido a la paradoja de Russell ). La solución estándar es definir un conjunto particular con n elementos que se llamará número natural n .
La siguiente definición fue publicada por primera vez por John von Neumann , [55] aunque Levy atribuye la idea a un trabajo inédito de Zermelo en 1916. [56] Como esta definición se extiende al conjunto infinito como una definición de número ordinal , los conjuntos considerados a continuación a veces son llamados ordinales de von Neumann .
La definición procede de la siguiente manera:
De ello se deduce que los números naturales se definen iterativamente de la siguiente manera:
Se puede comprobar que los números naturales satisfacen los axiomas de Peano .
Con esta definición, dado un número natural n , la oración "un conjunto S tiene n elementos" se puede definir formalmente como "existe una biyección de n a S. Esto formaliza la operación de contar los elementos de S. Además, n ≤ m si y sólo si n es un subconjunto de m . En otras palabras, la inclusión de conjuntos define el orden total habitual de los números naturales. Este orden es un buen orden .
De la definición se deduce que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menores que él. Esta definición se puede extender a la definición de ordinales de von Neumann para definir todos los números ordinales , incluidos los infinitos: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños".
Si no se acepta el axioma del infinito , es posible que los números naturales no formen un conjunto. Sin embargo, los números naturales todavía se pueden definir individualmente como se indicó anteriormente y aún satisfacen los axiomas de Peano.
Hay otras construcciones teóricas establecidas. En particular, Ernst Zermelo realizó una construcción que hoy en día sólo tiene interés histórico y a la que a veces se hace referencia comoOrdinales de Zermelo .[56]Consiste en definir0como el conjunto vacío, y S ( a ) = { a }.
Con esta definición cada número natural es un conjunto singleton . Así, la propiedad de los números naturales de representar cardinalidades no es directamente accesible; sólo la propiedad ordinal (ser el enésimo elemento de una secuencia) es inmediata. A diferencia de la construcción de von Neumann, los ordinales de Zermelo no se extienden a infinitos ordinales.
Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus propias partes.En la definición VII.3 una "parte" se definía como un número, pero aquí se considera que 1 es una parte, de modo que por ejemplo 6 = 1 + 2 + 3 es un número perfecto.
...el conjunto de números naturales es cerrado bajo suma... el conjunto de números naturales es cerrado bajo multiplicación
La suma de números naturales es asociativa.