Lema de Shapley-Folkman

Las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas.

El lema de Shapley-Folkman se ilustra mediante la suma de cuatro conjuntos de Minkowski . El punto (+) en el casco convexo de la suma de Minkowski de los cuatro conjuntos no convexos ( derecha ) es la suma de cuatro puntos (+) de los conjuntos (de la izquierda): dos puntos en dos conjuntos no convexos más dos puntos en los cascos convexos de dos conjuntos. Los cascos convexos están sombreados en rosa. Cada uno de los conjuntos originales tiene exactamente dos puntos (que se muestran como puntos rojos). ^[1]

El lema de Shapley-Folkman  es un resultado de la geometría convexa que describe la suma de conjuntos de Minkowski en un espacio vectorial . Lleva el nombre de los matemáticos Lloyd Shapley y Jon Folkman , pero fue publicado por primera vez por el economista Ross M. Starr .

Se puede entender intuitivamente que el lema dice que, si el número de conjuntos sumados excede la dimensión del espacio vectorial, entonces su suma de Minkowski es aproximadamente convexa. ^{[1] [2]}

Los resultados relacionados proporcionan afirmaciones más refinadas sobre qué tan cercana es la aproximación. Por ejemplo, el teorema de Shapley-Folkman proporciona un límite superior a la distancia entre cualquier punto de la suma de Minkowski y su casco convexo . Este límite superior está definido por el teorema de Shapley-Folkman-Starr (alternativamente, el corolario de Starr ). ^[3]

El lema de Shapley-Folkman tiene aplicaciones en economía , optimización y teoría de la probabilidad . ^[3] En economía, se puede utilizar para extender los resultados demostrados para preferencias convexas a preferencias no convexas. En teoría de la optimización, se puede utilizar para explicar la solución exitosa de problemas de minimización que son sumas de muchas funciones . ^{[4] [5]} En probabilidad, se puede utilizar para probar una ley de números grandes para conjuntos aleatorios . ^[6]

Ejemplo introductorio

Un conjunto es convexo si cada segmento de recta que une dos de sus puntos es un subconjunto del conjunto: por ejemplo, el disco  sólido es un conjunto convexo pero el círculo no lo es, porque el segmento de recta que une dos puntos distintos  no es un subconjunto del círculo. ${\displaystyle \bullet }$  ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \oslash }$

La cáscara convexa de un conjunto  Q es el conjunto convexo más pequeño que contiene  Q. Esta distancia es cero si y sólo si la suma es convexa.

La suma de Minkowski es la suma de los miembros del conjunto . Por ejemplo, sumar el conjunto que consta de los números enteros cero y uno a sí mismo produce el conjunto que consta de cero, uno y dos:

$${\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.}$$

El subconjunto de los números enteros {0, 1, 2} está contenido en el intervalo de los números reales  [0, 2], que es convexo. El lema de Shapley-Folkman implica que cada punto en [0, 2] es la suma de un número entero de {0, 1} y un número real de [0, 1]. ^[7]

La distancia entre el intervalo convexo [0, 2] y el conjunto no convexo {0, 1, 2} es igual a la mitad

1/2 = |1 − 1/2| = |0 − 1/2| = |2 − 3/2| = |1 − 3/2|.

Sin embargo, la distancia entre la suma promedio de Minkowski

1/2 ({0, 1} + {0, 1}) = {0, 1/2, 1}

y su casco convexo [0, 1] es sólo 1/4, que es la mitad de la distancia (1/2) entre su sumando {0, 1} y [0, 1]. A medida que se suman más conjuntos, el promedio de su suma "llena" su casco convexo: la distancia máxima entre el promedio y su casco convexo se acerca a cero a medida que el promedio incluye más sumandos . ^[7]

Preliminares

El lema de Shapley-Folkman depende de las siguientes definiciones y resultados de la geometría convexa .

Espacios vectoriales reales

A un espacio vectorial real de dos  dimensiones se le puede dar un sistema de coordenadas cartesiano en el que cada punto está identificado por un par ordenado de números reales, llamados "coordenadas", que convencionalmente se denotan por  x e  y . Se pueden sumar dos puntos en el plano cartesiano según las coordenadas.

( x ₁ ,  y ₁ ) + ( x ₂ ,  y ₂ ) = ( x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ );

Además, un punto se puede multiplicar por cada número real  λ en coordenadas.

λ  ( x ,  y ) = ( λx , λy ).

De manera más general, cualquier espacio vectorial real de dimensión (finita)  puede verse como el conjunto de todas las tuplas de  números reales { ( v ₁ , v ₂ , . . . , v _D )  } en el que  se definen dos operaciones : suma de vectores y multiplicación por un número real . Para espacios vectoriales de dimensión finita, las operaciones de suma de vectores y multiplicación de números reales se pueden definir cada una en forma de coordenadas, siguiendo el ejemplo del plano cartesiano. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Conjuntos convexos

Los segmentos de línea prueban si un subconjunto es convexo .

En un espacio vectorial real, un conjunto Q  no vacío se define como convexo si, para cada par de sus puntos, cada punto del segmento de recta que los une todavía está en  Q. Por ejemplo, un disco sólido es convexo pero un círculo no lo es, porque no contiene un segmento de recta que una sus puntos  ; el conjunto no convexo de tres números enteros {0, 1, 2} está contenido en el intervalo [0, 2], que es convexo. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, cualquier cosa que sea hueca o abollada, por ejemplo, una forma de media luna , no es convexa. El conjunto vacío es convexo, ya sea por definición ^[9] o de forma vacía , según el autor.  ${\displaystyle \bullet }$  ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \oslash }$

Más formalmente, un conjunto  Q es convexo si, para todos los puntos  v ₀ y  v ₁ en  Q y para cada número real  λ en el intervalo unitario  [0,1], el punto

(1 −  λ )  v ₀ + λv ₁

es miembro de  Q.​

Por inducción matemática , un conjunto  Q es convexo si y sólo si toda combinación convexa de miembros de  Q también pertenece a  Q. Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indexado { v ₀ ,  v ₁ , . . . ,  v _D } de un espacio vectorial es cualquier promedio ponderado  λ ₀ v ₀ + λ ₁ v ₁ + . . . + λ _D v _D , para algún conjunto indexado de números reales no negativos { λ _d } ​​que satisface la ecuación  λ ₀ + λ ₁ + . . . + λD ₌  1. ^[10]

La definición de conjunto convexo implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. De manera más general, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo. En particular, la intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío, que es convexo. ^[9]

casco convexo

En el casco convexo del conjunto rojo, cada punto azul es una combinación convexa de algunos puntos rojos.

Para cada subconjunto  Q de un espacio vectorial real, su casco convexo  Conv( Q ) es el conjunto convexo  mínimo que contiene a Q. Por tanto, Conv( Q ) es la intersección de todos los conjuntos convexos que cubren  Q . La cáscara convexa de un conjunto se puede definir de manera equivalente como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos  en Q. ^[11] Por ejemplo, la cáscara convexa del conjunto de números enteros  {0,1} es el intervalo cerrado de números reales  [0,1], que contiene los puntos finales de los números enteros. ^[7] La ​​cáscara convexa del círculo unitario es el disco unitario cerrado , que contiene el círculo unitario.

Adición de Minkowski

Suma de conjuntos de Minkowski . La suma de los cuadrados y es el cuadrado . ${\displaystyle Q_{1}=[0,1]^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}=[1,2]^{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}}$

En cualquier espacio vectorial (o estructura algebraica con suma), la suma de Minkowski de dos conjuntos no vacíos se define como la operación de elementos (ver también ^[12] ). Por ejemplo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}.}$

${\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}}$

Esta operación es claramente conmutativa y asociativa sobre el conjunto de conjuntos no vacíos. Todas estas operaciones se extienden de manera bien definida a formas recursivas. Por el principio de inducción es fácil ver que ^[13] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{N}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=\{\sum _{n=1}^{N}q_{n}\mid q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\}.}$

Cascos convexos de sumas de Minkowski

La suma de Minkowski se comporta bien con respecto a la toma de cascos convexos. Específicamente, para todos los subconjuntos de un espacio vectorial real, la cáscara convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus cáscaras convexas. Eso es, ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).}$

Y por inducción se sigue que

${\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$

para subconjuntos cualquiera y no vacíos ,. ^{[14] [15]} ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Q_{n}\subseteq X}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq N}$

Declaraciones de los tres resultados principales

Notación

${\displaystyle D,N\in \{1,2,3,...\}}$son números enteros positivos.

${\displaystyle D}$es la dimensión del espacio ambiental . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$

${\displaystyle Q_{1},...,Q_{N}}$son subconjuntos acotados y no vacíos de . También se les llama "mandatos". es el número de sumandos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{N}Q_{n}}$es la suma de Minkowski de los sumandos.

${\displaystyle x}$es un vector arbitrario en . ${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$

Lema de Shapley-Folkman

Ya que , para cualquiera , existen elementos tales que . El lema de Shapley-Folkman refina esta afirmación. ${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} (Q)}$ ${\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}q_{n}=x}$

Lema de Shapley-Folkman  :  para cualquiera , existen elementos tales que , y en la mayoría de los sumandos , mientras que los demás . ${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} (Q)}$ ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}q_{n}=x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}\in Q_{n}}$

Por ejemplo, cada punto en es la suma de un elemento en y un elemento en . ^[7] ${\displaystyle [0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Al barajar los índices si es necesario, esto significa que cada punto se puede descomponer como ${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{D}q_{n}+\sum _{n=D+1}^{N}q_{n}}$

donde para y para . Tenga en cuenta que la reindexación depende del punto . ^[dieciséis] ${\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq D}$ ${\displaystyle q_{n}\in Q_{n}}$ ${\displaystyle D+1\leq n\leq N}$ ${\displaystyle x}$

El lema puede enunciarse sucintamente como

${\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)\subseteq \bigcup _{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\left(\sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})+\sum _{n\notin I}Q_{n}\right).}$

Lo contrario del lema de Shapley-Folkman

recíproco del lema de Shapley-Folkman ^[17]  —  Si un espacio vectorial obedece al lema de Shapley-Folkman para un número natural  y para ningún número menor que  , entonces su dimensión es finita y exactamente  . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

En particular, el lema de Shapley-Folkman requiere que el espacio vectorial sea de dimensión finita.

Teorema de Shapley-Folkman

Shapley y Folkman usaron su lema para demostrar el siguiente teorema, que cuantifica la diferencia entre y usando la distancia euclidiana al cuadrado . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)}$

Para cualquier subconjunto no vacío y cualquier punto, defina su distancia euclidiana al cuadrado como el mínimo ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{D},}$

$${\displaystyle d^{2}(x,S)=\inf _{y\in S}\|x-y\|^{2}.}$$

${\displaystyle S,S'\subseteq \mathbb {R} ^{D},}$

$${\displaystyle d^{2}(S,S')=\inf _{x\in S,y\in S'}\|x-y\|^{2}.}$$

Tenga en cuenta que podemos simplemente escribir donde De manera similar, ${\displaystyle d^{2}(x,S)=(\inf _{y\in S}\|x-y\|)^{2},}$ ${\displaystyle d^{2}(x,S)=d(x,S)^{2},}$ ${\displaystyle d(x,S)=\inf _{y\in S}\|x-y\|.}$ ${\displaystyle d^{2}(S,S')=d(S,S')^{2}.}$

Por ejemplo, ${\displaystyle d^{2}([0,2],\{0,1,2\})=1/4=d([0,2],\{0,1,2\})^{2}.}$

La distancia euclidiana al cuadrado es una medida de qué tan "cercanos" están dos conjuntos. En particular, si dos conjuntos son compactos, entonces su distancia euclidiana al cuadrado es cero si y sólo si son iguales. Por lo tanto, podemos cuantificar qué tan cerca está la convexidad mediante el límite superior ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d^{2}(\mathrm {Conv} (Q),Q).}$

Para cualquier subconjunto acotado, defina su circunradio como el mínimo del radio de todas las bolas que lo contienen (como se muestra en el diagrama). Más formalmente, ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{D},}$ ${\displaystyle rad(S)}$

$${\displaystyle rad(S)\equiv \inf _{x\in R^{N}}\sup _{y\in S}\|x-y\|}$$

Teorema de Shapley-Folkman ^{[18] [19]}  -  ${\displaystyle d^{2}(Q,\mathrm {Conv} (Q))~\leq ~\sum _{\max D}rad(Q_{n})^{2}.}$

donde usamos la notación para referirnos a "la suma de los términos más grandes". ${\displaystyle \sum _{\max D}}$ ${\displaystyle D}$

Tenga en cuenta que este límite superior depende de la dimensión del espacio ambiental y de las formas de los sumandos, pero no del número de sumandos.

Teorema de Shapley-Folkman-Starr

Defina el radio interior de un subconjunto acotado como el mínimo de tal que, para cualquiera , exista una bola de radio tal que . ^[20] ${\displaystyle r(S)}$ ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} (S)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} (S\cap B)}$

El circunradio (azul) y el radio interior (verde) de un conjunto de puntos (rojo oscuro, con su casco convexo mostrado como líneas discontinuas de color rojo más claro). El radio interior es menor que el circunradio excepto en los subconjuntos de un solo círculo, para los cuales son iguales.

Por ejemplo, sean dos bolas encajadas, entonces el circunradio de es el radio de , pero su radio interior es el radio de . ${\displaystyle B'\subset B\subset \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle B\setminus B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$

Dado que para cualquier subconjunto acotado , el siguiente teorema es un refinamiento: ${\displaystyle r(S)\leq rad(S)}$ ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{D}}$

Teorema de Shapley-Folkman-Starr ^{[20] [21]}  -  . ${\displaystyle d^{2}(Q,\mathrm {Conv} (Q))\leq \sum _{\max D}r(Q_{n})^{2}}$

En particular, si tenemos una secuencia infinita de subconjuntos acotados y no vacíos de , y si existe alguno tal que el radio interior de cada uno esté acotado superiormente por , entonces ${\displaystyle (Q_{n})_{n=1,2,...}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle r_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

$${\displaystyle d^{2}\left(\mathrm {Conv} \left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right),{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)\leq {\frac {Dr_{0}^{2}}{N}}.}$$

Otras pruebas de los resultados.

Ha habido muchas pruebas de estos resultados, desde el original ^[20] hasta el posterior Arrow y Hahn , ^[22] Cassels , ^[23] Schneider, ^[24] etc. Se ha presentado una prueba abstracta y elegante de Ekeland ^[25]. ampliado por Artstein. ^[26] También han aparecido diferentes pruebas en artículos inéditos. ^{[2] [27]} Se puede encontrar una prueba elemental del lema de Shapley-Folkman en el libro de Bertsekas , ^[28] junto con aplicaciones para estimar la brecha de dualidad en problemas de optimización separables y juegos de suma cero.

Las pruebas habituales de estos resultados no son constructivas: establecen sólo la existencia de la representación, pero no proporcionan un algoritmo para calcular la representación. En 1981, Starr publicó un algoritmo iterativo para una versión menos precisa del teorema de Shapley-Folkman-Starr. ^[29]

Una prueba de los resultados

La siguiente prueba del lema de Shapley-Folkman proviene de. ^[30] La idea de la prueba es elevar la representación de desde a , usar el teorema de Carathéodory para cascos cónicos y luego volver a bajar a . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D+N}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$

Prueba del lema de Shapley-Folkman

Desde entonces , existe un conjunto mínimo de índices , tales que , pero para cualquier subconjunto adecuado . ${\displaystyle x\in \sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle I\subset 1:N}$ ${\displaystyle x\in \sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle x\not \in \sum _{n\in J}\mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle J\subsetneq I}$

Dado que siempre podemos recurrir a dicho conjunto , WLOG suponemos que es en sí mismo un conjunto mínimo de índices, es decir, que no se puede representar como un subconjunto adecuado de . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1:N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}q_{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1:N}$

Para cada uno , represente como , donde es un número finito grande, y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})}$ ${\displaystyle q_{n}=\sum _{k=1}^{K}w_{n,k}q_{n,k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w_{n,k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}w_{n,k}=1}$

Ahora "levante" la representación de a . Definir ${\displaystyle x=\sum _{n}\sum _{k}w_{n,k}q_{n,k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D+N}}$

$${\displaystyle {\bar {x}}=(x,1,...,1);\quad {\bar {q}}_{n,k}=(q_{n,k},e_{n})}$$

¿Dónde está el vector que tiene 1 en la coordenada y 0 en todas las demás coordenadas? ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle n}$

Con esto tenemos una representación elevada.

$${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{n}\sum _{k}w_{n,k}{\bar {q}}_{n,k}.}$$

Es decir, está en el casco cónico de . ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \{{\bar {q}}_{n,k}\}_{n\in 1:N,k\in 1:K}}$

Según el teorema de Carathéodory para cascos cónicos, tenemos una representación alternativa

$${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{n}\sum _{k}w'_{n,k}{\bar {q}}_{n,k}}$$

tal que , y en la mayoría de ellos son distintos de cero. Desde que definimos ${\displaystyle w'_{n,k}\geq 0}$ ${\displaystyle N+D}$

$${\displaystyle {\bar {x}}=(x,1,...,1);\quad {\bar {q}}_{n,k}=(q_{n,k},e_{n})}$$

esta representación alternativa también es una representación para . ${\displaystyle x}$

Como asumimos que no se puede representar como dónde hay un subconjunto adecuado de , encontramos que para cada , al menos uno de es distinto de cero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}q_{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1:N}$ ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle w'_{n,k}}$

Dado que como máximo de son distintos de cero, encontramos que para como máximo de , al menos dos de son distintos de cero. ${\displaystyle N+D}$ ${\displaystyle w_{n,k}'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle w_{n,k}'}$

Obtenemos así una representación

$${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{n}\left(\sum _{k}w'_{n,k}{\bar {q}}_{n,k}\right)}$$

donde, como máximo , el término no está dentro . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{k}w'_{n,k}{\bar {q}}_{n,k}}$ ${\displaystyle Q_{n}}$

La siguiente prueba "probabilística" del teorema de Shapley-Folkman-Starr proviene de. ^[23]

Podemos interpretar en términos probabilísticos: , ya que para algunos , podemos definir un vector aleatorio , finitamente soportado en , tal que , y . ${\displaystyle \mathrm {Conv} (S)}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathrm {Conv} (S)}$ ${\displaystyle x=\sum w_{n}q_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Pr(X=q_{n})=w_{n}}$ ${\displaystyle x=\mathbb {E} [X]}$

Entonces, es natural considerar la "varianza" de un conjunto como ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle Var(S):=\sup _{x\in \mathrm {Conv} (S)}\inf _{\mathbb {E} [X]=x,X{\text{ is finitely supported in }}S}Var[X]}$$

${\displaystyle d(S,\mathrm {Conv} (S))^{2}\leq Var(S)\leq r(S)\leq rad(S)}$

Prueba

${\displaystyle d(S,\mathrm {Conv} (S))^{2}\leq Var(S)}$: Ampliar sus definiciones.

${\displaystyle Var(S)\leq rad(S)}$: si entonces dejemos que se apoye finitamente en tal que . Ahora bien, dado que está acotado en una bola de radio centrado en algunos , tenemos . ${\displaystyle x\in \mathrm {Conv} (S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E[X]=x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle rad(S)+\epsilon }$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle Var[X]=Var[X-o]\leq E[\|X-o\|^{2}]\leq rad(S)+\epsilon }$

${\displaystyle Var(S)\leq r(S)}$: utiliza el resultado anterior.

Prueba del teorema de Shapley-Folkman-Starr

Basta con mostrar . ${\displaystyle Var\left(Q\right)\leq \sum _{\max D}Var(Q_{n})}$

${\displaystyle \forall x\in \mathrm {Conv} (Q)}$, según el lema de Shapley-Folkman, existe una representación tal que las particiones . ${\displaystyle x=\sum _{n\in I}x_{n}+\sum _{n\in J}q_{n}}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle \{1,2,...,N\},|I|\leq D,x_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n}),q_{n}\in Q_{n}}$

Ahora, para cada uno , construya vectores aleatorios tales que se admitan finitamente en , con y , donde sea un número pequeño arbitrario. ${\displaystyle n\in I}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}]=x_{n}}$ ${\displaystyle Var[X_{n}]<Var[Q_{n}]+\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Que todos sean independientes. Entonces deja . Como cada uno es un vector determinista, tenemos ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X=\sum _{n\in I}X_{n}+\sum _{n\in J}q_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}}$

$${\displaystyle Var[X]=Var\left[\sum _{n\in I}X_{n}\right]=\sum _{n\in I}Var\left[X_{n}\right]\leq \sum _{n\in I}\left(Var(Q_{n})+\epsilon \right)\leq \sum _{\max D}Var(Q_{n})+D\epsilon .}$$

Dado que esto es cierto para arbitrario , tenemos y hemos terminado. ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle Var[X]\leq \sum _{\max D}Var(Q_{n})}$

Historia

Lloyd Shapley , ganador del Premio Nobel de Economía de 2012, demostró el lema de Shapley-Folkman con Jon Folkman . ^[1]

El lema de Lloyd Shapley y Jon Folkman fue publicado por primera vez por el economista Ross M. Starr , quien investigaba la existencia de equilibrios económicos mientras estudiaba con Kenneth Arrow . ^[1] En su artículo, Starr estudió una economía convexificada , en la que los conjuntos no convexos fueron reemplazados por sus cascos convexos; Starr demostró que la economía convexificada tiene equilibrios que se aproximan mucho a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; además, demostró que todo cuasiequilibrio tiene muchas de las propiedades óptimas de los equilibrios verdaderos, que se ha demostrado que existen para las economías convexas.

Siguiendo el artículo de Starr de 1969, los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente para mostrar que los resultados centrales de la teoría económica (convexa) son buenas aproximaciones a las grandes economías con no convexidades; por ejemplo, los cuasiequilibrios se aproximan mucho a los equilibrios de una economía convexificada. "La derivación de estos resultados en forma general ha sido uno de los mayores logros de la teoría económica de posguerra", escribió Roger Guesnerie . ^[31]

El tema de los conjuntos no convexos en economía ha sido estudiado por numerosos premios Nobel : el propio Shapley (2012), Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008). ) y Paul Samuelson (1970); Estos galardonados han enfatizado el tema complementario de los conjuntos convexos en economía , junto con Leonid Hurwicz , Leonid Kantorovich (1975) y Robert Solow (1987).

Aplicaciones

El lema de Shapley-Folkman permite a los investigadores ampliar los resultados de las sumas de Minkowski de conjuntos convexos a sumas de conjuntos generales, que no necesitan ser convexos. Estas sumas de conjuntos surgen en economía , optimización matemática y teoría de probabilidades ; En cada una de estas tres ciencias matemáticas, la no convexidad es una característica importante de las aplicaciones.

Ciencias económicas

El consumidor prefiere cada canasta de bienes en la curva de indiferencia  I ₃ sobre cada canasta en   I ₂ . La canasta ( Q _x ,  Q _y ), donde la línea presupuestaria ( que se muestra en azul ) apoya a  I ₂ , es óptima y también factible, a diferencia de cualquier canasta que se encuentre en   I ₃ , que es preferida pero inviable.

En economía , las preferencias de un consumidor se definen sobre todas las "cestas" de bienes. Cada canasta se representa como un vector no negativo, cuyas coordenadas representan las cantidades de la mercancía. Sobre este conjunto de canastas se define una curva de indiferencia para cada consumidor; La curva de indiferencia de un consumidor contiene todas las canastas de bienes que el consumidor considera equivalentes: es decir, por cada par de canastas en la misma curva de indiferencia, el consumidor no prefiere una canasta sobre otra. Por cada cesta de mercancías pasa una curva de indiferencia. El conjunto de preferencias de un consumidor (en relación con una curva de indiferencia) es la unión de la curva de indiferencia y todas las canastas de productos que el consumidor prefiere sobre la curva de indiferencia. Las preferencias de un consumidor son convexas si todos esos conjuntos de preferencias son convexos. ^[32]

Una canasta óptima de bienes ocurre cuando la línea presupuestaria respalda el conjunto de preferencias de un consumidor, como se muestra en el diagrama. Esto significa que una canasta óptima está en la curva de indiferencia más alta posible dada la recta presupuestaria, que se define en términos de un vector de precios y el ingreso del consumidor (vector de dotación). Así, el conjunto de cestas óptimas es función de los precios, y a esta función se le llama demanda del consumidor . Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces, a cada precio, la demanda del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una canasta óptima única o un segmento lineal de canastas. ^[33]

Preferencias no convexas

Cuando las preferencias del consumidor tienen concavidades, el consumidor puede saltar entre dos cestas óptimas separadas.

Sin embargo, si un conjunto de preferencias no es convexo , entonces algunos precios determinan una línea presupuestaria que soporta dos cestas óptimas separadas . Por ejemplo, podemos imaginar que, en los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico alcanza para un águila o un león. También podemos suponer que el cuidador del zoológico considera que ambos animales son igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. ¡Por supuesto, un cuidador de zoológico contemporáneo no quiere comprar la mitad de un águila y la mitad de un león (o un grifo )! Por tanto, las preferencias del cuidador del zoológico no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los animales a tener cualquier combinación estrictamente convexa de ambos. ^[34]

Cuando el conjunto de preferencias del consumidor no es convexo, entonces (para algunos precios) la demanda del consumidor no está conectada ; una demanda desconectada implica algún comportamiento discontinuo por parte del consumidor, como lo analiza Harold Hotelling :

Si se piensa que las curvas de indiferencia para las compras poseen un carácter ondulado, convexas con respecto al origen en algunas regiones y cóncavas en otras, nos vemos obligados a concluir que sólo las porciones convexas con respecto al origen pueden considerarse con alguna importancia. , ya que los demás son esencialmente inobservables. Sólo pueden detectarse por las discontinuidades que pueden ocurrir en la demanda con la variación en las relaciones de precios, lo que lleva a un salto abrupto de un punto de tangencia a través de un abismo cuando se gira la línea recta. Pero, si bien tales discontinuidades pueden revelar la existencia de abismos, nunca pueden medir su profundidad. Las porciones cóncavas de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si existen, deben permanecer para siempre en una oscuridad inconmensurable. ^[35]

Las dificultades de estudiar las preferencias no convexas fueron enfatizadas por Herman Wold ^[36] y nuevamente por Paul Samuelson , quien escribió que las no convexidades están "envueltas en una oscuridad eterna ...", ^{[37] [a]} según Diewert. ^[38]

Sin embargo, las preferencias no convexas fueron iluminadas entre 1959 y 1961 por una serie de artículos en The Journal of Political Economy  ( JPE ). Los principales contribuyentes fueron Farrell, ^[39] Bator, ^[40] Koopmans , ^[41] y Rothenberg. ^[42] En particular, el artículo de Rothenberg analiza la convexidad aproximada de sumas de conjuntos no convexos. ^[43] Estos artículos del JPE estimularon un artículo de Lloyd Shapley y Martin Shubik , que consideraba las preferencias convexificadas de los consumidores e introducía el concepto de "equilibrio aproximado". ^[44] Los artículos del JPE y el artículo de Shapley-Shubik influyeron en otra noción de "cuasi-equilibrio", debida a Robert Aumann . ^{[45] [46]}

El artículo de Starr de 1969 y la economía contemporánea

Kenneth Arrow ( premio Nobel de 1972 ) ayudó a Ross M. Starr a estudiar las economías no convexas . ^[47]

Kenneth Arrow recopiló publicaciones anteriores sobre no convexidad y economía en una bibliografía comentada . Le dio la bibliografía a Starr , quien entonces era un estudiante universitario matriculado en el curso avanzado de economía matemática (graduado) de Arrow. ^[47] En su trabajo final, Starr estudió los equilibrios generales de una economía artificial en la que las preferencias no convexas fueron reemplazadas por sus cascos convexos. En la economía convexificada, a cada precio, la demanda agregada era la suma de las capas convexas de las demandas de los consumidores. Las ideas de Starr interesaron a los matemáticos Lloyd Shapley y Jon Folkman , quienes demostraron su lema y teorema del mismo nombre en "correspondencia privada", como informó Starr en un artículo publicado en 1969. ^[1]

En su publicación de 1969, Starr aplicó el teorema de Shapley-Folkman-Starr. Starr demostró que la economía "convexificada" tiene equilibrios generales que pueden aproximarse estrechamente mediante los " cuasi-equilibrios " de la economía original, cuando el número de agentes excede la dimensión de los bienes: Concretamente, Starr demostró que existe al menos un cuasi-equilibrio. -equilibrio de precios  p _optar por las siguientes propiedades:

• Para los precios p _opt de cada cuasi equilibrio  , todos los consumidores pueden elegir cestas óptimas (las más preferidas y que cumplan con sus restricciones presupuestarias).
• A precios de cuasiequilibrio  p _opt en la economía convexificada, el mercado de todos los bienes está en equilibrio: su oferta es igual a su demanda.
• Para cada cuasi-equilibrio, los precios "casi limpian" los mercados de la economía original: un límite superior de la distancia entre el conjunto de equilibrios de la economía "convexificada" y el conjunto de cuasi-equilibrios de la economía original se desprende de la ecuación de Starr. corolario del teorema de Shapley-Folkman. ^[48]

Starr estableció que

"En conjunto, la discrepancia entre una asignación en la economía ficticia generada [tomando las cáscaras convexas de todos los conjuntos de consumo y producción] y alguna asignación en la economía real está limitada de una manera que es independiente del número de Por lo tanto, el agente promedio experimenta una desviación de las acciones previstas que pierde importancia a medida que el número de agentes llega al infinito". ^[49]

Tras el artículo de Starr de 1969, los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente en la teoría económica. Roger Guesnerie resumió sus implicaciones económicas: "Algunos resultados clave obtenidos bajo el supuesto de convexidad siguen siendo (aproximadamente) relevantes en circunstancias en las que la convexidad falla. Por ejemplo, en economías con un gran consumo, las preferencias no convexas no destruyen los resultados estándar". ^[50] "La derivación de estos resultados en forma general ha sido uno de los mayores logros de la teoría económica de la posguerra", escribió Guesnerie. ^[31] El tema de los conjuntos no convexos en economía ha sido estudiado por muchos premios Nobel : Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008), y Paul Samuelson (1970); Estos galardonados han enfatizado el tema complementario de los conjuntos convexos en economía , junto con Leonid Hurwicz , Leonid Kantorovich (1975) y Robert Solow (1987). ^[51] Los resultados de Shapley-Folkman-Starr han aparecido en la literatura económica: en microeconomía , ^[52] en teoría del equilibrio general, ^[53] en economía pública ^[54] (incluidas las fallas del mercado ), ^[55] así como en la teoría de juegos , ^[56] en la economía matemática , ^[57] y en las matemáticas aplicadas (para economistas). ^{[58] [59]} Los resultados de Shapley-Folkman-Starr también han influido en la investigación económica utilizando la teoría de la medida y la integración . ^[60]

Optimización matemática

Una función es convexa si la región situada encima de su gráfica es un conjunto convexo .

El lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para explicar por qué los grandes problemas de minimización con no convexidades pueden casi resolverse (con métodos iterativos cuyas pruebas de convergencia se establecen sólo para problemas convexos ). El lema de Shapley-Folkman ha fomentado el uso de métodos de minimización convexa en otras aplicaciones con sumas de muchas funciones. ^[61]

Preliminares de la teoría de la optimización.

La optimización no lineal se basa en las siguientes definiciones de funciones :

• La gráfica de una función  f es el conjunto de los pares de argumentos  x y evaluaciones de funciones  f ( x )

Grafica( f ) = { ( x ,  f ( x ) ) }

• El epígrafe de una función de valor real  f es el conjunto de puntos encima de la gráfica.

La función seno no es convexa .

Epi( f ) = {  ( x ,  u ) :  f ( x ) ≤  u  } .

• Una función de valor real se define como una función convexa si su epígrafe es un conjunto convexo. ^[62]

Por ejemplo, la función cuadrática  f ( x ) =  x ² es convexa, al igual que la función  de valor absoluto g ( x ) = | x |. Sin embargo, la función seno (en la foto) no es convexa en el intervalo  (0, π).

Problemas de optimización aditiva

En muchos problemas de optimización, la función objetivo  f es separable : es decir, f es la suma de muchas funciones sumando, cada una de las cuales tiene su propio argumento:

f ( x ) = f (  ( x ₁ , ..., x )  ) = Σ f _norte ( x _norte ). _{${\displaystyle N}$} 

Por ejemplo, los problemas de optimización lineal son separables. Dado un problema separable con una solución óptima, fijamos una solución óptima.

x _mín  = ( x ₁ , ...,  x ) _{mín ${\displaystyle N}$}

con el valor mínimo  f ( x _min ). Para este problema separable, también consideramos una solución óptima ( x _min ,  f ( x _min ) ) al " problema convexificado ", donde se toman cascos convexos de las gráficas de las funciones sumando. Una solución tan óptima es el límite de una secuencia de puntos en el problema convexificado.

( x _j ,  f ( x _j ) )  ∈  Σ Conv ( Gráfica ( f _n ) ) . ^{[4] [b]}

Por supuesto, el punto óptimo dado es una suma de puntos en las gráficas de los sumandos originales y de un pequeño número de sumandos convexificados, según el lema de Shapley-Folkman.

Este análisis fue publicado por Ivar Ekeland en 1974 para explicar la aparente convexidad de problemas separables con muchos sumandos, a pesar de la no convexidad de los problemas de sumandos. En 1973, el joven matemático Claude Lemaréchal quedó sorprendido por su éxito con métodos de minimización convexos en problemas que se sabía que no eran convexos; Para minimizar problemas no lineales, una solución del problema dual no necesita proporcionar información útil para resolver el problema primario, a menos que el problema primario sea convexo y satisfaga una calificación de restricción . El problema de Lemaréchal era aditivamente separable y cada función sumando no era convexa; no obstante, una solución al problema dual proporcionó una aproximación cercana al valor óptimo del problema primario. ^{[63] [4] [64]} El análisis de Ekeland explicó el éxito de los métodos de minimización convexa en problemas grandes y separables , a pesar de las no convexidades de las funciones sumando. Ekeland y autores posteriores argumentaron que la separabilidad aditiva producía un problema agregado aproximadamente convexo, aunque las funciones sumando no eran convexas. El paso crucial en estas publicaciones es el uso del lema de Shapley-Folkman. ^{[4] [64] [65] [c]} El lema de Shapley-Folkman ha fomentado el uso de métodos de minimización convexa en otras aplicaciones con sumas de muchas funciones. ^{[4] [5] [58] [61]}

Teoría de la probabilidad y la medida.

Los conjuntos convexos suelen estudiarse con la teoría de la probabilidad . Cada punto en la cáscara convexa de un subconjunto Q ( no vacío )  de un espacio de dimensión finita es el valor esperado de un vector aleatorio simple que toma sus valores en  Q , como consecuencia del lema de Carathéodory . Por lo tanto, para un conjunto Q no vacío  , la colección de los valores esperados de los vectores aleatorios simples con valores  Q es igual a la envolvente convexa de Q ; esta igualdad implica que los resultados de Shapley-Folkman-Starr son útiles en la teoría de la probabilidad. ^[67] En la otra dirección, la teoría de la probabilidad proporciona herramientas para examinar los conjuntos convexos en general y los resultados de Shapley-Folkman-Starr específicamente. ^[68] Los resultados de Shapley-Folkman-Starr se han utilizado ampliamente en la teoría probabilística de conjuntos aleatorios , ^[69] por ejemplo, para demostrar una ley de números grandes , ^{[6] [70]} un teorema del límite central , ^{[70] [71]} y un principio de grandes desviaciones . ^[72] Estas pruebas de teoremas de límite probabilístico utilizaron los resultados de Shapley-Folkman-Starr para evitar la suposición de que todos los conjuntos aleatorios sean convexos.  

Una medida de probabilidad es una medida finita , y el lema de Shapley-Folkman tiene aplicaciones en la teoría de medidas no probabilísticas, como las teorías del volumen y de las medidas vectoriales . El lema de Shapley-Folkman permite un refinamiento de la desigualdad de Brunn-Minkowski , que limita el volumen de sumas en términos de los volúmenes de sus conjuntos de sumandos. ^[73] El volumen de un conjunto se define en términos de la medida de Lebesgue , que se define en subconjuntos del espacio euclidiano . En la teoría de medidas avanzada, el lema de Shapley-Folkman se ha utilizado para demostrar el teorema de Lyapunov , que establece que el rango de una medida vectorial es convexo. ^[74] Aquí, el término tradicional " rango " (alternativamente, "imagen") es el conjunto de valores producidos por la función. Una medida vectorial es una generalización de una medida con valor vectorial; por ejemplo, si  p ₁ y  p ₂ son medidas de probabilidad definidas en el mismo espacio medible , entonces la función producto  p ₁  p ₂ es una medida vectorial, donde  p ₁  p ₂ se define para cada evento  ω por

( p ₁  p ₂ ) ( ω ) = ( p ₁ ( ω ),  p ₂ ( ω ) ) .

El teorema de Lyapunov se ha utilizado en economía , ^{[45] [75]} en ( "bang-bang" ) teoría del control y en teoría estadística . ^[76] El teorema de Lyapunov ha sido llamado una contraparte continua del lema de Shapley-Folkman, ^[3] que a su vez ha sido llamado un análogo discreto del teorema de Lyapunov. ^[77]

Notas

1. "Oscuridad eterna" describe el infierno del Paraíso perdido de John Milton , cuya concavidad se compara con el pantano serbio en el Libro II, líneas 592–594:

   Un abismo tan profundo como aquel pantano serbio
   entre Damiata y el antiguo monte Casio,
   donde se han hundido ejércitos enteros.

   La descripción de Milton de la concavidad sirve como epígrafe literario que precede al capítulo siete de Arrow & Hahn (1980, p. 169), "Mercados con preferencias y producción no convexas", que presenta los resultados de Starr (1969).
2. El límite de una secuencia es miembro del cierre del conjunto original , que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene el conjunto original. La suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados no necesita ser cerrada, por lo que la siguiente inclusión puede ser estricta

   Clos(P) + Clos(Q) ⊆ Clos( Clos(P) + Clos(Q) );

   la inclusión puede ser estricta incluso para dos conjuntos de sumandos cerrados convexos , según Rockafellar (1997, pp. 49 y 75). Garantizar que la suma de conjuntos de Minkowski sea cerrada requiere la operación de cierre, que agrega límites de secuencias convergentes.
3. Aubin y Ekeland (1976) y Ekeland (1999, págs. 362-364) también consideraron el cierre convexo  de un problema de minimización no convexa, es decir, el problema definido como el casco convexo cerrado del epígrafe del problema original. . Di Guglielmo amplió su estudio de las brechas de dualidad al cierre cuasiconvexo de un problema de minimización no convexo , es decir, el problema definido como el casco convexo cerrado de los conjuntos de niveles inferiores . ^[66]

1. Starr (1969)
2. Howe (1979, pág.1)
3. Starr (2008)
4. Ekeland (1999, págs. 357–359): Publicado en la primera edición en inglés de 1976, el apéndice de Ekeland prueba el lema de Shapley-Folkman, reconociendo también los experimentos de Lemaréchal en la página 373.
5. Bertsekas (1996, págs. 364–381) reconociendo a Ekeland (1999) en la página 374 y Aubin & Ekeland (1976) en la página 381:

   Bertsekas (1996, págs. 364-381) describe una aplicación de métodos duales lagrangianos a la programación de centrales eléctricas (" problemas de compromiso unitario "), donde aparece la no convexidad debido a restricciones de números enteros :

   Bertsekas et al. (1983)

6. Artstein y Vitale (1975, págs. 881–882)
7. Carter (2001, pág.94)
8. Flecha y Hahn (1980, pág.375)
9. Rockafellar (1997, pág.10)
10. Arrow & Hahn (1980, p. 376), Rockafellar (1997, págs. 10-11) y Green & Heller (1981, p. 37)
11. Arrow & Hahn (1980, pág. 385) y Rockafellar (1997, págs. 11-12)
12. Schneider (1993, p. xi) y Rockafellar (1997, p. 16)
13. Rockafellar (1997, p. 17) y Starr (1997, p. 78)
14. Schneider (1993, págs. 2-3)
15. Flecha y Hahn (1980, pág.387)
16. Starr (1969, págs. 35-36)
17. Schneider (1993, p. 140) atribuye este resultado a Borwein & O'Brien (1978)
18. Starr (1969, pág.36)
19. Schneider (1993, pág.129)
20. Starr (1969, pág.37)
21. Schneider (1993, págs. 129-130)
22. Arrow y Hahn (1980, págs. 392–395)
23. Cassels (1975, págs. 435–436)
24. Schneider (1993, pág.128)
25. Ekeland (1999, págs. 357–359)
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31. Guesnerie (1989, pág.138)
32. Mas-Colell (1985, págs. 58 a 61) y Arrow & Hahn (1980, págs. 76 a 79)
33. Arrow y Hahn (1980, págs. 79–81)
34. Starr (1969, p. 26): "Después de todo, uno puede ser indiferente entre un automóvil y un barco, pero en la mayoría de los casos uno no puede conducir ni navegar la combinación de medio barco, medio coche".
35. Hotelling (1935, pág.74)
36. Wold (1943b, págs. 231 y 239-240) y Wold & Juréen (1953, pág. 146)
37. Samuelson (1950, págs. 359–360):

    Se observará que cualquier punto en el que las curvas de indiferencia sean convexas en lugar de cóncavas no puede observarse en un mercado competitivo. Estos puntos están envueltos en una oscuridad eterna, a menos que hagamos de nuestro consumidor un monopsonista y le dejemos elegir entre bienes que se encuentran en una "curva presupuestaria" muy convexa (a lo largo de la cual afecta el precio de lo que compra). En este caso de monopsonio, todavía podríamos deducir la pendiente de la curva de indiferencia del hombre a partir de la pendiente de la restricción observada en el punto de equilibrio.

38. Diewert (1982, págs. 552–553)
39. Farrell (1959, 1961a, 1961b)
40. Bator (1961a, 1961b)
41. Koopmans (1961, p. 478) y otros, por ejemplo, Farrell (1959, pp. 390–391) y Farrell (1961a, p. 484), Bator (1961a, pp. 482–483), Rothenberg (1960, p. 438), y Starr (1969, p. 26), comentaron sobre Koopmans (1957, pp. 1-126, especialmente 9-16 [1.3 Suma de conjuntos de oportunidades], 23-35 [1.6 Conjuntos convexos y las implicaciones de precios de optimización], y 35–37 [1.7 El papel de los supuestos de convexidad en el análisis])
42. Rothenberg (1960, pág.447, 1961)
43. Flecha y Hahn (1980, pág.182)
44. Shapley y Shubik (1966, pág. 806)
45. Aumann (1966, págs. 1-2) utiliza resultados de Aumann (1964, 1965)
46. Wold (1943b, p. 243) y Wold & Juréen (1953, p. 146) habían discutido anteriormente la adopción del casco convexo de las preferencias no convexas, según Diewert (1982, p. 552).
47. Starr y Stinchcombe (1999, págs. 217-218)
48. Arrow & Hahn (1980, págs. 169–182) y Starr (1969, págs. 27–33)
49. Verde y Heller (1981, pág.44)
50. Guesnerie (1989, págs.99)
51. Mas-Colell (1987)
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    Mas-Colell, Whinston y Green (1995, págs. 627–630)

53. Arrow y Hahn (1980, págs. 169-182)

    Mas-Colell (1985, págs. 52–55, 145–146, 152–153 y 274–275)

    Hildenbrand (1974, págs. 37, 115-116, 122 y 168)

    Starr (1997, pág.169)

    Ellickson (1994, págs. xviii, 306–310, 312, 328–329, 347 y 352)

54. Laffont, Jean-Jacques (1988). "3. No convexidades". Fundamentos de la economía pública. Prensa del MIT . págs. 63–65. ISBN 0-262-12127-1.
55. Salanié (2000, págs. 112-113 y 107-115)
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61. Bertsekas (1999, pág.496)
62. Rockafellar (1997, pág.23)
63. Lemaréchal (1973, p. 38) Los experimentos de Lemaréchal fueron discutidos en publicaciones posteriores:

    Aardal (1995, págs. 2-3)

    Hiriart-Urruty y Lemaréchal (1993, págs. 143-145, 151, 153 y 156)

64. Ekeland, Ivar (1974). "Una estimación a priori en programación no convexa". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . Serie A y B (en francés). 279 : 149-151. ISSN  0151-0509. SEÑOR  0395844.
65. Aubin y Ekeland (1976, págs.226, 233, 235, 238 y 241)
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68. Cassels (1975, págs. 433–434)
69. Molchanov (2005, págs. 195-198, 218, 232, 237-238 y 407)
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71. Weil (1982, págs. 203 y 205-206)
72. Cerf (1999, págs. 243-244) utiliza aplicaciones del lema de Shapley-Folkman de Puri y Ralescu (1985, págs. 154-155).
73. Ruzsa (1997, pág.345)
74. Tardella (1990, págs. 478–479)
75. Vind (1964, pp. 168 y 175) fue señalado por el ganador del Premio Nobel de Economía de 1983 , Gérard Debreu . Debreu (1991, p. 4) escribió:

    El concepto de conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta dos puntos cualesquiera) había sido colocado repetidamente en el centro de la teoría económica antes de 1964. Apareció bajo una nueva luz con la introducción de la teoría de la integración en el estudio de Competencia económica: si se asocia con cada agente de una economía un conjunto arbitrario en el espacio de las mercancías y si se promedian esos conjuntos individuales sobre un conjunto de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo . [Debreu añade esta nota a pie de página: "Sobre esta consecuencia directa de un teorema de A. A. Lyapunov, véase Vind (1964)".] Pero las explicaciones de las... funciones de los precios... pueden basarse en la convexidad de conjuntos derivados mediante ese proceso de promediación . La convexidad en el espacio de mercancías obtenida por agregación de un conjunto de agentes insignificantes es una idea que la teoría económica debe... a la teoría de la integración. [ Cursivas añadidas ]

76. Artstein (1980, págs. 172-183)
77. Mas-Colell (1978, p. 210)

Referencias

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enlaces externos

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